T.C.
Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü
Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Ana Bilim Dalı Ortaöğretim Matematik Eğitimi Bilim Dalı
12.SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN ANALĠTĠK
GEOMETRĠDEKĠ TEMSĠL GEÇĠġLERĠNĠN KRUTETSKĠĠ DÜġÜNME YAPILARI BAĞLAMINDA ĠNCELENMESĠ;
DOĞRULARIN BĠRBĠRĠNE GÖRE DURUMLARI
Aylin ÖZHAN TURAN (Yüksek Lisans Tezi)
Ġstanbul - 2011
T.C.
Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü
Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Ana Bilim Dalı Ortaöğretim Matematik Eğitimi Bilim Dalı
12.SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN ANALĠTĠK
GEOMETRĠDEKĠ TEMSĠL GEÇĠġLERĠNĠN KRUTETSKĠĠ DÜġÜNME YAPILARI BAĞLAMINDA ĠNCELENMESĠ;
DOĞRULARIN BĠRBĠRĠNE GÖRE DURUMLARI
Aylin ÖZHAN TURAN (Yüksek Lisans Tezi)
DanıĢman
Yrd. Doç. Dr. Ali DELĠCE
Ġstanbul – 2011
Tüm kullanım hakları
M.Ü. Eğitim Bilimleri Enstitüsü’ne aittir.
© 2011
i
ii
ÖNSÖZ
Matematiğin önemli bir alt dalı olan analitik geometri; cebir ile geometrinin birleĢmesi ve iĢbirliği ile oluĢmuĢtur. Koordinat sistemindeki geometrik Ģekillerle ilgili bilgileri matematiğin cebirsel denklemlerini kullanarak bizlere sunan analitik geometride; doğru durumlarının temsil biçimleri önem kazanmaktadır. Bu araĢtırmada, 12.sınıf öğrencilerinin analitik geometrideki doğru durumlarının temsil ediliĢ biçimleri ile bu temsiller arası geçiĢ baĢarıları, düĢünme yapıları bağlamında incelenmiĢtir. Bu doğrultuda, doğru durumları temsil türleri ve düĢünme yapılarına göre öğrencilerin temsiller arası geçiĢ baĢarılarının incelenmesinin matematik eğitimi alan yazınına katkı getireceğini düĢünmekteyim.
ÇalıĢmam boyunca bana rehberlik eden çok değerli danıĢman hocam Yrd.Doç.Dr. Ali DELĠCE‟ye ve tez jürisi olarak davetimizi kabul eden ve sundukları görüĢlerle çalıĢmama geri bildirim sağlayan değerli hocalarım Yrd.Doç.Dr. Emin AYDIN ve Doç.Dr. Ünsal TEKĠR‟e teĢekkür ederim.
Ayrıca hayatımın her döneminde yanımda olan canım anneme, babama ve kardeĢime;
emeğini, güvenini, özverisini ve desteğini esirgemeyen, varlığı ile güç veren sevgili eĢim Melih Emre TURAN‟a teĢekkür ederim.
Aylin ÖZHAN TURAN
iii
ÖZET
Bireyler hayatta sürekli problemlerle karĢılaĢmakta ve bu problemlere çeĢitli çözüm yolları üretme durumunda kalmaktadırlar. KiĢilerin problemlere çözüm yolları üretirken kullandıkları yaklaĢım tarzı, onların düĢünme yapılarından da etkilenmektedir. Bu durum öğrencilerin matematik problemlerini çözerken de geçerlidir. Öğrencilerin matematik problemlerinde takip edecekleri çözüm yolu, onların düĢünme yapılarından etkilenmektedir. Krutetskii‟ye göre öğrenciler düĢünme yapılarına göre üç gruba ayrılırlar. Ġlk grup, problem çözerken sözel mantıksal yöntemler tercih eden analitiklerdir. Analitik düĢünme yapısındaki öğrenciler akıl yürütmelerinde çok güçlü bir sözel-mantıksal bileĢenlere ve zayıf görsel-resimsel bileĢenlere sahiptir. Ġkinci grup görsel öğeler tercih eden geometriklerdir. Geometrik düĢünme yapısındaki öğrenciler çok iyi geliĢmiĢ görsel-resimsel bileĢene sahiptirler ve ortalamanın üzerinde sözel- mantıksal bileĢenlere sahiptirler. Son grup, görsel öğelere ya da sözel-mantıksal yöntemlere net bir eğilimi olmayan iki yöntemi birlikte kullanan harmoniklerdir.
Harmonik düĢünme yapısındaki öğrencilerde sözel-mantıksal ve görsel-resimsel bileĢenler eĢit olarak geliĢmiĢtir. Pek çok problemin çözümünde hem analitik hem de geometrik yaklaĢımları kullanmada baĢarılıdırlar.
Bu çalıĢmada bu üç düĢünme yapısında olan öğrencilerin matematiğin bir dalı olan analitik geometri dersindeki doğru durumlarındaki temsil geçiĢlerinin ne düzeyde olduğu ve soruları çözerken tercih ettikleri temsil türleri incelenmek istenmektedir.
Analitik geometrideki doğru durumlarının Krutetskii düĢünme yapıları bağlamında incelenmesi ile ilgili daha önce yapılmıĢ bir çalıĢmaya rastlanmaması bu çalıĢmanın önemini artırmaktadır.
ÇalıĢma, yorumlayıcı yaklaĢıma dayalı nitel bir araĢtırmadır ve belirli bir olayı, bireyi, durumu derinlemesine incelemeye olanak veren özel durum çalıĢmasıdır. ÇalıĢmanın katılımcıları Ġstanbul‟daki bir devlet lisesinin 80 adet 12. sınıf öğrencisinden oluĢmaktadır. Öğrencilerin düĢünme yapılarını belirlemek için onlara Matematiksel Süreç Aracı uygulanmıĢtır. Öğrencilerin temsiller arası geçiĢ baĢarılarını ve analitik geometri baĢarılarını belirlemek için ise Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ Testi ve Analitik Geometri Doğru Durumları Testi uygulanmıĢtır. Doğru durumları temsiller arası geçiĢ baĢarılarını düĢünme yapıları bağlamında daha ayrıntılı incelemek
iv
maksadıyla, amaçlı örnekleme yöntemine göre seçilen 8 öğrenci ile yarı yapılandırılmıĢ görüĢmelerde bulunulmuĢtur.
ÇalıĢmada kullanılan veri toplama araçlarından elde edilen bulgulara göre, üç düĢünme yapısına sahip öğrencilerin soru hangi temsilde verilmiĢse öncelikle soruyu o temsille çözmeye çalıĢtıkları, en kısa yolu tercih ettikleri görülmüĢtür. Aynı zamanda, formül temsilinden durum ve Ģekil temsiline geçiĢte ve diğer temsillerden formül temsiline geçiĢte baĢarı düzeylerinin birbirine yakın ve düĢük seviyelerde olduğu sonucu bulunmuĢtur. Ayrıca harmonik ve geometrik düĢünenlerin, formül temsilli soruların çözümünde Ģekil temsilini kullanmada analitik düĢünenlere göre daha baĢarılı olduğu;
Ģekil temsilinden formül temsiline geçiĢte ise üç düĢünme yapısındaki öğrencilerin de baĢarısız olduğu sonucuna ulaĢılmıĢtır. GörüĢmelerden edinilen bulgulardan ise, analitik öğrencilerin formül temsilli soruları tercih edip, kolay çözdükleri, geometrik öğrencilerin Ģekil temsilini tercih ettikleri, harmonik öğrencilerden geometrik düĢünenlere yakın puan alanların geometrikler gibi düĢündükleri, analitik düĢünenlere yakın puan alanların da analitikler gibi düĢündükleri sonuçlarına ulaĢılmıĢtır.
