• Sonuç bulunamadı

Soru 1. Soru 4.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Soru 1. Soru 4."

Copied!
8
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r U n i v e r s i t e s i¨ Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB5002, MC 561, MC 562 - N ¨UMER˙IK ANAL˙IZ (I)

07 Kasım 2012

1. Yıli¸ci Sınavı

CEVAPLAR

 – Sınav s¨uresi 115 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip be¸s sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘gi kullanarak hesaplmalarınızı yapınız. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 4.

Soru 2. Soru 5.

Soru 3. TOPLAM

(2)

 5 + 10 puan f(x) =√

πx − cos(πx) fonksiyonu verilsin.

(a) f(x) = 0 denkleminin [0, 1] aralı˘gında bir k¨ok¨u oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap. f(x) =√

πx − cos(πx) fonksiyonu [0, 1] aralı˘gında s¨ureklidir. Di˘ger taraf- tan

f(0) =√

π · 0 − cos(π · 0) = 0 − 1 = −1 < 0 ve

f(1) =√

π · 1 − cos(π · 1) =√

π − (−1) = 2.7725 > 0

oldu˘gundan f (0)f (1) < 0 sa˘glanır. Dolayısıyla, Ara De˘ger Teoremi’ne g¨ore f (x) fonksiyonunun verilen aralıkta k¨ok¨u vardır.

(b) ˙Ikiye b¨olme metodunu kullanarak ε = 10−1hassaslıkla bu k¨ok de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz.

Cevap. ˙Istenen hassaslık derecesi elde edilene kadar ikiye b¨olme algoritması uy- gulanırsa a¸sa˘gıdaki tablo de˘gerleri elde edilir:

n an bn pn f(pn)

1 0 1 0.5 1.2533

2 0 0.5 0.25 0.17912

3 0 0.25 0.125 −0.29722

4 0.125 0.25 0.1875 −0.63975 × 10−1

Buna g¨ore |f(p4)| = 0.63975 × 10−1 < 10−1 oldu˘gundan aranan k¨ok yakla¸sımı p ≈ p4 = 0.1875 olarak bulunur.

(3)

  14 puan n ≥ 1 i¸cin

αn=

√1 + 2n2 3n dizisinin yakınsama hızını tespit ediniz.

Cevap. Verilen n}n=1 dizisinin limiti

n→∞lim

√1 + 2n2

3n =



n→∞lim

1 + 2n2 9n2 =

2 9 =

2 3 = α olarak bulunur. Buna g¨ore n≥ 1 i¸cin

n− α| =



√1 + 2n2

3n

2 3



=





√1 + 2n2− n√ 2 3n

√1 + 2n2 + n√

2

1 + 2n2 + n√ 2



=

 1 + 2n2 − 2n2 3n(√

1 + 2n2+ n√ 2)

 =

 1

3n(√

1 + 2n2 + n√ 2)

 ≤

 1

3n(√

0 + 2n2+ n√ 2)



oldu˘gundan

n− α| ≤ 

 1

3n(n√

2 + n√ 2)

 = 1 6

 2

K

· 1 n2

 βn

elde edilir. Dolayısıyla

1 + 2n2

3n =

2 3 + O

1 n2

dir. Yani,n} dizisi√

2/3 limit de˘gerine{1/n2}’nin sıfıra yakınsama hızında yakınsar.

MB5002, MC 561, MC 562 - G¨uz 2012 3 1. Yıli¸ci Sınavı

(4)

  14 puan sin x fonksiyonunun x0 = 0 civarında a¸cılmı¸s n. Taylor polinomu kullanılarak sin 2 de˘gerine 10−7hassaslık ile bir yakla¸sım yapılmak istenirse n ka¸c olmalıdır, tespit ediniz.

Cevap. sin x fonksiyonun x0 = 0 civarındaki n. Taylor polinomu Pn(x) ve bu polinoma ait hata terimi Rn(x) olsun. Buna g¨ore sin x = Pn(x) + Rn(x) oldu˘gundan ξ(x) sayısı 0 ile x arasında olmak ¨uzere

| sin x − Pn(x)| = |Rn(x)| =

f(n+1)(ξ(x))

(n + 1)! (x− 0)n+1



yazılabilir. x = 2 noktasında fonksiyona bir yakla¸sım yapılması istendi˘ginden ξ(2) sayısı 0 ile 2 arasında olmak ¨uzere

| sin 2 − Pn(2)| = |Rn(2)| =

f(n+1)(ξ(2))

(n + 1)! (2− 0)n+1

 = 2n+1

(n + 1)!f(n+1)(ξ(2))

ifadesi sa˘glanır. Di˘ger taraftan sin¨us fonksiyonunun (n+1). t¨urevi, t¨urevin mertebesinin tek ve ¸cift olmasına g¨ore sırası ile ± cos x ve ± sin x dir. Bu t¨urevlerin mutlak de˘gerleri i¸cin ¨ust sınır | ± cos x| ≤ 1 ve | ± sin x| ≤ 1 oldu˘gundan

|Rn(2)| = 2n+1

(n + 1)!f(n+1)(ξ(2))

 

≤1

2n+1 (n + 1)!

