Soru 1. Soru 4.

MB5002, MC 561, MC 562 - N ¨UMER˙IK ANAL˙IZ (I)

07 Aralık 2012

2. Yıli¸ci Sınavı

CEVAPLAR

Talimatlar: – Sınav s¨uresi 115 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip altı sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘gi kullanarak hesaplmalarınızı yapınız. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 4.

Soru 2. Soru 5.

Soru 3. Soru 6.

Soru 1. 15 + 10 puan f (x) = √³

x− 1 fonksiyonunu 1.1, 1.25 ve 1.6 noktalarında kesen Lagrange interpolas- yon polinonumu kullanarak f (1.4) de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz ve bu yakla¸sımda olu¸san hata i¸cin bir ¨ust sınır belirleyiniz. (L_k(x) = ∏n

i=0,i̸=k x−xi

x_k−xi olmak ¨uzere f (x) =

∑_n

k=0f (x_k)L_k(x) + ^fn+1_(n+1)!^(ξ(x))(x− x0)(x− x1)· · · (x − xn))

Cevap. Fonksiyonun verilen x₀ = 1.1, x₁ = 1.25, x₂ = 1.6 noktalarındaki f (1.1) = √³

1.1− 1 = 0.46416, f(1.25) =√³

1.25− 1 = 0.62996 ve f(1.6) =√³

1.6− 1 = 0.84343 de˘gerleri ile

L0(x) = (x− x1)(x− x2)

(x₀− x1)(x₀ − x2) = (x− 1.25)(x − 1.6)

(1.1− 1.25)(1.1 − 1.6) = (x− 1.25)(x − 1.6) 0.075

L₁(x) = (x− x0)(x− x2)

(x₁− x0)(x₁ − x2) = (x− 1.1)(x − 1.6)

(1.25− 1.1)(1.25 − 1.6) =−(x− 1.1)(x − 1.6) 0.0525 L₂(x) = (x− x0)(x− x1)

(x2− x0)(x2 − x1) = (x− 1.1)(x − 1.25)

(1.6− 1.1)(1.6 − 1.25) = (x− 1.1)(x − 1.25) 0.175

oldu˘gu kullanılarak

P₂(x) = f (x₀)L₀(x) + f (x₁)L₁(x) + f (x₂)L₂(x)

= 0.46416(x− 1.25)(x − 1.6)

0.075 − 0.62996(x− 1.1)(x − 1.6) 0.0525 +0.84343(x− 1.1)(x − 1.25)

0.175

elde edilir. Buna g¨ore istenen yakla¸sım yukarıdaki ifadede x = 1.4 alınarak f (1.4)≈ P2(1.4) = 0.75117

olarak bulunur. Lagrange polinomu ile yapılan bir yakla¸sımda olu¸san hata ξ(x) sayısı x₀ ile x₂ arasında olmak ¨uzere

E =

f^′′′(ξ(x))

3! (x− x0)(x− x1)(x− x2)  ifadesi ile belirlendi˘ginden f (x) = (x− 1)^1/3 i¸cin

f^′(x) = 1

3(x− 1)^−2/3, f^′′(x) =−2

9(x− 1)^−5/3, f^′′′(x) = 10

27(x− 1)^−8/3 oldu˘gu kullanılarak x = 1.4 de˘gerine yapılan yakla¸sımın hatasının

E =

10

27(ξ(1.4)− 1)^−8/3

3 (1.4− 1.1)(1.4 − 1.25)(1.4 − 1.6) 

= 9× 10⁻³

 1

(ξ(1.4)− 1)^8/3

 ≤ 9 × 10⁻³ max

1.1≤ξ≤1.6

 1 (ξ(1.4)− 1)^8/3

≤ 9 × 10⁻³ 1

(1.1− 1)^8/3 = 4.1774

¸seklinde bir ¨ust sınıra sahip oldu˘gu sonucu elde edilir.

Soru 2. {_n+1 10 puan

eⁿ

}_∞

n=0 dizisinin yakınsaklık mertebesini ve asimtotik hata sabitini bulunuz.