Bu sonuçlara dayalı olarak, sınıfta öğrencilerin farklı düĢünme yapılarında olduğu göz önüne alınarak tüm düĢünme yapılarına hitap edecek ders kitapları ve ders planları hazırlanmalı önerileri sunulmaktadır.
Anahtar Kelimeler: Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ, Krutetskii DüĢünme Yapıları
v ABSTRACT
In daily life, people encounter many types of problems and strive to find different solving strategies. Their approaches to finding solutions are influenced by their thinking structures. This case is also valid for students while problem solving. The thinking structures of the students influence their approaches to problem solving. Krutetskii distinguished three groups of mathematical thinking. First group is the analytics who prefer verbal-logical components while problem solving. Thinking structure of analytics students is characterized by an obvious predominance of a very well developed verbal- logical component over a weak visual-pictorial one. Second group, geometric students, prefers visual-pictorial components. They use a very well developed visual-pictorial component alongside above-average verbal-logical components. Last group, harmonic students, has equally developed verbal-logical and visual-pictorial components.
Harmonics are successful in using both verbal and visual strategies while problem solving.
In this study, the success levels of students from three types of thinking structure are investigated based on the transition between different representations of straight lines status in analytic geometry, a branch of mathematics. Moreover, these students‟ verbal or visual component preferences while problem solving is also aimed to be investigated.
The importance of this study is further enhanced by the fact that this is the first study of its kind on status of straight lines in analytic geometry in the context of Krutestskii‟s thinking structures.
This study is a qualitative research based on interpretive approach and it is a case study that enables a detailed examination of a specified event, an individual or a situation. The participants of this study are 80 students in the 12th grade from a public high school located in Istanbul. Mathematical Processing Instrument (MPI) is applied to students to determine their thinking structures. In order to measure students‟ level of success on the transition between different representations of straight lines status and on the analytic geometry problem solving, “Transitions between Representation of Straight Lines Status Test” and “Analytic Geometry Straight Lines Status Test” are applied, respectively. On the other hand, for semi-structured interviews, 8 students from three different types of thinking structures are selected by biased sampling to examine the
vi
students‟ level of success in the transition between different representations of straight lines status with regards to their thinking structures in a more detailed manner.
Results of the data collection tools show that, all the students from three different thinking structures are inclined to solve the problem by using the given representation of the problem and by applying the shortest solving process. On the other hand, students‟ success levels in the transition from formula representation to status or visual representation, and from other representations to formula representation are both low.
Furthermore, students having harmonic or geometric thinking structures are more successful than analytic students on using visual representations while solving formula represented problems. However, all the students from three different groups are unsuccessful on the transition from visual representation to formula representation.
From interviews it is concluded that analytic students prefer the formula represented problems, and they can solve this type of problems easily. Besides, as expected geometrics prefer visual representation. Harmonic students whose MPI scores are close to geometrics have preferences similar to geometrics; whereas harmonic students whose MPI scores are close to analytics have preferences similar to analytics.
Based on these results, it has been suggested that considering the students having different thinking structures; textbooks and lecture plans should be reorganized to address all different thinking structures.
Key Words: Transitions Between Representation of Straight Lines Status, Krutestskii‟s Thinking Structures.
vii
ĠÇĠNDEKĠLER
ONAY ... i
ÖNSÖZ ... ii
ÖZET ... iii
ABSTRACT ... v
ĠÇĠNDEKĠLER... vii
TABLOLAR LĠSTESĠ ... xi
ġEKĠLLER LĠSTESĠ ... xiv
KISALTMALAR ... xvii
BÖLÜM I: GĠRĠġ ... 1
1.1.Problem Durumu ... 1
1.2. AraĢtırmanın Amacı ... 5
1.3. AraĢtırma Soruları ... 5
1.4. AraĢtırmanın Önemi ... 6
1.5. Sınırlılıklar ... 8
1.6. Varsayımlar ... 8
1.7. Tanımlar ... 9
BÖLÜM II: ALANYAZIN ... 10
2.1. Matematik ... 10
2.1.1. Matematiğin Bir Dalı Olarak Analitik Geometri ... 12
2.2. Temsil ve Çoklu Temsiller ... 15
2.2.1. Temsil Kavramı ... 15
2.2.1.1. Temsil ÇeĢitleri ... 16
2.2.2. Çoklu Temsiller ve Temsiller Arası GeçiĢ ... 18
2.2.3. Durum Temsili ... 24
viii
2.2.4. Formül Temsili ... 24
2.2.5. ġekil Temsili ... 26
2.3. DüĢünme Yapıları ... 28
2.3.1. DüĢünme nedir? ... 28
2.3.2. Matematiksel DüĢünme Yapıları ... 29
2.3.2.1.Krutetskii DüĢünme Yapıları ... 32
2.3.2.1.1. Analitik DüĢünme Yapısı ... 33
2.3.2.1.2. Geometrik DüĢünme Yapısı ... 34
2.3.2.1.3. Harmonik DüĢünme Yapısı ... 35
BÖLÜM III: YÖNTEM ... 36
3.1.AraĢtırma Modeli ... 37
3.1.1. Nicel & Nitel AraĢtırmalar ... 37
3.1.2. Durum ÇalıĢması... 38
3.2. ÇalıĢma Grubu ... 39
3.3. Veri Toplama Araçları ve Uygulamalar ... 40
3.3.1. Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ Testi ... 41
