• Sonuç bulunamadı

Soru 1. Soru 5.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Soru 1. Soru 5."

Copied!
7
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB1001 Analiz I

31 Aralık 2013

Final Sınavı

O˘¨grenci Numarası: ——————————————————

Adı Soyadı: ——————————————————————-

 – Sınav s¨uresi 110 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 5.

Soru 2. Soru 6.

Soru 3. Soru 7.

Soru 4. TOPLAM

(2)

 5 + 5 + 5 puan (a)-(e) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.

(a) Diferansiyellenebilme ve t¨urev tanımlarını veriniz.

(b) Diferansiyellenebilme ve s¨ureklilik arasındaki ili¸skiyi a¸cıklayınız.

(c) Rolle Teoremi’ni ifade ediniz.

(d) T¨urevler i¸cin Ara De˘ger Teoremi’ni ifade ediniz.

(e) Ters Fonksiyon Teoremi’ni ifade ediniz.

Cevap.

(a) Reel de˘gerli bir f fonksiyonunun bir a noktasında diferansiyellenebilir olarak adlandı- rılması i¸cin gerek ve yeter ¸sart f fonksiyonunun a noktasını i¸ceren bir I a¸cık aralı˘gında tanımlı ve

f(a) := lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

limitinin var olmasıdır. Bu durumda f(a) de˘gerine a noktasında f fonksiyonunun t¨urevi denir.

(b) Biliyoruz ki f fonksiyonu bir a noktasında diferansiyellenebilir ise aynı zamanda bu noktada s¨ureklidir. Fakat bunun tersi do˘gru de˘gildir. ¨Orne˘gin f (x) = |x| fonksiyonunun 0 noktasında s¨urekli olmakla birlikte bu noktada fakat diferansiyellenebilir de˘gildir.

(c) a < b olmak ¨uzere a, b ∈ R reel sayıları g¨oz ¨on¨une alınsın. E˘ger f fonksiyonu [a, b]

aralı˘gında s¨urekli, (a, b) aralı˘gında diferansiyellenebilir ve f (a) = f (b) ise f(c) = 0 olacak ¸sekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır.

(d) f fonksiyonu f(a) = f(b) olmak ¨uzere [a, b] aralı˘gında diferansiyellenebilir olsun. E˘ger y0 sayısı f(a) ile f(b) arasında yer alıyor ise f(x0) = y0 e¸sitli˘gini sa˘galayacak ¸sekilde bir x0 ∈ (a, b) sayısı vardır.

(e) I bir a¸cık aralık ve f : I → R fonksiyonu 1-1, s¨urekli olsun. E˘ger a ∈ I i¸cin b = f (a) sa˘glanıyor ve f(a) t¨urev de˘geri mevcut ve sıfırdan farklı ise buna g¨ore f−1 ters fonksiyonu b noktasında diferansiyellenebilirdir ve (f−1)(b) = 1/f(a) e¸sitli˘gi ge¸cerlidir.

(3)

  10 puan Ortalama De˘ger Teoremi’ni kullanarak| sin b−sin a| ≤ |b−a| e¸sitsizli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osteriniz.

Cevap. f (x) = sin x fonksiyonu reel sayıların her [a, b] aralı˘gında s¨urekli ve (a, b) aralı˘gında diferansiyellenebilirdir. Buna g¨ore

f (b) − f (a)

b − a = sin b − sin a

b − a = f(c) = cos c

e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır. Di˘ger taraftan her c ∈ R i¸cin

| cos c| ≤ 1 ifadesi ger¸ceklendi˘ginden

sin b − sin a b − a

 = |cosc| ≤ 1 yani

|sin b − sin a| ≤ |b − a|

sonucu elde edilir.

  10 puan

f (x) = |x2− 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında s¨urekli oldu˘gunu g¨osterip diferansiyel- lenebilir olmadı˘gını ispatlayınız.