¸seklinde bulunur. Buna g¨ore sin 2 ifadesine 10−7 hassaslık ile bir yakla¸sım yapılmak istendi˘ginde n de˘gerinin

|Rn(2)| ≤ 2n+1

(n + 1)! ≤ 10−7

e¸sitsizli˘gini sa˘glanması gerekir. n yerine hesap makinesi kullanılarak ¸ce¸sitli de˘gerler verildi˘ginde n = 14 i¸cin

|Rn(2)| ≤ 214+1

(14 + 1)! = 0.25058× 10−7 ≤ 10−7

ger¸ceklendi˘ginden sin x fonksiyonunun x0 = 0 civarında a¸cılmı¸s 14. Taylor polinomu kullanılarak sin 2 de˘gerine 10−7 hassaslık ile bir yakla¸sım yapılabilece˘gi sonucu elde edilir.

(5)

  10 + 5 puan g(x) = e−x2 fonksiyonu g¨oz ¨on¨une alınsın.

(a) g(x) fonksiyonunun [0, 1] aralı˘gında tek t¨url¨u belirli bir sabit noktası oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap. g(x) = e−x2 ustel fonksiyonu [0, 1] aralı˘¨ gında s¨ureklidir. Ayrıca her x [0, 1] i¸cin g(x) =−2xe−x2 ≤ 0 oldu˘gundan g(x) fonksiyonu [0, 1] aralı˘gında mo- noton azanlandır. Buna g¨ore minimum de˘gerini sa˘g u¸cta, maksimum de˘gerini ise sol u¸cta alır.

g(0) = e0 = 1≤ 1 ve g(1) = e−1 = 0.36788 > 0

oldu˘gundan her x∈ [0, 1] i¸cin g(x) ∈ [0, 1] sa˘glanır. Buna g¨ore g(x) fonksiyonunun [0, 1] aralı˘gında en az bir sabit noktası vardır.

h(x) = g(x) = −2xe−x2 olsun. h(x) = e−x2(4x2− 2) = 0 ifadesi 4x2− 2 = 0 ⇒ x = ±

12 sa˘glandı˘gından biz [0, 1] aralı˘gında yer alan 1

2 ve sınır de˘gerleri olan 0 ve 1 noktalarında |g(x)| ifadesinin mutlak maksimum yaptı˘gı yeri ara¸stıralım:



g

1 2

=



−2 ·

1 2 · e

1

2

2

= 0.85776,

|g(0)| = | − 2 · 0 · e−02| = 0 ve

|g(1)| = | − 2 · 1 · e−12| = 0.73576 oldu˘gundan|g(x)| fonksiyonu maksimum de˘gerini

12 noktasında alır. Buna g¨ore

|g(x)| ≤ max

0≤x≤1|g(x)| =

g

1 2

= 0.85776 = k < 1

oldu˘gundan g(x) fonksiyonunun [0, 1] aralı˘gındaki sabit noktası tek t¨url¨u belirlidir.

(b) p0 = 0.65 olmak ¨uzere sabit nokta metodunu kullanarak p3 yakla¸sımını tespit edi- niz.

Cevap. n ≥ 1 i¸cin pn = g(pn−1) sabit nokta iterasyonu verilen fonksiyonu uygu- lanırsa:

n pn g(pn) |pn− g(pn)|

0 0.65 0.65541 0.541× 10−2

1 0.65541 0.65079 0.462× 10−2

2 0.65079 0.65473 0.394× 10−2

¸seklinde p≈ p3 = g(p2) = 0.65473 yakla¸sımı 10−2 hassaslık ile elde edilir.

MB5002, MC 561, MC 562 - G¨uz 2012 5 1. Yıli¸ci Sınavı

(6)

  14 + 14 + 14 puan

−x3− cos x = 0 denklemi verilsin.

(a) p0 =−1 ilk yakla¸sımı ile Newton metodunu kullanarak p2 de˘gerini hesaplayınız.