3.3.2. Analitik Geometri Doğru Durumları Testi ... 44
3.3.2.1. Analitik Geometri Doğru Durumları Testi Deneme AĢaması .... 46
3.3.2.2. Analitik Geometri Doğru Durumları Testi Geçerlik ve Güvenirlik ÇalıĢmaları ... 47
3.3.3. Matematiksel Süreç Aracı (MSA) ... 49
3.3.3.1. Matematiksel Süreç Aracının Türkçeye Adaptasyon ÇalıĢması, Geçerlik ve Güvenirliği ... 51
3.3.4. Yarı YapılandırılmıĢ GörüĢmeler... 52
3.3.5. Uygulama Süreci ... 53
3.4. Verilerin Çözümlenmesi ve Yorumlanması ... 55
3.4.1. Matematiksel Süreç Aracının Değerlendirilmesi ... 55
3.4.2. DDTAGT‟nin Değerlendirilmesi ... 57
3.4.3. AGDDT‟nin Değerlendirilmesi ... 57
3.5. AraĢtırmanın Geçerliği ve Güvenirliği ... 58
ix
BÖLÜM IV: BULGULAR ... 61
4.1. Öğrencilerin DüĢünme Yapılarının Belirlenmesi ... 61
4.1.1. Öğrencilerin DüĢünme Yapılarına Göre Sınıflandırılması ... 64
4.2. Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ Testi Bulguları ... 66
4.2.1.Durum Temsilinden ġekil ve Formül Temsillerine GeçiĢler ... 70
4.2.1.1.Durum Temsilinden ġekil Temsiline GeçiĢ ... 70
4.2.1.2. Durum Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ ... 72
4.2.2.ġekil Temsilinden Durum ve Formül Temsillerine GeçiĢler ... 74
4.2.2.1.ġekil Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ ... 74
4.2.2.2. ġekil Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ ... 76
4.2.3.Formül Temsilinden Durum ve ġekil Temsillerine GeçiĢler ... 78
4.2.3.1.Formül Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ ... 78
4.2.3.2. Formül Temsilinden ġekil Temsiline GeçiĢ ... 80
4.3. Analitik Geometri Doğru Durumları Testi Bulguları ... 81
4.3.1.Birinci Soru Ġçin Bulgular ... 83
4.3.2. Ġkinci Soru Ġçin Bulgular ... 84
4.3.3. Üçüncü Soru Ġçin Bulgular ... 85
4.3.4. Dördüncü Soru Ġçin Bulgular ... 86
4.3.5. BeĢinci, Yedinci, Dokuzuncu ve On ikinci Soru Ġçin Bulgular ... 87
4.3.6. Altıncı Soru Ġçin Bulgular ... 89
4.3.7. Sekizinci Soru Ġçin Bulgular ... 90
4.3.8. Onuncu Soru Ġçin Bulgular ... 91
4.3.9. On Birinci Soru Ġçi Bulgular ... 92
4.3.10.On Üçüncü Soru Ġçin Bulgular ... 93
4.3.11. On Dördüncü Soru Ġçin Bulgular ... 94
4.3.12.On BeĢinci Soru Ġçin Bulgular ... 95
4.3.13.On Altıncı Soru Ġçin Bulgular ... 96
4.4. GörüĢmeler ... 97
BÖLÜM V: SONUÇ, TARTIġMA VE ÖNERĠLER ... 110
x
5.1. Sonuç ... 110
5.2. TartıĢma ... 113
5.2.1. DüĢünme Yapıları ... 113
5.2.2. Temsiller Arası GeçiĢ ... 115
5.2.3. Analitik Geometri Performansı ... 117
5.2.4. DüĢünme Yapıları ve Temsiller Arası GeçiĢ ... 118
5.2.4.1. Durum Temsilinden ġekil ve Formül Temsiline GeçiĢ ... 119
5.2.4.2. ġekil Temsilinden Durum ve Formül Temsiline GeçiĢ ... 121
5.2.4.3. Formül Temsilinden Durum ve ġekil Temsiline GeçiĢ ... 122
5.2.5. DüĢünme Yapıları ve Analitik Geometri Performansı ... 125
5.2.6. Temsiller Arası GeçiĢ ve Analitik Geometri Performansı ... 133
5.3. Öneriler ... 137
KAYNAKLAR ... 140
EKLER ... 150
EK 1: Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ Testi ... 150
EK 2: Matematiksel Süreç Aracı ... 154
EK 3: MSA Cevap Anahtarı ... 170
EK 4: Analitik Geometri Doğru Durumları Testi ... 171
xi
TABLOLAR LĠSTESĠ
Tablo 1.1. Analitik Geometri Dersi Amaç ve DavranıĢları ... 3
Tablo 3.1. Test 1 Korelasyon Analizi Tablosu ... 42
Tablo 3.2. Test 2 Korelasyon Analizi Tablosu ... 42
Tablo 3.3. Test 3 Korelasyon Analizi Tablosu ... 42
Tablo 3.4. Test 4 Korelasyon Analizi Tablosu ... 43
Tablo 3.5. Üç Doğru için “Durum” Temsili Verilip ġekil ve Formül Temsili Ġstenen Bölüm ... 43
Tablo 3.6. Üç Doğru için “ġekil” Temsili Verilip Durum ve Formül Temsili Ġstenen Bölüm ... 44
Tablo 3.7. Üç Doğru için “Formül” Temsili Verilip Durum ve ġekil Temsili Ġstenen Bölüm ... 44
Tablo 3.8. Analitik Geometri Doğru Durumları Testinde Doğru Durumu ve Soru Temsili ... 45
Tablo 3.9. AGDDT Ġçin Uzman Kodlamaları Arasındaki ĠliĢkinin Ġncelenmesi ... 49
Tablo 3.10. Veri Toplama Araçları Uygulama Tablosu ... 54
Tablo 4.1. Betimsel Ġstatistikler ... 62
Tablo 4.2. Örneklemin MSA Puan Dağılımı ... 64
Tablo 4.3. Öğrencilerin DüĢünme Yapılarına Göre Sınıflandırılması... 65
Tablo 4.4. Krutetskii DüĢünme Yapılarına Göre Öğrencilerin Temsil GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 68
Tablo 4.5. Durumdan Formüle ve Formülden Duruma Geçme BaĢarıları Arasındaki Farkların T Testi Sonuçları... 69
Tablo 4.6. ġekilden Formüle ve Formülden ġekle Geçme BaĢarıları Arasındaki Farkların T Testi Sonuçları... 69
Tablo 4.7. Doğru Durumları EĢlemeler Testi Doğru Cevap Yüzdeleri ... 70
xii
Tablo 4.8. Durum Temsilinden ġekil Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 71
Tablo 4.9. Her Bir Soru Ġçin Durum Temsilinden ġekil Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 71
Tablo 4.10. Durum Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 72
Tablo 4.11. Her Bir Soru Ġçin Durum Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 73
Tablo 4.12. ġekil Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 75
Tablo 4.13. Her Bir Soru Ġçin ġekil Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 75
Tablo 4.14. ġekil Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 76
Tablo 4.15. Her Bir Soru Ġçin ġekil Temsilinden Formül Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 77
Tablo 4.16. Formül Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 78
Tablo 4.17. Her Bir Soru Ġçin Formül Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 79
Tablo 4.18. Formül Temsilinden ġekil Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 80
Tablo 4.19. Her Bir Soru Ġçin Formül Temsilinden Durum Temsiline GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 80
Tablo 4.20. AGDDT Çözüm Yüzdeleri Tablosu ... 81
Tablo 4.21. AGDDT‟de Soru Temsili Belli Olan Soruların Çözüm Yüzdeleri ... 82
