Soru 1. Soru 5.

˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r ¨U n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u

MB1001 Analiz I

6 Aralık 2013

2. Yıli¸ci Sınavı

O˘¨grenci Numarası: ——————————————————

Adı Soyadı: ——————————————————————-

 – Sınav s¨uresi 90 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar B¨ol¨um¨u panosuna asılacaktır.

Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru 1. Soru 5.

Soru 2. Soru 6.

Soru 3. Soru 7.

Soru 4. TOPLAM

 5 + 5 + 5 puan (a)-(f) ¸sıklarından istedi˘giniz 3 tanesini cevaplandırınız.

(a) Cauchy dizisinin tanımını veriniz.

(b) Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu Teoremi’ni ifade ediniz.

(c) Bir a noktasında f fonksiyonunun soldan limitinin formal tanımını veriniz.

(d) lim_x→af(x) = ∞ ifadesini formal olarak a¸cıklayınız.

(e) Ara De˘ger Teoremi’ni ifade ediniz.

(f) Bolzano-Weierstrass Teoremi’ni ifade ediniz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 2 2. Yıli¸ci Sınavı

 15 puan xn= 1 + n

n + 1cosnπ 2



dizisinin lim sup_n→∞ ve lim inf_n→∞ de˘gerlerini tespit ediniz. Bu de˘gerlere g¨ore dizinin yakınsaklı˘gı hakkında ne s¨oylenebilir?

Cevap.

 14 puan

Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu’nu kullanarak

f(x) =



cos ¹_x x = 0

0 x = 0

¸seklinde tanımlanan fonksiyonun x → 0 iken limitinin olmadı˘gını g¨oseriniz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 3 2. Yıli¸ci Sınavı

 14 puan S¨ureklilik tanımını kullanarak

f(x) =

 x

1+e^1/x x = 0

0 x = 0

¸seklinde tanımlanan fonksiyonun x = 0 noktasında s¨urekli oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap.

 14 puan

f(x) = ¹_x fonksiyonunun I = (0, 1) ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨urekli olmadı˘gını g¨osteriniz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 4 2. Yıli¸ci Sınavı

 14 puan Tanımı kullanarak

x_n= n + 3

2n + 1, n ∈ N dizisinin bir Cauchy dizisi oldu˘gunu g¨osteriniz.

Cevap.

MB1001 Analiz I 5 2. Yıli¸ci Sınavı

 14 puan A¸sa˘gıdaki limit de˘gerlerini hesaplayınız (l’Hˆopital kuralını kullanmayınız).

(a) lim_x→1+

√x − 1

|1 − x|

(b) lim_x→π sin(x − π) x − π (c) lim_x→−∞

√x²+ 4 x Cevap.

MB1001 Analiz I 6 2. Yıli¸ci Sınavı