(

lim_n→∞ ^|p_|p^n+1−p|

n−p|^α = λ )

Cevap. p_n = ⁿ⁺¹_en genel terimi ile verilen{pn}^∞n=0 dizisinin n→ ∞ i¸cin limit de˘geri

nlim→∞

n + 1

eⁿ = lim

n→∞

1 eⁿ = 1

∞ = 0 dır. Buna g¨ore

nlim→∞

|pn+1− p|

|pn− p|^α = lim

n→∞

|_eⁿ⁺²ⁿ⁺¹ − 0|

|ⁿ⁺¹_eⁿ − 0|^α = lim

n→∞

n + 2 (n + 1)^α

e^nα eⁿ⁺¹

oldu˘gundan α = 1 alınması durumunda n → ∞ i¸cin ⁿ⁺²_n+1 → 1 ve _en+1^en = ¹_e sonucu elde edilir. Dolayısıyla verilen dizi 0 limit de˘gerine α = 1 yakınsaklık mertebesinde yani lineer olarak λ = ¹_e asimtotik hata sabiti ile yakınsar sonucu elde edilir.

Soru 3. 10 + 5 puan

A¸sa˘gıdaki tablo de˘gerleri verilsin. Newton b¨ol¨unm¨u¸s fark form¨ul¨un¨u kullanarak ¨u¸c¨unc¨u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f (2) de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz. (P_n(x) = f [x₀] +∑n

k=1f [x₀, x₁,· · · , xk](x− x0)(x− x1)· · · (x − x_k−1))

xi −1 0 1 3

f (x_i) 2.454 1.985 −2.678 −9.876 CEVAP:

B¨ol¨unm¨u¸s farklar tablosu a¸sa˘gıdaki ¸sekilde elde edilir:

x_i f [x_i] f [x_i−1, x_i] f [x_i−2, x_i−1, x_i] f [x_i−3, x_i−2, x_i−1, x_i]

−1 2.454 = a0

−0.469 = a1

0 1.985 −2.097 = a2

−4.663 0.61292 = a₃

1 -2.678 0.35467

−3.599 3 -9.876

Buna g¨ore ¨u¸c¨unc¨u Lagrange interpolasyon polinomu

P₃(x) = a₀+ a₁(x− x0) + a₂(x− x0)(x− x1) + a₃(x− x0)(x− x1)(x− x2)

= 2.454− 0.469(x + 1) − 2.097(x + 1)(x − 0) + 0.61292(x + 1)(x − 0)(x − 1) olarak elde edilir. ˙Istenen yakla¸sım ise yukarıdaki polinomda x = 2 alınarak

f (2)≈ P3(2) =−7.8575

¸seklinde bulunur.

Soru 4. 5 + 10 puan f (x) = xe^−x − e⁻¹ fonksiyonu verilsin. x = 1 noktasının f fonksiyonunun ka¸c katlı sıfır yeri oldu˘gunu tespit edip p₀ = 0 ilk yakla¸sımı ile de˘gi¸stirilmi¸s Newton metodunu kullanarak bu k¨ok de˘gerine 10⁻¹ hassaslıkla bir yakla¸sımda bulununuz.

(

pn = pn−1− _[f′(p_n−1^{f (p})]ⁿ²−f(p^−1)fn−1^′(pn−1)f^′′)(p_n−1)

)

Cevap.

f (x) = xe^−x− e⁻¹ ⇒ f(1) = 0, f^′(x) = e^−x(1− x) ⇒ f^′(1) = 0 ve

f^′′(x) = e^−x(x− 2) ⇒ f^′′(1) =−e⁻¹ ̸= 0

oldu˘gundan x = 1 noktası f fonksiyonunun 2 katlı sıfır yeridir. S¸imdi ε = 10⁻¹ has- saslıkla de˘gi¸stirilmi¸s Newton metodu ile p₀ = 0 alınarak bu k¨ok de˘gerine bir yakla¸sımda bulunalım:

p₁ = p₀− f (p₀)f^′(p₀)