Tablo 4.22. Birinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 83
Tablo 4.23. Ġkinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu... 84
Tablo 4.24. Üçüncü Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 86
Tablo 4.25. Dördüncü Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 86
Tablo.4.26. BeĢinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 87
Tablo 4.27. Yedinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 88
xiii
Tablo 4.28. Dokuzuncu Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 88
Tablo 4.29. On ikinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 88
Tablo 4.30. Altıncı Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 89
Tablo 4.31. Sekizinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 90
Tablo 4.32. Onuncu Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 91
Tablo 4.33. On Birinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 92
Tablo 4.34. On Üçüncü Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu... 93
Tablo 4.35. On Dördüncü Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 94
Tablo 4.36. On BeĢinci Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 95
Tablo 4.37. On Altıncı Soru Temsil GeçiĢleri Tablosu ... 96
Tablo 4.38. GörüĢmeye Seçilen Öğrencilerin Özellikleri ... 97
Tablo 4.39. Öğrencilerin Temsiller Arası GeçiĢ BaĢarı Yüzdeleri ... 98
xiv
ġEKĠLLER LĠSTESĠ
ġekil 3.1. ÇakıĢık Doğrularla Ġlgili Formül Temsilli 5.Soru ... 46
ġekil 3.2. KesiĢen Doğrularla Ġlgili ġekil Temsilli 11.Soru ... 46
ġekil 3.3. Doğruların ÇakıĢık Olası Ġle Ġlgili Formül Temsilli Yedinci Soru ... 48
ġekil 3.4. Doğruların KesiĢmesi Ġle Ġlgili ġekil Temsilli Onuncu Soru ... 48
ġekil 3.5. MSA, A Bölümü 4.Soru ... 50
ġekil 3.6. MSA, A Bölümü 4. Sorunun Çözümleri ... 50
ġekil 3.7. Düzeltmeden Önce A Bölümü 5.Soru ... 52
ġekil 3.8. Düzeltmeden Sonra A Bölümü 5.Soru ... 52
ġekil 4.1. Normal Dağılım Grafiği (PP Grafiği) ... 63
ġekil 4.2. Geometrik DüĢünme Yapısındaki Öğrencinin B Bölümü 10.Soru Çözümü ... 65
ġekil 4.3. Analitik DüĢünme Yapısındaki Öğrencinin B Bölümü 10.Soru Çözümü ... 66
ġekil 4.4. Harmonik DüĢünme Yapısındaki Öğrencinin A Bölümü 5. Soru Çözümü ... 66
ġekil 4.5. Harmonik DüĢünme Yapısındaki Öğrencinin A Bölümü 4. Soru Çözümü ... 66
ġekil 4.6. Doğru Durumları Temsil GeçiĢleri Öğrenci BaĢarı Yüzdeleri... 67
ġekil 4.7. Harmonik Öğrencinin 1. Soru ġekil Temsilli Kısmi Cevap Örneği ... 84
ġekil 4.8. Analitik Öğrencinin 1.Soru Formül Temsilli Doğru Cevap Örneği... 84
ġekil 4.9. Geometrik Öğrencinin 2.Soru Karma Temsilli Doğru Cevap Örneği .... 85
ġekil 4.10. Analitik Öğrencinin 3.Soru Formül Temsilli Doğru Cevap Örneği... 86
ġekil 4.11. Harmonik Öğrencinin 4.Soru ġekil Temsilli Doğru Cevap Örneği ... 87
ġekil 4.12. Geometrik Öğrencinin 6.Soru ġekil Temsilli Doğru Cevap Örneği ... 89
ġekil 4.13. Analitik Öğrencinin 6.Soru Formül Temsilli Doğru Cevap Örneği... 90
xv
ġekil 4.14. Analitik Öğrencinin 8.Soru ġekil Temsilli YanlıĢ Cevap Örneği ... 91
ġekil 4.15. Analitik Öğrencinin 8.Soru ġekil Temsilli Doğru Cevap Örneği ... 91
ġekil 4.16. Geometrik Öğrencinin 11.Soru Karma Temsilli Doğru Cevap Örneği .. 92
ġekil 4.17. Analitik Öğrencinin 11.Soru Formül Temsilli Doğru Cevap Örneği... 93
ġekil 4.18. Harmonik Öğrencinin 13.Soru Karma Temsilli Doğru Cevap Örneği ... 94
ġekil 4.19. Geometrik Öğrencinin 14.Soru ġekil Temsilli Doğru Cevap Örneği ... 94
ġekil 4.20. Analitik Öğrencinin 14.Soru Formül Temsilli YanlıĢ Cevap Örneği ... 95
ġekil 4.21. Geometrik Öğrencinin 15.Soru Karma Temsilli Doğru Cevap Örneği .. 95
ġekil 4.22. Geometrik Öğrencinin 16.Soru Karma Temsilli Doğru Cevap Örneği .. 96
ġekil 5.1. Analitik Öğrencinin Görsel Olmayan Çözümü ... 114
ġekil 5.2. Harmonik Öğrencinin Görsel Çözümü ... 114
ġekil 5.3. Geometrik Öğrencinin Görsel Çözümü... 115
ġekil 5.4. Analitik Öğrencinin Üç Doğru Ġçin ġekil ve Formül Temsili Yanıtı .... 119
ġekil 5.5. Harmonik Öğrencinin Üç Doğru Ġçin ġekil ve Formül Temsili Yanıtı. 120 ġekil 5.6. Geometrik Öğrencinin Üç Doğru için Durum ve Formül Temsili Yanıtı ... 122
ġekil 5.7. Analitik Öğrencinin Üç Doğru için Durum ve Formül Temsili Yanıtı . 122 ġekil 5.8. Analitik Öğrencinin Üç Doğru için ġekil ve Formül Temsili Yanıtı .... 124
ġekil 5.9. Geometrik Öğrencinin Soruyu En Klasik Yoldan Çözmesi... 127
ġekil 5.10. Geometrik Öğrencinin 12. Soru Çözümü ... 128
ġekil 5.11. Analitik Öğrencinin 13. Soru Çözümü ... 128
ġekil 5.12. Harmonik Öğrencinin 8. Soru Çözümü... 128
ġekil 5.13. Harmonik Ölçeği ... 130
ġekil 5.14. Analitik Öğrencinin 4. Soru Çözümü ... 130
ġekil 5.15. Geometrik Öğrencinin Çözümü ... 135
xvi
ġekil 5.16. Harmonik Öğrencinin Çözümü ... 135 ġekil 5.17. Analitik Öğrencinin Çözümü ... 136
xvii
KISALTMALAR
AGDDT :Analitik Geometri Doğru Durumları Testi DDTAGT :Doğru Durumları Temsiller Arası GeçiĢ Testi MEB :Milli Eğitim Bakanlığı
MSA :Matematiksel Süreç Aracı
NCTM :National Council of Teachers of Mathematics TDK :Türk Dil Kurumu
1
BÖLÜM I: GĠRĠġ
Bu bölümde, çalıĢmanın ana hatları hakkında bilgi verecek olan araĢtırmanın problem durumu, amacı, soruları, önemi, sınırlılıkları, varsayımları, çalıĢmada geçen kavramların tanımlarına ve kısaltmalara yer verilmiĢtir.
1.1.Problem Durumu
Bilimde, sanatta ve teknolojideki geliĢmeler yaratıcı düĢünmenin bir sonucudur.
DüĢünme yeteneği, insanları diğer canlılardan ayıran en temel özelliktir. DüĢünme, olaylardan anlam çıkartıp koĢulları kendine uygun olarak yeniden düzenleyebilme, olaylar arasında bağ kurma, akıl yürütme, tahminlerde bulunma ve problem çözme yeteneğidir. Matematik eğitimi de, düĢünmeyi geliĢtiren en önemli araçlardan biridir.
Bu nedenle matematik eğitimi, temel eğitimin en önemli yapı taĢıdır (Umay, 2003).
Bilimsel düĢüncenin temeli olan matematik, içinde yaĢadığımız dünyayı algılama ve anlamamıza yarayan bir bilim dili olma özelliğine de sahiptir. Ġnsanlar anladıklarını ancak matematik ile Ģekillendirebilirler (Milli Eğitim Bakanlığı, MEB, 2005).
Matematik dil, ırk, din ve ülke farkı gözetmeksizin uygarlıklardan uygarlıklara büyüyerek ve zenginleĢerek geçen, birey için, toplum için bilim ve teknoloji için gerekli olan sağlam, kullanıĢlı ve evrensel bir dildir (Karaçay, 1985).
Matematik, bütün bilimlerin, özellikle de fen bilimlerinin temelini oluĢturan, biçim, sayı ve büyüklüklerin yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki iliĢkileri mantık yoluyla inceleyen ve aritmetik, cebir, geometri gibi dallara ayrılan bilim dalıdır (Türk Dil Kurumu, TDK, 1983). Bu dallardan biri olan cebir; yapı, bağıntı ve nicelik üzerine uğraĢan bir matematik dalıdır. Bilinmeyen değerlerin, simge ve harflerle ifade edilip denklemler kurulması ya da bilinmeyenlerin arasındaki bağıntının bulunması temeline dayanır (Yenilmez & Avcu, 2009). Aynı Ģekilde, matematikte ve matematik öğretiminde önemli bir yere sahip olan cebir; sayı ve semboller kullanarak eldeki incelenen iliĢki veya iliĢkileri genelleĢtirilmiĢ denklemlere dönüĢtüren bir matematik dalıdır (Akkaya & DurmuĢ, 2006). Cebir, soyut olanı kavramsallaĢtırma konusunda belirli yöntemler ile yeni bir düĢünme ve bilgi edinme Ģekli kazanmamızı sağlamaktadır ve cebiri anlayan kiĢi, teorik konularla ilgili daha iyi düĢünebilen ve daha mantıklı
2 sonuca varabilen kiĢidir (Weaver, 2004, s.65). Matematiğin önemli alt dallarından olan geometri ise, nokta, doğru, düzlem, düzlemsel Ģekiller, uzay, uzaysal Ģekiller ve bunlar arasındaki iliĢkilerle geometrik Ģekillerin uzunluk, açı, alan, hacim gibi ölçülerini konu edinir (Erol, 2008). Clements & Battista‟ a (1992) göre geometri, nefes aldığımız, yaĢadığımız ve hareket ettiğimiz yer olan uzayı (evreni) anlamaktır (Akt; Gülkılık, 2008).
Cebir ile geometri bilim dallarının birleĢmesiyle yani, geometrinin cebir aracılığıyla incelenmesiyle oluĢan matematik dalına “Analitik Geometri” denir (Gözen, 2001). Rene Descartes, 1637 yılında kartezyen koordinat sistemini kullanarak, cebir dilini geometriye uygulamıĢtır. Böylece analitik geometriyi kurmuĢ ve modern matematiğin öncüsü olmuĢtur (Özerdem, 2007). Bu yöntemle geometri problemleri cebir denklemleriyle veya cebir problemleri geometri yardımıyla çözülmüĢtür. Analitik geometrinin en temel konusu olan doğrunun analitiği ile ilgili bir sorunun çözümünde soru geometriksel çözümü önerse de öğrenciler cebirsel çözümle soruyu çözeceklerini düĢünebilirler. Ya da cebirsel çözümü öneren bir soru için geometriksel çözümün kendilerini sonuca daha kolay ulaĢtırabileceği düĢünülebilir. Bu bağlamda, bu çalıĢmada doğru denklemlerini içeren bir problemi çözerken öğrencilerin hangi temsili kullandıkları, dolayısıyla, Ģekil temsilinden formül temsiline ya da formül temsilinden Ģekil temsiline geçiĢleri, incelenmesine odaklanılmıĢtır.
Analitik geometride cebirsel bir denklem, grafiksel bir Ģekilde ifade edilebilmektedir.
Örneğin; 3x + 5y = 7 cebirsel denkleminin çözümünü oluĢturan (x,y) ikililerinden en az iki tanesini analitik düzlemde iĢaretleyip bu noktalar birleĢtirildiğinde doğru denkleminin grafiği çizilmiĢ olmaktadır. Bu örnek, yani cebirsel doğru denklemi verildiğinde bu denklemin analitik düzlemde grafiğinin çizilmesi, analitik geometri dersinin öğrencilere kazandırmak istediği önemli kazanımlardan biridir. ÇalıĢmada, doğru denklemi ve doğruların birbirine göre durumları inceleneceğinden bu konu kapsamına giren eğim kavramının öğrenciler tarafından biliniyor olması önemlidir. Bu doğrultuda, Milli Eğitim Bakanlığının (MEB, 1992) yayımladığı Analitik Geometri Dersi Öğretim Programında yer alan ve bu çalıĢma ile ilgili olan Amaç ve DavranıĢlar Tablo 1.1‟de görüldüğü gibidir.
3 Tablo 1.1.
Analitik Geometri Dersi Amaç ve DavranıĢları
1. Dik üçgende bir açının tanjantını tanımlama.
2. Eksen çember yardımıyla, geniĢ açıların trigonometrik oranlarını, dar açıların trigonometrik oranları cinsinden hesaplama.
3. Ölçüsü 30, 45, 60, 90 derece veya bunlardan birisinin herhangi bir katı olan açının tanjantını söyleme ve yazma.
4. Bir doğrunun eğim açısını ve eğimini tanımlama.
5. Bir noktası bilinen doğrunun eğimini veren bağıntıyı bulma.
6. Ġki doğrunun paralel olma Ģartını açıklama.
7. Ġki doğrunun dik olma Ģartını açıklama.
8. Eğimini ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini bulma.
9. Ġki noktası bilinen doğrunun denklemini bulma.
10. Koordinat eksenlerine paralel olan doğruların eğimlerini söyleme ve yazma.
11. Koordinat eksenlerine paralel olan doğruların denklemlerini söyleme ve yazma.
12. D={(x,y) | y=mx+n, m,n R, (x,y) RxR} kümesini analitik düzlemde gösterme
13. ax+by+c=0 biçimindeki bir denklemin düzlemde bir doğru temsil ettiğini (a,b,c‟ nin alacağı değerlere göre irdeleyerek) gösterme.
14. Eksenleri kestiği noktalar verildiğinde, doğrunun denklemini bulma, 15. Ġki doğrunun kesiĢme noktasının koordinatlarını bulma.
16. Ġki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde yorumlama.
17. KesiĢen iki doğrunun oluĢturduğu açının ölçüsünü veren bağıntıyı bulma.
18. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını veren bağıntıyı bulma.
1. Bir noktası ve eğimi verilen doğrunun denklemini bulma ile ilgili problem çözme.
2. Ġki noktası verilen doğrunun denklemini bulma ile ilgili problem çözme.
3. Koordinat eksenlerinin denklemlerini söyleme ve yazma.
4. Eğim açısı 30, 45, 60,90 derece veya bunlardan birisinin belli bir katı olarak verilen doğrunun eğimini söyleme ve yazma.
