Soru 1. Soru 5.

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB1001 Analiz I

1 Kasım 2013

1. Yıli¸ci Sınavı

CEVAPLAR

 – Sınav s¨uresi 90 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 5.

Soru 2. Soru 6.

Soru 3. Soru 7.

Soru 4. TOPLAM

 5 + 5 + 5 puan (a)-(e) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.

(a) ˙Iki k¨umenin kartezyen ¸carpımını tanımlayınız.

(b) ˙Injektif, s¨urjektif ve bijektif fonksiyon tanımlarını veriniz.

(c) Cisim aksiyomlarını sıralayınız.

(d) Tamlık aksiyomu nedir?

(e) Archimedean ¨Ozelli˘gi nedir?

Cevap.

(a) X ve Y iki k¨ume olsun. X ve Y ’nin kartezyen ¸carpımı X × Y := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }

¸seklinde tanımlanan sıralı ikili lerin k¨umesidir.

(b) X ve Y iki k¨ume olsun. f : X → Y fonksiyonu x1, x2 ∈ X olmak ¨uzere x1 = x2 iken f(x₁) = f(x₂) (ya da f(x₁) = f(x₂) ise x₁ = x₂) ¨ozelli˘gini sa˘glıyor ise injektif olarak adlandırılır.

X ve Y iki k¨ume olsun. f : X → Y fonksiyonu, f(X) g¨or¨unt¨us¨u Y ’ye e¸sit ise s¨urjektif (veya ¨uzerine veya ¨orten) olarak adlandırılır. Buna g¨ore herhangi biry ∈ Y i¸cin f(x) = y olacak ¸sekilde en az bir x ∈ X vardır.

Hem injektif hem de s¨urjektif olan bir f : X → Y fonksiyonuna bijektif adı verilir.

Buna g¨ore hery ∈ Y i¸cin f(x) = y e¸sitli˘gini sa˘glayan tekt¨url¨u belirli bir x ∈ X vardır (varlı˘gı f’in s¨urjektif olması, tekli˘gi ise injektif olması garantiler).

(c) R² :=R × R ¨uzerinde tanımlanmı¸s ve her a, b, c ∈ R i¸cin a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glayan

“+” ve “·” fonksiyonları vardır:

Kapalılık ¨Ozelli˘gi. a + b ∈ R ve a · b ∈ R dir.

Asosyatiflik (Birle¸sme) ¨Ozelli˘gi. a + (b + c) = (a + b) + c ve a · (b · c) = (a · b) · c dir.

Kom¨utatiflik (De˘gi¸sme) ¨Ozelli˘gi. a + b = b + a ve a · b = b · a dır.

Distrib¨utiflik (Da˘gılma) ¨Ozelli˘gi. a · (b + c) = a · b + a · c dır.

Toplamın Etkisiz Elemanının Varlı˘gı. Her a ∈ R i¸cin 0 + a = a olacak ¸sekilde tek t¨url¨u belirli bir 0∈ R vardır.

C¸ arpmanın Birim Elemanının Varlı˘gı. Her a ∈ R i¸cin 1 · a = a ve 1 = 0 olacak ¸sekilde tek t¨url¨u belirli bir 1∈ R vardır.

Toplamada Ters Elemanın Varlı˘gı. Her x ∈ R i¸cin x + (−x) = 0 olacak ¸sekilde tek t¨url¨u belirli bir−x ∈ R vardır.

C¸ arpmada Ters Elemanın Varlı˘gı. Her x ∈ R\0 i¸cin x · (x⁻¹) = 1 olacak ¸sekilde tek t¨url¨u belirli birx⁻¹ ∈ R vardır.

Buna g¨ore toplama ve ¸carpma i¸slemleri, R reel sayılar k¨umesi ¨uzerinde bir kom¨ulatif cisim yapısı belirtirler.

(d) E, reel sayıların bo¸stan farklı ve ¨usten sınırlı bir alt k¨umesi ise E’nin sonlu bir supre- mumu vardır.

(e) a > 0 olmak ¨uzere her a ve b reel sayıları i¸cin b < na e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir n ∈ N tamsayısı vardır.

MB1001 Analiz I 2 1. Yıli¸ci Sınavı

 15 puan E˘ger E ⊂ R k¨umesinin sonlu bir infimumu varsa, ε herhangi bir pozitif sayı olmak

¨ uzere

infE + ε > a ≥ inf E olacak ¸sekilde bir a ∈ E elemanının varlı˘gını g¨osteriniz.

Cevap. ˙Istenen ispat bilinenler ı¸sı˘gında iki ¸sekilde yapılabilir.

˙Ispat 1. Farz edelim ki birε0 sayısı i¸cin E k¨umesinin hi¸c bir elemanı t0 = infE + ε ile infE arasında yer almasın. Buna g¨ore inf E sayısı E k¨umesinin bir alt sınırı oldu˘gundan hera ∈ E i¸cin a ≥ t0 sa˘glanır. Yani,t0 sayısıE k¨umesi i¸cin bir alt sınırdır. ˙Infimum alt sınırların en b¨uy¨u˘g¨u oldu˘gundan t¨um alt sınırlar infE’den k¨u¸c¨uk olmalıdır. Dolayısıyla, t₀ = infE + ε ≤ inf E e¸sitsizli˘gi ger¸ceklenir. Bu ise ε₀ ≤ 0 demektir.

