Soru 1. Soru 5.

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB1001 Analiz I

31 Aralık 2013

Final Sınavı

O˘¨grenci Numarası: ——————————————————

Adı Soyadı: ——————————————————————-

 – Sınav s¨uresi 110 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 5.

Soru 2. Soru 6.

Soru 3. Soru 7.

Soru 4. TOPLAM

.

 5 + 5 + 5 puan (a)-(e) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.

(a) Diferansiyellenebilme ve t¨urev tanımlarını veriniz.

(b) Diferansiyellenebilme ve s¨ureklilik arasındaki ili¸skiyi a¸cıklayınız.

(c) Rolle Teoremi’ni ifade ediniz.

(d) T¨urevler i¸cin Ara De˘ger Teoremi’ni ifade ediniz.

(e) Ters Fonksiyon Teoremi’ni ifade ediniz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 3 Final Sınavı

 10 puan Ortalama De˘ger Teoremi’ni kullanarak| sin b−sin a| ≤ |b−a| e¸sitsizli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osteriniz.

Cevap.

 10 puan

f (x) = |x²− 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında s¨urekli oldu˘gunu g¨osterip diferansiyel- lenebilir olmadı˘gını ispatlayınız.

Cevap.

MB1001 Analiz I 4 Final Sınavı

 10 puan d

dxarcsec x =

⎧⎪

⎨

⎪⎩ 1 x√

x²− 1 x > 1

− 1

x√

x² − 1 x < −1

oldu˘gunu ispatlayınız. (Not. x < −1 veya x > 1 i¸cin y = arcsec x olsun. Buna g¨ore y ∈ [0, π]\{π/2} i¸cin x = sec y’dir.)

Cevap.

 10 puan

x ≥ −5 olmak ¨uzere f (x) =

√3x + 15 − 21

2 ise (f⁻¹)^(−9) de˘gerini Ters Fonksiyon Teoremi’ni kullanarak bulunuz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 5 Final Sınavı

 10 + 10 puan A¸sa˘gıdaki limitlerden istedi˘giniz 2 tanesini L’Hˆopital kuralını kullanarak hesaplayınız.

(a) lim_x→π/2

x −^π₂

tan(3x) (b) lim_x→∞(ln x)ⁿ

x (n ∈ N) (c) lim_x→0+(sin x)^{sin x}

Cevap.

MB1001 Analiz I 6 Final Sınavı

 25 puan f (x) = x³

(x − 1)² fonksiyonunun grafi˘gini ¸ciziniz. (Grafi˘gi ¸cizerken ¸su adımları takip ediniz: Tanım k¨umesi, grafi˘gin eksenleri kesti˘gi noktalar, yerel maksimum ve minimum de˘gerleri, grafi˘gin konkavitesi ve b¨uk¨um noktaları, asimptotlar, de˘gi¸sim tablosu, grafik.) Cevap.

MB1001 Analiz I 7 Final Sınavı