5. Koordinat eksenlerinin oluĢturduğu açıların açıortay doğrularının değerlerini bulma.
6. Verilen bir noktadan geçen ve eksenlere paralel olan doğruların değerlerini yazma.
7. Bir doğrunun denklemi verildiğinde eğimini ve istenen noktalarını bulma.
8. Denklemleri verilen iki doğrunun birbirine göre durumlarını belirleme ile ilgili problem çözme.
9. Denklemleri verilen iki doğrunun kesiĢim noktasını bulma.
10. Verilen iki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin çözüm kümesinin varlığını analitik düzlemde irdeleme ve varsa çözüm kümesini bulma.
11. KöĢelerinin koordinatları verilen bir üçgenin kenarlarını ve yüksekliklerini taĢıyan doğruların denklemlerini bulma.
12. Verilen noktalar ve doğrular arasındaki uzaklıkları bulma ile ilgili problem çözme.
13. KesiĢen iki doğrunun oluĢturduğu açının, açıortaylarının denklemlerini bulma.
14. Verilen üç noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını gösterme.
Amaç: Analitik Düzlemde Doğru Denklemini Kavrayabilme.
DAVRANIġLAR
Amaç: Doğrunun analitik incelenmesi ile ilgili uygulama yapabilme.
DAVRANIġLAR
4 Analitik geometrideki doğruların Ģekil (grafiksel) temsili ile formül (cebirsel) temsili arasında bağ kurmak ve bu temsillerin birinden diğerine geçiĢ durumlarının olması, matematiksel düĢünmenin bir sonucu olacaktır. Her bireyin pek çok anlamda farklı olduğu düĢünülürse, her bireyin temsiller arasındaki geçiĢ düzeyi de farklı olacaktır. Bu anlamda bu tez çalıĢmasında Krutetskii düĢünme yapıları olan analitik, harmonik ve geometrik düĢünme yapılarına sahip olan öğrencilerin bu temsil geçiĢleri arasında fark olup olmadığı, varsa ne düzeyde bir farklılık olduğu merak edilerek, araĢtırılmaya çalıĢılmıĢtır.
Krutetskii‟ye (1976) göre öğrenciler, zihinsel aktivitelerini kullanmalarına göre üç gruba ayrılmaktadır; analitik, geometrik ve harmonik. Analitik düĢünme yapısına sahip olan öğrenciler, soyut düĢünce tarzına sahiptir; problem görsel kavramları önerse dahi, problemin çözümünde nesneleri görsellemek için görsel dayanaklara ihtiyaç duymazlar.
Geometrik düĢünme yapısına sahip olan öğrenciler, resimsel düĢünme tarzına sahiptir.
Bu öğrenciler soyut matematiksel iliĢkileri görsel olarak yorumlarlar. Problemi çözmek için görsel, grafiksel yöntem kullanmak zor olsa dahi, geometrik düĢünenler Ģemaları kullanmada ısrarcıdırlar. Harmonik düĢünme yapısına sahip olan öğrenciler ise birçok problemi çözmede hem analitik hem de geometrik düĢünürler. Harmonik düĢünme yapısı baskın olan bir öğrencinin sözel-mantıksal ve görsel-resimsel bileĢenleri eĢittir (Aspinwall, Shaw & Unal, 2005).
Bu çalıĢmada bahsi geçen doğru denklemleri ve doğruların birbirine göre durumlarında Ģekil temsili, durum temsili ve formül temsili ile birbirleri arasındaki geçiĢler temsiller arası geçiĢ konusu kapsamına, bir doğru denkleminin formül, durum ya da Ģekil gösterimi de çoklu temsil kapsamına girmektedir. Çünkü çoklu temsil, adından da anlaĢılacağı üzere bir kavramın birden fazla Ģekilde ifade edilmesidir. Matematik eğitiminin hedeflerinden bir tanesi de öğrencilerin matematiksel kavram ve kuralları çoklu temsil biçimleri ile gösterebilmeleri ve bu temsil biçimleri arasında iliĢki kurabilmeleridir ki bu hedef doğrultusunda da öğrencilere somut ve soyut temsil biçimleri arasında iliĢkilendirme yapabilecekleri problemler çözdürülmesidir (MEB, 2005). Analitik geometri problemleri de, farklı problem çözme yöntemleri ve stratejileri kullanılabilen problemler olduğundan, bu çalıĢmada analitik geometri soruları öğrencilere çözdürülmüĢtür. Bu nedenle, Milli Eğitimin hedeflerinden biri sağlanmıĢ olmaktadır.
5
1.2. AraĢtırmanın Amacı
ÇalıĢmada; doğruların birbirlerine göre durumları ve verilen doğru denklemlerinin grafiğini çizme, (yani formül temsilinden Ģekil temsiline geçme) veya Ģekil temsili verilmiĢ bir doğrunun formül temsilini gösterme ya da bulma davranıĢları ile doğru durumlarını sözel olarak ifade etmeleri (durum temsili) üzerinde durulacaktır.
Öğrenciler Krutetskii (1976) düĢünme yapılarına göre analitik, harmonik ve geometrik düĢünme yapısına sahip bireyler olarak sınıflandırılabilirler. Bu sınıflandırmalardan birine mensup olan öğrencilerin, doğru durumları ile ilgili tercih ettikleri temsiller (Ģekil, formül, durum) ile bu temsiller arası geçiĢ baĢarılarının ne düzeyde olduğu incelenecektir. Farklı ve aynı düĢünme yapısında olan öğrencilerin temsil tercihlerinin ile temsiller arasındaki geçiĢ baĢarılarının incelenmesi bu çalıĢmanın en önemli amacıdır.
1.3. AraĢtırma Soruları
Nicel araĢtırmalarda araĢtırma sorusu baĢtan kesin olarak belirlenirken, nitel araĢtırmalarda araĢtırma sorusu yazma süreci “geliĢtirme” ve “yeniden ifade etme” ye dayalı bir çalıĢma içerir (Yıldırım & ġimĢek, 2006). Açık seçik tanımlanmıĢ bir araĢtırma sorusu, araĢtırma için iyi bir baĢlangıçtır (Karasar, 2002). AraĢtırmacıya esneklik sağlayabilecek en genel ifadelerle ve açık uçlu sorularla belirlenen araĢtırma sorusu, problem durumunu ve araĢtırmanın amacını iyi açıklamalı ve elde edilecek olası verilerle cevaplanabilecek nitelikte olmalıdır. Ayrıca araĢtırma ilerledikçe yani veri toplama ve değerlendirme sürecinde bu açık uçlu sorular daha özel ve kapalı uçlu sorulara doğru indirgenebilir (Kertil, 2008).
Doğrunun analitiği ile ilgili bir sorunun çözümünde soru geometriksel çözümü önerse de öğrenciler cebirsel çözümle soruyu çözeceklerini düĢünebilirler. Ya da cebirsel çözümü öneren bir soru için geometriksel çözümün öğrenciyi sonuca daha kolay ulaĢtırabileceği düĢünülebilir. Bu bağlamda bu çalıĢmada doğru denklemlerini içeren doğrunun analitiği ile ilgili bir problemde farklı düĢünme yapısında olan öğrencilerin, problemi çözerken tercih ettikleri temsiller ile bu temsiller arasındaki geçiĢ baĢarıları ve doğruların birbirine göre durumlarında Ģekil, formül ve durum temsilleri arasındaki geçiĢ baĢarıları incelenecektir.