˙Ispat 2. Biliyoruz ki sup(−E) = − inf E’dir. Di˘ger taraftan, Supremum i¸cin Yakla¸sım Ozelli˘¨ gi’ne g¨ore ε > 0 herhangi bir pozitif sayı olmak ¨uzere

sup(−E) − ε < b ≤ sup(−E)

e¸sitsizli˘gini ger¸cekleyen bir b ∈ −E noktası vardır. a = −b olsun. Bu durumda b = −a, a ∈ E ve

− inf E − ε < −a ≤ − inf E

olur. E˘ger bu e¸sitsizli˘gi −1 ile ¸carparsak inf E + ε > a ≥ inf E elde edilir.

 15 puan

A = {n⁽⁻¹⁾ⁿ :n ∈ N}

olsun. Buna g¨ore infA de˘gerini tespit ediniz.

Cevap. Verilen k¨ume ₁

1, 2,¹₃, 4,¹₅, · · ·

¸seklinde yazılabilir. ˙Iddia ediyoruz ki A k¨ume- sinin infimumu sıfırdır. Ger¸cekten: n⁽⁻¹⁾ⁿ sayısı n ∈ N i¸cin ya n ya da 1/n formunda oldu˘gundan 0’ın verilen k¨umenin bir alt sınırı oldu˘gu a¸cıktır. S¸imdi alt sınırların en b¨uy¨u˘g¨un¨un 0 oldu˘gunu g¨osterelim. Bunu ¸celi¸ski elde ederek yapaca˘gız. Farz edelim ki bir ε > 0 sayısı aynı zamanda A k¨umesinin bir sınırı olsun. Archimedean ¨Ozelli˘gine g¨ore n > 1/ε e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir n pozitif tamsayısı vardır. S¸imdi bu sayının bir tek sayı oldu˘gunu d¨u¸s¨unelim (e˘ger sayı tek de˘gil isen yerine n + 1 yazarız).

n bir tek sayı oldu˘gundan n⁽⁻¹⁾ⁿ = 1/n < ε ger¸ceklenir. Bu ise n⁽⁻¹⁾ⁿ ∈ A olması ile

¸celi¸sir (bir alt sınırdan daha k¨u¸c¨uk k¨umeye ait bir eleman olamaz). Yani infA = 0’dır.

MB1001 Analiz I 3 1. Yıli¸ci Sınavı

 10 puan Reel sayıların ¨usten sınırlı olmayan artan bir {x_n} dizisi g¨oz ¨on¨une alınsın. Bu dizinin

∞’a ıraksadı˘gını g¨osteriniz.

Cevap. {x_n} dizisi ¨ustten sınırlı olmadı˘gından g¨oz ¨on¨une alınan herhangi yeterince b¨uy¨uk M > 0 sayısı verilen dizinin bir ¨ust sınırı olamaz. Yani x_N > M olacak ¸sekilde bir N ∈ N vardır. Di˘ger taraftan {xn} dizisi artan oldu˘gundan

M < x_N ≤ x_N+1≤ x_N+2≤ · · ·

yani hern ≥ N i¸cin xn> M ger¸ceklenir. Bu ise limn→∞xn =∞ oldu˘gu anlamına gelir.

 15 puan

{xn} dizisi her n i¸cin xn > 0 ve 0 < x1 < 1 olmak ¨uzere xn+1 = xn(2− xn) ¸seklinde tanımlansın. Buna g¨ore {xn} dizisinin yakınsak oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap. 0< x₁ < 1 i¸cin (1 −x₁)² > 0 dolayısıyla 1 + x²₁−2x₁ > 0 yani 2x₁−x²₁ =x₂ < 1 oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Benzer ¸sekilde x3 < 1 ve en genel halde her n i¸cin 0 < xn < 1 e¸sitsizli˘gi sa˘glanır. Yani verilen dizi sınırlıdır. Di˘ger taraftan

x_n+1− x_n =x_n− x_n² =x_n(1− x_n)> 0

oldu˘gundan hern ∈ N i¸cin xn+1> xnger¸ceklenir. Yani, sınırlı{xn} dizisi aynı zamanda monoton artandır. Monoton Yakınsaklık Teoremi’ne g¨ore verilen dizinin yakınsadı˘gı bir reel sayı mevcuttur.

 15 puan

X ve Y iki k¨ume ve f : X → Y olsun. E˘ger E ⊆ f(X) ise f(f⁻¹(E)) = E e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osteriniz.

Cevap. E ⊆ f(X) olsun. Bu durumda x = f(a) olacak ¸sekilde bir a ∈ X elemanı se¸cilebilir. Ters g¨or¨unt¨u tanımına g¨ore a ∈ f⁻¹(E), dolayısıyla x = f(a) ∈ f(f⁻¹(E)) ger¸ceklenir. Tersine, x ∈ f(f⁻¹(E)) olsun. Buna g¨ore x = f(a) olacak ¸sekilde bir a ∈ f⁻¹(E) vardır. G¨or¨unt¨u tanımına g¨ore, x = f(a) ve f(a) ∈ E neticeleri elde edilir.

Yani, x ∈ E sa˘glanır. Bu ise f(f⁻¹(E)) = E demektir.

 15 puan

Limit tanımını kullanarak n → ∞ iken 1 + (−1/2)ⁿ→ 1 oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap.{xn} = {1 + (−1/2)ⁿ} ve ε > 0 olsun. G¨osterilmesi gereken her n ≥ N i¸cin |xn− 1| < ε e¸sitsizli˘gini sa˘glayan bir N do˘gal sayısının varlı˘gıdır. Archimedean ¨Ozelli˘gi’ne g¨ore _N¹ < ε olacak ¸sekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Di˘ger taraftan her n ∈ N i¸cin 2ⁿ > n oldu˘gundan her n ≥ N i¸cin istenildi˘gi gibi

|x_n− 1| = 1 2ⁿ < 1

n ≤ 1 N < ε ger¸ceklenir.

MB1001 Analiz I 4 1. Yıli¸ci Sınavı