[f^′(p₀)]²− f(p0)f^′′(p₀) = 0− −e⁻¹

1− 2e⁻¹ = 1.3922

Bu de˘ger |1 − 1.3922| = 0.3922 > ε = 10⁻¹ oldu˘gundan istenen yakla¸sım de˘gildir.

p₂ = p₁− f (p₁)f^′(p₁)

[f^′(p1)]²− f(p1)f^′′(p1) = 1.3922− (−0.021879)(−0.097472)

(−0.097472)² − (−0.021879)(−0.15106)

= 1.0480 Bu yakla¸sım i¸cin

|1 − 1.0480| = 0.0480 = 0.480 × 10⁻¹ < ε = 10⁻¹ sa˘glandı˘gından p ≈ p2 = 1.0480 olarak elde edilir.

Soru 5. 15 puan A¸sa˘gıdaki tablo Neville metodu kullanarak f (1.4) de˘gerine bir yakla¸sımda bulunmak i¸cin kullanıldı˘gına g¨ore a, b ve c de˘gerlerini tespit ediniz.

(

Q_i,j(x) = ^{(x−xi−j)Qi,j−1}_x^{(x)−(x−xi)Qi−1,j−1(x)}

i−xi−j

)

i x_i f (x_i) = Q_i,0 Q_i,1 Q_i,2 Q_i,3

0 1 1 = Q_0,0

1 1.2 0.06 = Q_1,0 −0.88 = Q1,1

2 1.5 a= Q2,0 −0.81333 = Q2,1 −0.82667 = Q2,2

3 2.0 −3.5 = Q3,0 b= Q_3,1 −0.82 = Q3,2 c= Q_3,3 Cevap.

Q_3,3(1.4) = c = (1.4− x0)Q_3,2− (1.4 − x3)Q_2,2 x₃− x0

= (1.4− 1)(−0.82) − (1.4 − 2)(−0.82667)

2− 1 =−0.82400

Q_3,2(1.4) =−0.82 = (1.4− x1)Q_3,1− (1.4 − x3)Q_2,1 x3− x1

= (1.4− 1.2)b − (1.4 − 2)(−0.81333)

2− 1.2 ⇒ b = −0.84001

Q2,1(1.4) =−0.81333 = (1.4− x1)Q_2,0− (1.4 − x2)Q_1,0 x₂− x1

= (1.4− 1.2)a − (1.4 − 1.5)(0.06)

1.5− 1.2 ⇒ a = −1.25

Soru 6. 20 puan p₀ = 0.75 i¸cin p limit de˘gerine yakınsadı˘gı bilinen

p_n= 0.9

1 + p⁴_n−1, n≥ 1

genel terimi ile verilen {pn}^∞_n=1 dizisine Aitken ∆² metodu uygulanarak elde edilen dizinin ilk ¨u¸c terimini yazınız. (ˆp_n = p_n− _pn+2^(pn+1_−2p^−p_n+1ⁿ⁾_+p² _n)

Cevap. ˙Istenen dizinin ilk ¨u¸c terimini hesaplamak i¸cin {pn}^∞_n=1 dizisinin ilk be¸s teri- minin p₀ = 0.75 olmak ¨uzere bulunması gerekir.

p₁ = 0.9

1 + p⁴₀ = 0.68398, p₂ = 0.9

1 + p⁴₁ = 0.73863, p₃ = 0.9

1 + p⁴₂ = 0.69356 p₄ = 0.9

1 + p⁴₃ = 0.73088, p₅ = 0.9

1 + p⁴₄ = 0.70020.

Buna g¨ore Aitken ∆² metodu ile hızlandırılmı¸s dizinin ilk ¨u¸c terimi a¸sa˘gıdaki ¸sekilde elde edilir:

ˆ

p₁ = p₁− (p₂− p1)²

p₃− 2p2+ p₁ = 0.71387, ˆ

p₂ = p₂− (p₃− p2)²

p₄− 2p3+ p₂ = 0.71398, ˆ

p₃ = p₃− (p₄− p3)²

p₅− 2p4+ p₃ = 0.71404.