Soru 1. Soru 5.

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB1001 Analiz I

6 Aralık 2013

2. Yıli¸ci Sınavı

O˘¨grenci Numarası: ——————————————————

Adı Soyadı: ——————————————————————-

 – Sınav s¨uresi 90 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 5.

Soru 2. Soru 6.

Soru 3. Soru 7.

Soru 4. TOPLAM

 5 + 5 + 5 puan (a)-(e) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.

(a) Cauchy dizisinin tanımını veriniz.

(b) Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu Teoremi’ni ifade ediniz.

(c) Bir a noktasında f fonksiyonunun soldan limitinin tanımını veriniz.

(d) lim_x→af(x) = ∞ ifadesini formal olarak a¸cıklayınız.

(e) Ara De˘ger Teoremi’ni ifade ediniz.

Cevap.

(a) x_n ∈ R noktalar dizisinin (R’de) bir Cauchy dizisi olarak isimlendirilmesi i¸cin gerek ve yeter ¸sart her ε > 0 sayısına kar¸sılık

n, m ≥ N i¸cin |xn− xm| < ε olacak ¸sekilde bir N ∈ N do˘gal sayısının var olmasıdır.

(b) a ∈ R, I reel sayıların a noktasını i¸ceren bir a¸cık aralı˘gı ve f muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralı˘gı ¨uzerindeki di˘ger t¨um noktalarda tanımlı bir reel fonksiyon olsun. Buna g¨ore

L = lim

x→af(x)

limitinin mevcut olması i¸cin gerek ve yeter ¸sartn → ∞ iken a de˘gerine yakınsayan her xn∈ I\{a} dizisi i¸cin n → ∞ iken f(xn)→ L olmasıdır.

(c) x noktası a noktasına soldan yakla¸sırken f(x) fonksiyonunun L’ye yakınsıyor ola- rak adlandırılması i¸cin gerek ve yeter ¸sart, f fonksiyonu sa˘g u¸c-noktası a olan bir I a¸cık aralı˘gında tanımlı ve her ε > 0 sayısına kar¸sılık a − δ ∈ I ve a − δ < x < a oldu˘gu m¨uddet¸ce |f(x) − L| < ε e¸sitsizli˘gini sa˘glayan bir δ > 0 sayısının var olmasıdır.

(d) Her M > 0 sayısına kar¸sılık |x − a| < δ oldu˘gu m¨uddet¸ce f(x) > M e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir δ > 0 sayısı mevcuttur.

(e) a < b ve f : [a, b] → R s¨urekli bir fonksiyon olsun. E˘ger y₀ sayısı f(a) ile f(b) arasında yer alıyor ise bu durumda f(x0) =y0 olacak ¸sekilde bir x0 ∈ (a, b) sayısı vardır.

 15 puan xn= 1 + n

n + 1cosnπ 2



dizisinin lim sup_n→∞ ve lim inf_n→∞ de˘gerlerini tespit ediniz. Bu de˘gerlere g¨ore dizinin yakınsaklı˘gı hakkında ne s¨oylenebilir?

Cevap. n ∈ N olmak ¨uzere n = 2m − 1 formunda bir tek sayı ise xn=x2m−1 = 1 +2m − 1

2m cos



(2m − 1)π 2



= 1, n = 2m formunda bir ¸cift sayı ise

x_n=x_2m= 1 + 2m

2m + 1cos (mπ) = 1 + (−1)^m 2m 2m + 1

elde edilir. Burada m sayısının tek olması halinde x_2m = _2m+1¹ , m sayısının ¸cift olması halinde x2m = ^4m+1_2m+1 = 2− _2m+1¹ e¸sitli˘gi ger¸ceklenir. Buna g¨ore her n ∈ N i¸cin

sup

k≥n



1 + k

k + 1coskπ 2



= 2− 1

2n + 1 oldu˘gundan lim sup

n→∞ = 2 ve

k≥ninf



1 + k

k + 1coskπ 2



= 1

2n + 1 oldu˘gundan lim inf

n→∞ = 0

elde edilir. Limit supremum de˘geri limit infimum de˘gerinden farklı oldu˘gundan verilen dizi yakınsak de˘gildir.

 14 puan

Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu’nu kullanarak

f(x) =



cos ¹_x x = 0

0 x = 0

¸seklinde tanımlanan fonksiyonun x → 0 iken limitinin olmadı˘gını g¨oseriniz.

Cevap. n ∈ N i¸cin

an:= 1

2nπ ve bn:= 1 2nπ + ^π₂

olarak tanımlansın. A¸cıktır ki her iki dizi de n → ∞ iken 0 de˘gerine yakınsar. Di˘ger taraftan her n ∈ N i¸cin

f(an) = cos(2nπ) = 1 ve f(bn) = cos



2nπ + π 2



= 0

oldu˘gundann → ∞ iken f(a_n)→ 1 ve f(b_n)→ 0 ger¸ceklenir. Bu ise Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu’na g¨ore x → 0 iken f(x) fonksiyonunun limitinin olmadı˘gı anlamına gelir.

MB1001 Analiz I 3 2. Yıli¸ci Sınavı

 14 puan S¨ureklilik tanımını kullanarak

f(x) =

 x

1+e^1/x x = 0

0 x = 0

¸seklinde tanımlanan fonksiyonun x = 0 noktasında s¨urekli oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap. G¨osterilmesi gereken her ε > 0 sayısına kar¸sılık |x − 0| = |x| < δ oldu˘gu m¨uddet¸ce |f(x) − f(0)| < ε e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde bir δ > 0 sayısının var oldu˘gudur. Her x ∈ R i¸cin e^1/x > 0 oldu˘gundan 1 < 1 + e^1/x dolayısıyla 1/(1 + e^1/x)< 1 e¸sitsizli˘gi ger¸ceklenir. Buna g¨ore

|f(x) − f(0)| =

 x

1 +e^1/x − 0

 = |x|

1 +e^1/x < |x| < δ

oldu˘gundanδ = ε alınır ise |x| < δ olduk¸ca |x/(1 + e^1/x)| < ε yapılabilir. O halde f(x) fonksiyonu x = 0 noktasında s¨ureklidir.

 14 puan

f(x) = ¹_x fonksiyonunun I = (0, 1) ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨urekli olmadı˘gını g¨osteriniz.

Cevap.f fonksiyonu I = (0, 1) ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨urekli olsun. ε = 1 verilsin. Buna g¨ore her x, a ∈ (0, 1) i¸cin |x − a| < δ oldu˘gu m¨uddet¸ce

|f(x) − f(a)| =

1 x −1

a

 = |a − x|

|ax| < 1

e¸sitsizli˘gini sa˘glayan bir δ > 0 sayısı vardır. Genelli˘gi bozmadan 0 < δ < 1 oldu˘gunu varsayalım. a = δ ve x = δ/2 olsun. Dolayısıyla

1> |a − x|

|ax| = δ − ₂^δ δ · ^δ₂ =

δ2 δ² 2

= 1 δ > 1

¸celi¸skisi elde edilir. Bu ¸celi¸ski f fonksiyonunun I = (0, 1) ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨urekli olmadı˘gını ortaya koymaktadır.

 14 puan Tanımı kullanarak

x_n= n + 3

2n + 1, n ∈ N dizisinin bir Cauchy dizisi oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap. G¨osterilmesi gereken her ε > 0 sayısına kar¸sılık bir N pozitif tamsayısının n, m ≥ N i¸cin

|x_n− x_m| =

 n + 3

2n + 1− m + 3 2m + 1

 < ε

e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde var oldu˘gudur. Herhangi n, m ≥ N pozitif tamsayıları g¨oz ¨on¨une alınsın. Buna g¨ore

|xn− xm| =

 n + 3

2n + 1− m + 3 2m + 1

 =

(2nm + n + 6m + 3) − (2nm + m + 6n + 3) (2n + 1)(2m + 1)



= 5|m − n|

4nm + 2n + 2m + 1 < 5 4

|m − n|

mn ≤ 5

4

m + n mn

< 5 4

1 n + 1

m



< 5 4

 1 N + 1

N



= 5 2N

oldu˘gundan e˘ger N tam sayısı _2ε⁵’den b¨uy¨uk olacak ¸sekilde se¸cilirse

|xn− xm| < ε elde edilir. Buna g¨ore verilen dizi bir Cauchy dizisidir.

MB1001 Analiz I 5 2. Yıli¸ci Sınavı

 14 puan A¸sa˘gıdaki limit de˘gerlerini hesaplayınız (l’Hˆopital kuralını kullanmayınız).

(a) lim_x→1+

√x − 1

|1 − x|

(b) lim_x→π sin(x − π) x − π (c) lim_x→−∞

√x²+ 4 Cevap. x

(a)

x→1+lim

√x − 1

|1 − x| = lim

x→1+

√x − 1

1− x =− lim

x→1+

√x − 1

x − 1 =− lim

x→1+

√ 1

x − 1 =−∞

(b)

x→πlim

sin(x − π)

x − π = lim

y→0

siny

y = 1 (x − π = y) (c)

x→−∞lim

√x²+ 4

x = lim

x→−∞

x²

1 + _x⁴₂

x = lim

x→−∞

|x|

1 + _x⁴₂ x

= lim

x→−∞

−x

1 + _x⁴₂

x =− lim

x→−∞

 1 + 4

x²



=−1