Cevap. Mutlak de˘ger fonksiyonunun tanımına g¨ore x → 1 iken |x2−1| → 0 sa˘glandı˘gından f fonksiyonu 1 noktasında s¨ureklidir. Di˘ger taraftan

h→0+lim

f (1 + h) − f (1)

h = lim

h→0+

|(1 + h)2 − 1| − |12− 1|

h = lim

h→0+

|h2+ 2h|

h

= lim

h→0+

h|h + 2|

h = 2

ve

h→0−lim

f (1 + h) − f (1)

h = lim

h→0−

|(1 + h)2 − 1| − |12− 1|

h = lim

h→0−

|h2+ 2h|

h

= lim

h→0−

h|h + 2|

h =−2

elde edilir. Limitin var olması i¸cin tek-y¨onl¨u limitlerin mevcut ve birbirine e¸sit olması gerekti˘ginden 1 noktasında limit yoktur. Buna g¨ore f fonksiyonu 1 noktasında diferan- siyellenebilir de˘gildir.

(4)

  10 puan d

dxarcsec x =

⎧⎪

⎪⎩ 1 x√

x2− 1 x > 1

1

x√

x2 − 1 x < −1

oldu˘gunu ispatlayınız. (Not. x < −1 veya x > 1 i¸cin y = arcsec x olsun. Buna g¨ore y ∈ [0, π]\{π/2} i¸cin x = sec y’dir.)

Cevap. y = arcsec x olsun. Buna g¨ore

x = sec y ve y ∈ [0, π] − {π/2}

yazılabilir. Yukarıdaki ilk ifadenin x’e g¨ore t¨urevi alınırsa 1 = d

dx(x) = d

dx(sec y) = d

dy(sec y)dy

dx = (sec y tan y)dy dx yani

dy

dx = 1

sec y tan y elde edilir. x = sec y = cos y1 oldu˘gundan

¨

u¸cgeni kullanılarak dy

dx = 1

sec y tan y = 1 sec y

1

tan y = 1

|x|

1 x2− 1 t¨urev de˘gerine ula¸sılır.

  puan

x ≥ −5 olmak ¨uzere f (x) =

√3x + 15 − 21

2 ise (f−1)(−9) de˘gerini Ters Fonksiyon Teoremi’ni kullanarak bulunuz.

Cevap. Her x ≥ −5 i¸cin s¨urekli f (x) = 3x+15−212 fonksiyonu

f(x) = d dx

√3x + 15

2 21

2



=

2 3 3x+15

2 = 3

4

3x + 15 > 0

(5)

  10 + 10 puan A¸sa˘gıdaki limitlerden istedi˘giniz 2 tanesini L’Hˆopital kuralını kullanarak hesaplayınız.

(a) limx→π/2

x −π2

tan(3x) (b) limx→∞(ln x)x n

(c) limx→0+(sin x)sin x Cevap.

(a)

x→π/2lim

x − π 2

tan(3x)0·∞= lim

x→π/2

x − π2 cot(3x)

0/0= lim

x→π/2

1

−3 csc2(3x) =− lim

x→π/2

sin2(3x)

3 =1

3. (b)

x→∞lim

(ln x)n x

= lim

x→∞

n(ln x)n−1 1x

1 = lim

x→∞

n(ln x)n−1 x

= lim

x→∞

n(n − 1)(ln x)n−2 1x 1

= lim

x→∞

n(n − 1)(ln x)n−2

x =· · · = lim

x→∞

n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1(ln x)n−n x

= lim

x→∞

n!

x = 0

(c) Verilen limit 00 belirsizli˘gine sahiptir. E˘ger f (x) = (sin x)sin x denir ise ln f (x) = ln(sin x)sin x = sin x ln(sin x)

elde edilir. Buna g¨ore

x→0+lim ln f (x) = lim

x→0+sin x ln(sin x) 0·(−∞)= lim

x→0+

ln(sin x)

sin x1

−∞= lim

x→0+

cos x sin x

sincos x2x

=− lim

x→0+sin x = 0 oldu˘gundan istenen limit de˘geri

x→0+lim (sin x)sin x = e0 = 1

¸seklinde bulunur.

(6)

  25 puan f (x) = x3

(x − 1)2 fonksiyonunun grafi˘gini ¸ciziniz.

Cevap.

• Fonksiyon her x ∈ R\{1} i¸cin tanımlıdır.

• x = 0 i¸cin f(0) = 0 oldu˘gundan fonksiyonun grafi˘gi eksenleri (0, 0) noktasında keser.

• f(x) = 3x2(x − 1)2− 2(x − 1)x3

(x − 1)4 = 3x2(x − 1) − 2x3

(x − 1)3 = x3− 3x2

(x − 1)3 = x2(x − 3) (x − 1)3 = 0 e¸sitli˘gini sa˘glayan x de˘gerleri x = 0 ve x = 3 noktaları f ’in ekstremum noktalarıdır.

Di˘ger taraftan

f(x) = (3x2− 6x)(x − 1)3− 3(x − 1)2(x3− 3x2)

(x − 1)6 = 6x

(x − 1)4

elde edilir. Burada f(3) > 0 oldu˘gundan x = 3 bir yerel minimum noktasıdır. Bununla beraber f(0) = 0 oldu˘gundan ikinci t¨urev testi sonu¸c vermez.

• f(x) = (x−1)6x 4 fonksiyonu x < 0 i¸cin negatif, x > 0 i¸cin pozitif de˘gerler aldı˘gından fonksiyonun grafi˘gi x < 0 i¸cin a¸sa˘gı konkav, x > 0 i¸cin yukarı konkavdır. Buna g¨ore x = 0 bir b¨uk¨um noktasıdır.

• f(x) = x2(x − 3)

(x − 1)3 t¨urev fonksiyonu g¨oz ¨on¨une alınsın. Bu fonksiyon (−∞, 0) ∪ (0, 1) aralı˘gında pozitif, (1, 3) aralı˘gında negatif, (3, ∞) aralı˘gında pozitif de˘gerler aldı˘gından (−∞, 0)∪(0, 1)∪(3, ∞) aralı˘gında monoton artan, (1, 3) aralı˘gında monoton azalandır.

• D¨u¸sey Asimptot: limx→1+ x3

(x − 1)2 = limx→1− x3

(x − 1)2 =∞ oldu˘gundan x = 1 do˘grusu f fonksiyonunun hem sa˘gdan hem de soldan d¨u¸sey asimptotudur.

Yatay Asimptot: limx→−∞ x3

(x − 1)2 =−∞ ve limx→∞ x3

(x − 1)2 =∞ oldu˘gundan yatay asimptot yoktur.

E˘gik Asimptot: limx→±∞f (x) = ±∞ oldu˘gundan f (x) fonksiyonunun e˘gik asimptotu olabilir. Buna g¨ore

x→∞lim f (x)

x = lim

x→∞

x3

x(x − 1)2 = 1 = m elde edilir. Dolayısıyla

(7)

• Yukarıdaki bilgiler ı¸sı˘gında de˘gi¸sim tablosu olarak elde edilir.

• De˘gi¸sim tablosu kullanılarak verilen fonksiyona ait grafik a¸sa˘gdaki ¸sekilde ¸cizilir:

Referanslar

Benzer Belgeler

Tam puan almak i¸cin yaptı˘ gınız i¸slemleri sınav kˆ a˘ gıdında belirtmeniz gerekmektedir.. Sadece

(Grafi˘ gi ¸cizerken ¸su adımları takip ediniz: Tanım k¨ umesi, grafi˘ gin eksenleri kesti˘ gi noktalar, yerel maksimum ve minimum de˘ gerleri, grafi˘ gin konkavitesi ve b¨

Taylor polinomu kullanılarak sin 2 de˘ gerine 10 −7 hassaslık ile bir yakla¸sım yapılmak istenirse n ka¸c olmalıdır,

Taylor polinomu kullanılarak sin 2 de˘ gerine 10 −7 hassaslık ile bir yakla¸sım yapılmak istenirse n ka¸c olmalıdır, tespit

Newton b¨ ol¨ unm¨ u¸s fark form¨ ul¨ un¨ u kullanarak ¨ u¸c¨ unc¨ u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f(2) de˘gerine bir

Newton b¨ ol¨ unm¨ u¸s fark form¨ ul¨ un¨ u kullanarak ¨ u¸c¨ unc¨ u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f (2) de˘ gerine bir

Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız.. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘

Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız.. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