6 Bu amaçlarla ve ilgili literatür ıĢığında en genel araĢtırma sorusu olarak “Krutetskii düĢünme yapıları olan geometrik, harmonik ve analitik düĢünme yapısına sahip 12.sınıf öğrencilerinin analitik geometri dersi doğru durumlarındaki temsiller arası geçiĢ düzeyleri nedir?” Ģeklinde belirlenmiĢ olup, daha sonra veri toplama ve analizi sürecinde incelenen durumlar aĢağıda ifade edilmiĢtir:
1. Öğrencilerin sahip oldukları düĢünme yapıları nasıldır?
2. Öğrencilerin, paralel, çakıĢık ve kesiĢen doğruların temsillerinde tercih ettikleri temsil türü, sahip oldukları düĢünme yapısına göre değiĢiklik gösterir mi?
3. Krutetskii düĢünme yapılarına göre temsiller arası geçiĢlerin incelenmesi
a. Geometrik, harmonik ve analitik düĢünme yapısında olan öğrencilerin durum temsilinden Ģekil temsiline ve formül temsiline geçiĢ baĢarıları arasında farklılıklar var mıdır?
b. Geometrik, harmonik ve analitik düĢünme yapısında olan öğrencilerin formül temsilinden durum temsiline ve Ģekil temsiline geçiĢ baĢarıları arasında farklılıklar var mıdır?
c. Geometrik, harmonik ya da analitik düĢünme yapısında olan öğrencilerin Ģekil temsilinden durum temsiline ve formül temsiline geçiĢ baĢarıları arasında farklılıklar var mıdır?
4. Geometrik, harmonik ve analitik düĢünme yapısında olan öğrencilerin analitik geometri performansları arasında ne gibi farklılıklar vardır?
5. Sahip olunan geometrik, harmonik ve analitik düĢünme yapıları, öğrencilerin analitik geometri problemlerinin çözümündeki temsil tercihlerini nasıl etkiler?
6. Öğrencilerin, temsiller arası geçiĢ ile analitik geometri performansları arasında nasıl bir iliĢki vardır?
1.4. AraĢtırmanın Önemi
12. sınıf öğrencilerinin “Analitik Geometri” dersinde “Doğrunun Analitik Ġncelenmesi”
ünitesinde yer alan doğru durumları ile ilgili bilgilerinin ve temsiller arası geçiĢlerinin Krutetskii düĢünme yapıları bağlamında incelenmesini içeren bu çalıĢma, öncelikle doğrunun analitik incelenmesi ile ilgili yapılmıĢ çalıĢmaların çok az olması sebebiyle, alana katkı getireceğinden dolayı önemlidir. Analitik geometri konusuyla örtüĢtüğü
7 gözlenen, analitik geometrideki doğru durumlarının Krutetskii düĢünme yapıları bağlamında da incelenmesi ve bununla ilgili daha önce yapılmıĢ bir çalıĢmaya rastlanmaması da bu çalıĢmanın önemini artırmaktadır.
Analitik geometri dersinin aĢamalılık içermesi, doğrunun analitik incelenmesi ünitesinin diğer üniteler için temel teĢkil etmesi de bu ünitenin öğrenciler açısından önemli olmasını sağlamaktadır. Bu araĢtırma aynı zamanda doğru denkleminin formül temsili ve Ģekil temsili ve durum temsili (çoklu temsil) ile bunlar arasındaki geçiĢi de (temsiller arası geçiĢ) inceleyeceğinden dolayı önemlidir. Çünkü çoklu temsil kullanımı, öğrencilerin çözümlere farklı bakıĢ açısıyla bakmasını ve kavramın anlaĢılmasını kolaylaĢtırmakta (Keller & Hirsch,1998) ve temsiller arası geçiĢ becerisi de kavramsal düzeyde öğrenmenin gerçekleĢmesi için bir zemin oluĢturmaktadır (Kaput, 1998).
Analitik geometri dersi geometrinin cebirle iĢbirliğinden oluĢur, bu nedenle ortaöğretimde okutulan analitik geometri dersi, 12.sınıfa kadar okutulmuĢ olan matematik ve geometri derslerinin harmanlanmıĢ, yoğun bir uygulamasıdır. Bu da öğrencilerin kavramlar arasında iliĢkiler kurarak geçmiĢ bilgilerini pekiĢtirmelerini sağlar. Böylece girecekleri üniversite sınavlarına da bir nevi hazırlık olmaktadır.
Temsil, öğrencilere matematiğe yönelik kavramları kelimelerde sözel, tablolarda sayısal, grafiklerde görsel ve sembollerde cebir temsillerini anlamaya yardımcı olan bir araç olarak da ifade edilebilir (Schneider, 1995). Temsillerden biri olan grafikler, sayılarla kolay ifade edilemeyen matematiksel iliĢkileri göstermede yardımcı olan, aritmetik ve cebirsel problemlerin çözümünde ve değiĢkenler arasındaki karmaĢık iliĢkileri ifade etmede yardımcı olan araçlardır. Demirci & Uyanık‟ın (2009) aktardığına göre, grafikler öğrencilerde kavramsal anlamaya yardımcı olur ve verilerin düzenlenmesi, yorumlanması ve sunulmasında kolaylık sağlarlar. Grafik gösterimler oluĢturma, grafiksel gösterimden cebirsel ya da aritmetiğe geçme matematikte olduğu gibi fizik, kimya gibi derslerde yer almaktadır. Bu nedenle öğrencilerin matematik derslerinde grafiksel gösterimler oluĢturma ve yorumlama becerileri kazanmaları, diğer derslerde de baĢarılı olunmasına katkı sağlayacağından (Tekin, Konyalıoğlu & IĢık, 2009), cebirsel doğru denkleminin Ģekil temsiliyle ifade edilmesi ve Ģekil temsilinden formül temsiline geçiĢ etkinliklerinin öğrenciler tarafından ne derece kazanılıp kazanılmadığını incelemek önemlidir.
8 Doğru denklemi ve grafiği ile ilgili olarak öğrencilerde karĢılaĢılan yanılgılar fonksiyonlar, limit, türev ve integral gibi konularda öğrenciler için ciddi öğrenme zorluklarını da beraberinde getirebileceğinden (Birgin & Kutluca, 2006) dolayı doğru denkleminin ve grafiğinin öğrenciler tarafından iyi öğrenilmesi önemli bir konudur. Bu nedenle öğrencilerin doğru denkleminin ifadesinde temsiller arası geçiĢin bilinmesi onların doğru denklemi ile ilgili kavramsal yanılgıların olup olmadığını belirlemek açısından da önemlidir.
Bireylerin ne bildikleri, nasıl düĢündükleri ile problemle karĢılaĢtıklarında nasıl bir çözüm yolu tercih ettiklerinin bilinmesi, etkili öğrenmeyi ve sağlıklı düĢünme sürecini kolaylaĢtırır. Bu bağlamda öğrencilerin sahip olduğu düĢünme yapılarının bilinmesi, farklı düĢünme yapılarındaki öğrencilerin problemlerde nasıl bir çözüm yolu tercih ettiğinin ve doğruların temsillerindeki geçiĢlerin ne düzeyde olduğunun araĢtırılması önem kazanmaktadır.
