˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u
MB1001 Analiz I
31 Aralık 2013
Final Sınavı
O˘¨grenci Numarası: ——————————————————
Adı Soyadı: ——————————————————————-
– Sınav s¨uresi 110 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.
Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman
Soru 1. Soru 5.
Soru 2. Soru 6.
Soru 3. Soru 7.
Soru 4. TOPLAM
5 + 5 + 5 puan (a)-(e) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.
(a) Diferansiyellenebilme ve t¨urev tanımlarını veriniz.
(b) Diferansiyellenebilme ve s¨ureklilik arasındaki ili¸skiyi a¸cıklayınız.
(c) Rolle Teoremi’ni ifade ediniz.
(d) T¨urevler i¸cin Ara De˘ger Teoremi’ni ifade ediniz.
(e) Ters Fonksiyon Teoremi’ni ifade ediniz.
Cevap.
(a) Reel de˘gerli bir f fonksiyonunun bir a noktasında diferansiyellenebilir olarak adlandı- rılması i¸cin gerek ve yeter ¸sart f fonksiyonunun a noktasını i¸ceren bir I a¸cık aralı˘gında tanımlı ve
f(a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a) h
limitinin var olmasıdır. Bu durumda f(a) de˘gerine a noktasında f fonksiyonunun t¨urevi denir.
(b) Biliyoruz ki f fonksiyonu bir a noktasında diferansiyellenebilir ise aynı zamanda bu noktada s¨ureklidir. Fakat bunun tersi do˘gru de˘gildir. ¨Orne˘gin f (x) = |x| fonksiyonunun 0 noktasında s¨urekli olmakla birlikte bu noktada fakat diferansiyellenebilir de˘gildir.
(c) a < b olmak ¨uzere a, b ∈ R reel sayıları g¨oz ¨on¨une alınsın. E˘ger f fonksiyonu [a, b]
aralı˘gında s¨urekli, (a, b) aralı˘gında diferansiyellenebilir ve f (a) = f (b) ise f(c) = 0 olacak ¸sekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır.
(d) f fonksiyonu f(a) = f(b) olmak ¨uzere [a, b] aralı˘gında diferansiyellenebilir olsun. E˘ger y0 sayısı f(a) ile f(b) arasında yer alıyor ise f(x0) = y0 e¸sitli˘gini sa˘galayacak ¸sekilde bir x0 ∈ (a, b) sayısı vardır.
(e) I bir a¸cık aralık ve f : I → R fonksiyonu 1-1, s¨urekli olsun. E˘ger a ∈ I i¸cin b = f (a) sa˘glanıyor ve f(a) t¨urev de˘geri mevcut ve sıfırdan farklı ise buna g¨ore f−1 ters fonksiyonu b noktasında diferansiyellenebilirdir ve (f−1)(b) = 1/f(a) e¸sitli˘gi ge¸cerlidir.
10 puan Ortalama De˘ger Teoremi’ni kullanarak| sin b−sin a| ≤ |b−a| e¸sitsizli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osteriniz.
Cevap. f (x) = sin x fonksiyonu reel sayıların her [a, b] aralı˘gında s¨urekli ve (a, b) aralı˘gında diferansiyellenebilirdir. Buna g¨ore
f (b) − f (a)
b − a = sin b − sin a
b − a = f(c) = cos c
e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır. Di˘ger taraftan her c ∈ R i¸cin
| cos c| ≤ 1 ifadesi ger¸ceklendi˘ginden
sin b − sin a b − a
= |cosc| ≤ 1 yani
|sin b − sin a| ≤ |b − a|
sonucu elde edilir.
10 puan
f (x) = |x2− 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında s¨urekli oldu˘gunu g¨osterip diferansiyel- lenebilir olmadı˘gını ispatlayınız.
Cevap. Mutlak de˘ger fonksiyonunun tanımına g¨ore x → 1 iken |x2−1| → 0 sa˘glandı˘gından f fonksiyonu 1 noktasında s¨ureklidir. Di˘ger taraftan
h→0+lim
f (1 + h) − f (1)
h = lim
h→0+
|(1 + h)2 − 1| − |12− 1|
h = lim
h→0+
|h2+ 2h|
h
= lim
h→0+
h|h + 2|
h = 2
ve
h→0−lim
f (1 + h) − f (1)
h = lim
h→0−
|(1 + h)2 − 1| − |12− 1|
h = lim
h→0−
|h2+ 2h|
h
= lim
h→0−
h|h + 2|
h =−2
elde edilir. Limitin var olması i¸cin tek-y¨onl¨u limitlerin mevcut ve birbirine e¸sit olması gerekti˘ginden 1 noktasında limit yoktur. Buna g¨ore f fonksiyonu 1 noktasında diferan- siyellenebilir de˘gildir.
10 puan d
dxarcsec x =
⎧⎪
⎨
⎪⎩ 1 x√
x2− 1 x > 1
− 1
x√
x2 − 1 x < −1
oldu˘gunu ispatlayınız. (Not. x < −1 veya x > 1 i¸cin y = arcsec x olsun. Buna g¨ore y ∈ [0, π]\{π/2} i¸cin x = sec y’dir.)
