MB5002, MC 561, MC 562 - N ¨UMER˙IK ANAL˙IZ (I)
03 Ocak 2013
Final Sınavı
O˘¨grenci Numarası: ——————————————————
Adı Soyadı:——————————————————————-
Talimatlar – Sınav s¨uresi 115 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip altı sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘gi kullanarak hesaplmalarınızı yapınız. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.
Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman
Soru 1. Soru 4.
Soru 2. Soru 5.
Soru 3. Soru 6.
Soru 1. 15 puan f fonksiyonunun bazı noktalarda aldı˘gı de˘gerleri i¸ceren a¸sa˘gıdaki tablo verilsin:
x 0.84 0.92 1.00 1.08 1.16
f (x) 0.74464 0.79560 0.84147 0.88196 0.91680 f′(1) t¨urev de˘gerine en iyi yakla¸sımı yapınız.
Cevap.
2
f (x) = exsin x + 27 fonksiyonunun ikinci t¨urevinin 0.7 noktasındaki de˘gerine h = 0.01 olmak ¨uzere ikinci t¨urev i¸cin orta nokta form¨ul¨u kullanılarak yapılan yakla¸sımda olu¸san hata i¸cin bir ¨ust sınır belirleyiniz.
Cevap.
3
Soru 3. 15 puan A¸sa˘gıdaki tablo de˘gerleri verilsin:
xi −0.4 0 0.4 0.8 1.2
f (xi) −0.204 −0.07 −0.006 0.442 1.658
Newton geri fark form¨ul¨un¨u kullanarak x = 1 de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz.
Cevap.
4
f (x) = x cos x fonksiyonu i¸cin ∫5
1 f (x)dx integraline Simpson ve yamuk kurallarını kullanarak bir yakla¸sımda bulununuz. Her iki yakla¸sımda olu¸san mutlak hatayı hesap- layınız.
Cevap.
5
Soru 5. ∫1 20 puan
−1f (x)dx integral de˘gerine orta nokta kuralı ile bir yakla¸sım yapıldı˘gında 12, n = 2 i¸cin bile¸sik orta nokta ve bile¸sik Simpson kuralları ile yapılan yakla¸sımlardan ise sırası ile 5 ve 6 sonu¸cları elde ediliyor. f (−1) = f(1), f(−0.5) = f(0.5) − 1 oldu˘gunu kullanarak f (−1), f(−0.5) ve f(0) de˘gerilerini hesaplayınız.
Cevap.
6
f′(x) = f (x0+ h)− f(x0)
h − h
2f′′(ξ)
¸seklinde verilen t¨urev de˘geri i¸cin fark form¨ul¨unde olu¸san yuvarlama hatasını ara¸stırınız.
Metodun g¨uvenilirli˘gi hakkında yorum yapınız.
Cevap.
7
Newton Geri Fark Form¨ul¨u:
Pn(x) = f (xn) +
∑n k=1
(−1)k(−s k
)∇kf (xn)
Fark Form¨ul¨u:
f′(x0) =f (x0+ h)− f(x0)
h −h
2f′′(ξ) U¸¨c-Nokta U¸c Nokta Form¨ul¨u:
f′(x0) = 1
2h[−3f(x0) + 4f (x0+ h)− f(x0+ 2h)] +h2 3 f′′′(ξ) U¸¨c-Nokta Orta Nokta Form¨ul¨u:
f′(x0) = 1
2h[f (x0+ h)− f(x0− h)] −h2 6 f′′′(ξ) Be¸s-Nokta Orta Nokta Form¨ul¨u:
f′(x0) = 1
12h[f (x0− 2h) − 8f(x0− h) + 8f(x0+ h)− f(x0+ 2h)] +h4 30f(v)(ξ) Be¸s-Nokta U¸c Nokta Form¨ul¨u:
f′(x0) = 1
12h[−25f(x0) + 48f (x0+ h)− 36f(x0+ 2h) + 16f (x0+ 3h)− 3f(x0+ 4h)] +h4 5 f(v)(ξ)
˙Ikinci T¨urev i¸cin Orta Nokta Form¨ul¨u:
f′′(x0) = 1
h2[f (x0− h) − 2f (x0) + f (x0+ h)]−h2 12f(iv)(ξ) Kapalı Newton-Cotes Form¨ulleri.
n = 1: Yamuk Kuralı ∫ x1
x0
f (x) dx =h
2[f (x0) + f (x1)]−h2 12f′′(ξ) n = 2: Simpson Kuralı ∫ x2
x0
f (x) dx =h
3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]−h5 60f(iv)(ξ) n = 3: Simpson 38 Kuralı
∫ x3 x0
f (x) dx =3h
8 [f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)]−3h5 80f(iv)(ξ)
n = 4: ∫ x4
x0
f (x) dx =2h
45[7f (x0) + 32f (x1) + 12f (x2) + 32f (x3) + 7f (x4)]−8h7 945f(vi)(ξ) A¸cık Newton-Cotes Form¨ulleri.
n = 0: Orta Nokta Kuralı ∫ x1 x−1
f (x) dx = 2hf (x0) +h3 3 f′′(ξ)
n = 1: ∫x2
x−1
f (x) dx =3h
2[f (x0) + f (x1)] +3h3 4 f′′(ξ)
n = 2: ∫ x3
x−1
f (x) dx =4h
3 [2f (x0)− f (x1) + 2f (x2)] +14h5 45 f(iv)(ξ)
n = 3: ∫x4
x−1
f (x) dx =5h
24[11f (x0) + f (x1) + f (x2) + 11f (x3)] +95h5 144 f(iv)(ξ) Bile¸sik ˙Integrasyon.
Bile¸sik Simpson Kuralı:
∫ b a
f (x) dx =h 3 [
f (a) + 2
(n/2)−1∑
j=1
f (x2j) + 4
n/2∑
j=1
f (x2j−1) + f (b)
]−b− a
180 h4f(iv)(ξ) Bile¸sik Yamuk Kuralı:
∫b a
f (x) dx =h 2
f (a) + 2n−1∑
j=1
f (xj) + f (b)
−b− a 12 h2f′′(ξ) Bile¸sik Orta Nokta Kuralı:
∫ b a
f (x) dx = 2h
n/2∑
j=0
f (x2j) +b− a 6 h2f′′(ξ)
8