Cevap. S¨urekli f (x) = −x3 − cos x fonksiyonunun t¨urevi f(x) = −3x2 + sin x de˘geri i¸cin f(p0) = f(−1) = −3(−1)2+ sin(−1) = −3.8415 = 0 sa˘glandı˘gından Newton metodu kullanılarak k¨ok de˘gerine bir yakla¸sım yapılabilir. Newton metodu ile k¨ok yakla¸sımları n≥ 1 i¸cin

pn = pn−1 f(pn−1) f(pn−1)

form¨ul¨u kullanılarak elde edildi˘ginden f (p0) = f (−1) = −(−1)3 − cos(−1) = 0.45970 oldu˘gu kullanılarak:

p1 = p0 f(p0)

f(p0) =−1 − f(−1)

f(−1) =−1 − 0.45970

−3.8415 =−0.88033 f(p1) = 0.045342, f(p1) =−3.0959 = 0

ve

p2 = p1 f(p1)

f(p1) =−0.88033 − f(−0.88033)

f(−0.88033) =−0.88033 −0.045342

−3.0959 =−0.86568 f(p2) = 0.61978× 10−3

¸seklinde 10−3 hassaslık ile p≈ p2 =−0.86568 yakla¸sımı elde edilir.

(7)

(b) p0 = −1 ve p1 = 0 ilk yakla¸sımları ile Secant metodunu kullanarak p3 de˘gerini hesaplayınız.

Cevap.f(x) = −x3−cos x olmak ¨uzere Secant metodunda k¨ok yakla¸sımları n ≥ 2 i¸cin

pn= pn−1−f(pn−1)(pn−1− pn−2) f(pn−1)− f(pn−2)

form¨ul¨u kullanılarak elde edildi˘ginden f (p1) = f (0) =−03− cos 0 = −1 i¸cin p2 = p1 f(p1)(p1− p0)

f(p1)− f(p0) = 0−−1(0 − (−1))

−1 − 0.45970 =−0.68507 f(p2) =−0.45286

ve

p3 = p2 f(p2)(p2− p1)

f(p2)− f(p1) =−0.68507 −−0.45286(−0.68507 − 0)

−0.45286 − (−1) =−1.2521 f(p3) = 0.16497× 101

¸seklinde 101 hassaslık ile p≈ p3 =−1.2521 yakla¸sımı elde edilir.

MB5002, MC 561, MC 562 - G¨uz 2012 7 1. Yıli¸ci Sınavı

(8)

(c) p0 =−1 ve p1 = 0 ilk yakla¸sımları ile Regula Falsi metodunu kullanarak p3de˘gerini hesaplayınız.

Cevap. f(x) = −x3− cos x olmak ¨uzere

f(p0) = f (−1) > 0 ve f(p1) = f (0) =−1 < 0

oldu˘gundan [0, 1] aralı˘gında f fonksiyonunun k¨ok¨u vardır. Secant metodunda ve- rilen iterasyon form¨ul¨u kullanılarak p2 yakla¸sımı (b) ¸sıkkında oldu˘gu gibi

p2 = p1 f(p1)(p1− p0)

f(p1)− f(p0) = 0−−1(0 − (−1))

−1 − 0.45970 =−0.68507

olarak elde edilir. f (p2) = f (−0.68507) = −0.45286 < 0 oldu˘gundan k¨ok, p0 =−1 ile p2 =−0.68507 arasında yer alır. Buna g¨ore p3 yakla¸sımı

p3 = p2 f(p2)(p2− p0)

f(p2)− f(p0) =−0.68507 −−0.45286(−0.68507 − (−1))

−0.45286 − 0.45970 =−0.84135 f(p3) =−0.70891 × 10−1

¸seklinde 10−1 hassaslık ile p≈ p3 =−0.84135 olarak elde edilir.

Referanslar

Benzer Belgeler

{x n } dizisi ¨ustten sınırlı olmadı˘gından g¨oz ¨on¨une alınan herhangi yeterince b¨ uy¨ uk M &gt; 0 sayısı verilen dizinin bir ¨ust sınırı olamaz.. Buna g¨ ore {x n

(Grafi˘ gi ¸cizerken ¸su adımları takip ediniz: Tanım k¨ umesi, grafi˘ gin eksenleri kesti˘ gi noktalar, yerel maksimum ve minimum de˘ gerleri, grafi˘ gin konkavitesi ve b¨

Taylor polinomu kullanılarak sin 2 de˘ gerine 10 −7 hassaslık ile bir yakla¸sım yapılmak istenirse n ka¸c olmalıdır,

Newton b¨ ol¨ unm¨ u¸s fark form¨ ul¨ un¨ u kullanarak ¨ u¸c¨ unc¨ u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f(2) de˘gerine bir

Newton b¨ ol¨ unm¨ u¸s fark form¨ ul¨ un¨ u kullanarak ¨ u¸c¨ unc¨ u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f (2) de˘ gerine bir

Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız.. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘

Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız.. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘

Ayrıca p 0 = a olmak ¨uzere 10 −17 hassaslık ile bu ¸c¨ oz¨ ume sabit nokta iterasyonu metodu ile bir yakla¸sımda bulunmak i¸cin yapılması gereken iterasyon