Cevap. y = arcsec x olsun. Buna g¨ore
x = sec y ve y ∈ [0, π] − {π/2}
yazılabilir. Yukarıdaki ilk ifadenin x’e g¨ore t¨urevi alınırsa 1 = d
dx(x) = d
dx(sec y) = d
dy(sec y)dy
dx = (sec y tan y)dy dx yani
dy
dx = 1
sec y tan y elde edilir. x = sec y = cos y1 oldu˘gundan
¨
u¸cgeni kullanılarak dy
dx = 1
sec y tan y = 1 sec y
1
tan y = 1
|x|
√ 1 x2− 1 t¨urev de˘gerine ula¸sılır.
puan
x ≥ −5 olmak ¨uzere f (x) =
√3x + 15 − 21
2 ise (f−1)(−9) de˘gerini Ters Fonksiyon Teoremi’ni kullanarak bulunuz.
Cevap. Her x ≥ −5 i¸cin s¨urekli f (x) = √3x+15−212 fonksiyonu
f(x) = d dx
√3x + 15
2 − 21
2
=
2√ 3 3x+15
2 = 3
4√
3x + 15 > 0
10 + 10 puan A¸sa˘gıdaki limitlerden istedi˘giniz 2 tanesini L’Hˆopital kuralını kullanarak hesaplayınız.
(a) limx→π/2
x −π2
tan(3x) (b) limx→∞(ln x)x n
(c) limx→0+(sin x)sin x Cevap.
(a)
x→π/2lim
x − π 2
tan(3x)0·∞= lim
x→π/2
x − π2 cot(3x)
0/0= lim
x→π/2
1
−3 csc2(3x) =− lim
x→π/2
sin2(3x)
3 =−1
3. (b)
x→∞lim
(ln x)n x
∞∞
= lim
x→∞
n(ln x)n−1 1x
1 = lim
x→∞
n(ln x)n−1 x
∞∞
= lim
x→∞
n(n − 1)(ln x)n−2 1x 1
= lim
x→∞
n(n − 1)(ln x)n−2
x =· · · = lim
x→∞
n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1(ln x)n−n x
= lim
x→∞
n!
x = 0
(c) Verilen limit 00 belirsizli˘gine sahiptir. E˘ger f (x) = (sin x)sin x denir ise ln f (x) = ln(sin x)sin x = sin x ln(sin x)
elde edilir. Buna g¨ore
x→0+lim ln f (x) = lim
x→0+sin x ln(sin x) 0·(−∞)= lim
x→0+
ln(sin x)
sin x1
−∞= lim∞
x→0+
cos x sin x
−sincos x2x
=− lim
x→0+sin x = 0 oldu˘gundan istenen limit de˘geri
x→0+lim (sin x)sin x = e0 = 1
¸seklinde bulunur.
25 puan f (x) = x3
(x − 1)2 fonksiyonunun grafi˘gini ¸ciziniz.
Cevap.
• Fonksiyon her x ∈ R\{1} i¸cin tanımlıdır.
• x = 0 i¸cin f(0) = 0 oldu˘gundan fonksiyonun grafi˘gi eksenleri (0, 0) noktasında keser.
• f(x) = 3x2(x − 1)2− 2(x − 1)x3
(x − 1)4 = 3x2(x − 1) − 2x3
(x − 1)3 = x3− 3x2
(x − 1)3 = x2(x − 3) (x − 1)3 = 0 e¸sitli˘gini sa˘glayan x de˘gerleri x = 0 ve x = 3 noktaları f ’in ekstremum noktalarıdır.
Di˘ger taraftan
f(x) = (3x2− 6x)(x − 1)3− 3(x − 1)2(x3− 3x2)
(x − 1)6 = 6x
(x − 1)4
elde edilir. Burada f(3) > 0 oldu˘gundan x = 3 bir yerel minimum noktasıdır. Bununla beraber f(0) = 0 oldu˘gundan ikinci t¨urev testi sonu¸c vermez.
• f(x) = (x−1)6x 4 fonksiyonu x < 0 i¸cin negatif, x > 0 i¸cin pozitif de˘gerler aldı˘gından fonksiyonun grafi˘gi x < 0 i¸cin a¸sa˘gı konkav, x > 0 i¸cin yukarı konkavdır. Buna g¨ore x = 0 bir b¨uk¨um noktasıdır.
• f(x) = x2(x − 3)
(x − 1)3 t¨urev fonksiyonu g¨oz ¨on¨une alınsın. Bu fonksiyon (−∞, 0) ∪ (0, 1) aralı˘gında pozitif, (1, 3) aralı˘gında negatif, (3, ∞) aralı˘gında pozitif de˘gerler aldı˘gından (−∞, 0)∪(0, 1)∪(3, ∞) aralı˘gında monoton artan, (1, 3) aralı˘gında monoton azalandır.
• D¨u¸sey Asimptot: limx→1+ x3
(x − 1)2 = limx→1− x3
(x − 1)2 =∞ oldu˘gundan x = 1 do˘grusu f fonksiyonunun hem sa˘gdan hem de soldan d¨u¸sey asimptotudur.
Yatay Asimptot: limx→−∞ x3
(x − 1)2 =−∞ ve limx→∞ x3
(x − 1)2 =∞ oldu˘gundan yatay asimptot yoktur.
E˘gik Asimptot: limx→±∞f (x) = ±∞ oldu˘gundan f (x) fonksiyonunun e˘gik asimptotu olabilir. Buna g¨ore
x→∞lim f (x)
x = lim
x→∞
x3
x(x − 1)2 = 1 = m elde edilir. Dolayısıyla
• Yukarıdaki bilgiler ı¸sı˘gında de˘gi¸sim tablosu olarak elde edilir.
• De˘gi¸sim tablosu kullanılarak verilen fonksiyona ait grafik a¸sa˘gdaki ¸sekilde ¸cizilir: