˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r U n i v e r s i t e s i¨ Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u
MB5002, MC 561, MC 562 - N ¨UMER˙IK ANAL˙IZ (I) 07 Aralık 2012
2. Yıli¸ci Sınavı
O˘¨grenci Numarası: ——————————————————
Adı Soyadı: ——————————————————————-
– Sınav s¨uresi 115 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip altı sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘gi kullanarak hesaplmalarınızı yapınız. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.
Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman
Soru 1. Soru 4.
Soru 2. Soru 5.
Soru 3. Soru 6.
15 + 10 puan f(x) =√3
x − 1 fonksiyonunu 1.1, 1.25 ve 1.6 noktalarında kesen Lagrange interpolasyon polinonumu kullanarak f(1.4) de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz ve bu yakla¸sımda olu¸san hata i¸cin bir ¨ust sınır belirleyiniz. (Lk(x) = n
i=0,i=k x−xi
xk−xi olmak ¨uzere f(x) =
n
k=0f(xk)Lk(x) +fn+1(n+1)!(ξ(x))(x − x0)(x − x1)· · · (x − xn))
2
n+1 10 puan
en
∞
n=0 dizisinin yakınsaklık mertebesini ve asimtotik hata sabitini bulunuz.
limn→∞ |p|pn+1−p|
n−p|α =λ
3
10 + 5 puan A¸sa˘gıdaki tablo de˘gerleri verilsin. Newton b¨ol¨unm¨u¸s fark form¨ul¨un¨u kullanarak ¨u¸c¨unc¨u Lagrange interpolasyon polinomunu yazınız. Bu polinom yardımı ile f(2) de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz. (Pn(x) = f[x0] +n
k=1f[x0, x1, · · · , xk](x − x0)(x − x1)· · · (x − xk−1))
xi −1 0 1 3
f(xi) 2.454 1.985 −2.678 −9.876
4
5 + 10 puan f(x) = xe−x − e−1 fonksiyonu verilsin. x = 1 noktasının f fonksiyonunun ka¸c katlı sıfır yeri oldu˘gunu tespit edip p0 = 0 ilk yakla¸sımı ile de˘gi¸stirilmi¸s Newton metodunu kullanarak bu k¨ok de˘gerine 10−1 hassaslıkla bir yakla¸sımda bulununuz.
pn =pn−1− [f(pn−1f(p)]2n−1−f(p)fn−1(pn−1)f)(pn−1)
5
15 puan A¸sa˘gıdaki tablo Neville metodu kullanarak f(1.4) de˘gerine bir yakla¸sımda bulunmak i¸cin kullanıldı˘gına g¨ore a, b ve c de˘gerlerini tespit ediniz.
Qi,j(x) = (x−xi−j)Qi,j−1x(x)−(x−xi−xi−j i)Qi−1,j−1(x)
i xi f(xi)
0 1 1
1 1.2 0.06 −0.88
2 1.5 a −0.81333 −0.82667
3 2.0 −3.5 b −0.82 c
6
20 puan p0 = 0.75 i¸cin p limit de˘gerine yakınsadı˘gı bilinen
pn= 0.9
1 +p4n−1 n ≥ 1
genel terimi ile verilen {pn}∞n=1 dizisine Aitken Δ2 metodu uygulanarak elde edilen dizinin ilk ¨u¸c terimini yazınız. (ˆpn =pn− pn+2(pn+1−2p−pn+1n)+p2 n)
7