1.5. Sınırlılıklar Bu araĢtırma,
1. Öğrencilerin doğru durumlarının durum, formül ve Ģekil temsili ile temsiller arası geçiĢi Krutetskii düĢünme yapıları bağlamında incelemeyi hedeflediği için kullanılan veri toplama yöntemi ve teknikleriyle sınırlıdır.
2. Amaçlardaki sorularla sınırlıdır.
3. ÇalıĢma grubunun veri toplama araçları kapsamındaki ölçeklere verdikleri yanıtlarla sınırlıdır.
4. Süre açısından 2010-2011 eğitim öğretim yılı ile sınırlıdır.
5. Bir devlet lisesinde 12.sınıfta okuyan 80 kiĢilik çalıĢma grubu ile sınırlıdır.
1.6. Varsayımlar
1. Öğrenciler, araĢtırma kapsamındaki soruları yanıtlarken gerçek duygu ve düĢüncelerini içtenlikle yansıttığı varsayılmıĢtır.
9
1.7. Tanımlar
Analitik Geometri: Geometrik nicelikleri cebir formülleriyle gösteren matematik bilimi.
DüĢünme Yapısı: Problem çözümüne yaklaĢım ve akıl yürütme biçimi.
Temsil: Matematiksel durumları açıklama ve anlamlandırmada kullanılan gösterim biçimi.
Durum temsili: Ġki ya da daha fazla doğrunun birbirine göre durumlarının sözel ifadesi.
Formül Temsili: Ġki ya da daha fazla doğrunun birbirine göre durumlarının denklem olarak gösterim biçimi (cebirsel gösterimi).
ġekil Temsili: Ġki ya da daha fazla doğrunun birbirine göre durumlarının geometrik olarak gösterim biçimi (görsel gösterimi).
Temsiller Arası GeçiĢ: Doğru denklemleriyle ilgili soruların verildiği ve çözümünün beklendiği temsilin birbirinden farklı olduğu durum.
10
BÖLÜM II: ALANYAZIN
Frankel & Devers‟e (2000) göre, bir araĢtırmaya baĢlamadan önce, araĢtırma yapılacak konuda genel olarak bilgi sahibi olabilmek, doğru kavramları kullanabilmek ve sonraki aĢamalarda kullanılabilecek ilgili kaynakları ortaya çıkarmak için literatür taraması yapmakta fayda vardır (Akt. Büyüköztürk & Kılıç-Çakmak, Akgün, Karadeniz &
Demirel, 2009). Bu bağlamda, bu bölümde, matematik ve matematiğin alt dalı olarak analitik geometri, matematik eğitiminde temsil ifadesi ve çoklu temsillerin kullanımı, düĢünme yapıları ve matematiksel düĢünme yapısı olan Krutetskii düĢünme yapıları ile ilgili bilgiler, literatür ıĢığında, belirli bir düzen içinde sıralanmaktadır.
2.1. Matematik
Matematik, sembol ve Ģekiller üzerine kurulmuĢ, ele alınan bilgiyi ya da problemlerin çözümlerini içeren yolları buluĢçu düĢünceye dayalı sistematik bilgi olarak ifade etmemizi sağlayan evrensel dil, evrensel kültür ve teknolojidir. Bilimsel düĢüncenin temeli olan matematik, içinde yaĢadığımız çevre ve dünyayı algılamamıza yardımcı olarak, algıladıklarımızı Ģekillendirmemizi sağlar (MEB, 2005) ve matematik, aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adıdır (Altun, 1998).
Matematik, cisimler, Ģekiller ve sembollerle iliĢkiler ve desenler inĢa etme tekniğidir, sayı ve uzay bilimidir, aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayalı niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adıdır (Olkun & Toluk, 2003; Altun, 2004).
Matematik öğretiminin öncelikli amacı, bireye günlük yaĢamında karĢılaĢabileceği matematiksel bilgi ve becerileri kazandırarak, bireye görüĢ geliĢtirerek, olaylara faklı açıdan bakmayı öğretir (Erüs, 2007). Lise matematik eğitiminin genel amaçları aĢağıdaki gibi belirtilmektedir (MEB, 2005, s.18). Öğrenciler, bu amaçlar doğrultusunda hazırlanan matematik eğitimi programı sonucunda;
1. Matematiksel kavramları ve sistemleri anlayabilecek, bunlar arasında iliĢkiler kurabilecek, günlük hayatta ve diğer öğrenme alanlarında kullanabilecektir.
11 2. Matematikte veya diğer alanlarda, ileri bir eğitim alabilmek için gerekli
matematiksel bilgi ve becerileri kazanabilecektir.
3. Tümevarım ve tümdengelim ile ilgili çıkarımlar yapabilecektir.
4. Matematiksel problemleri çözme süreci içinde, kendi matematiksel düĢünce ve akıl yürütmelerini ifade edebilecektir.
5. Matematiksel düĢüncelerini, mantıklı bir Ģekilde açıklamak ve paylaĢmak için matematiksel terminolojiyi ve dili doğru kullanabilecektir.
6. Tahmin etme ve zihinden iĢlem yapma becerilerini etkin olarak kullanabilecektir.
7. Problem çözme stratejileri geliĢtirebilecek ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilecektir.
8. Model kurabilecek, modelleri sözel ve matematiksel ifadelerle iliĢkilendirebilecektir.
9. Matematiğe yönelik olumlu tutum geliĢtirebilecek, özgüven duyabilecektir.
10. Matematiğin gücünü ve iliĢkiler ağı içeren yapısını takdir edebilecektir.
11. Entelektüel merakını ilerletecek ve geliĢtirebilecektir.
12. Matematiğin tarihi geliĢimi ve buna paralel olarak insan düĢüncesinin geliĢmesindeki rolünü ve değerini, diğer alanlardaki kullanımının önemini kavrayabilecektir.
13. Sistemli, dikkatli, sabırlı ve sorumlu olma özelliklerini geliĢtirebilecektir.
14. AraĢtırma yapma, bilgi üretme ve kullanma gücünü geliĢtirebilecektir.
15. Matematik ve sanat iliĢkisini kurabilecek, estetik duygularını geliĢtirebilecektir.
Matematik eğitimi sayesinde bireyler, doğru düĢünmeyi öğrenebilecek, kendilerine olan özgüvenleri artarak karĢılaĢtıkları problemler karĢısında probleme doğru ve akılcı çözümler üretebilecek ve kavramlar arasında neden-sonuç iliĢkisi kurabileceklerdir (Baykul, 1994). Matematikte öğrenci baĢarısını sağlamak için onlara akıl yürütme, muhakeme yapma, derinlemesine düĢünme ve problem çözme becerileri kazandırılmalıdır. Kazandırılan bu beceriler onların sadece matematik derslerinde değil, diğer derslerde de baĢarılı olmasını sağlayacaktır. Örneğin, öğrencilerin matematiği kullanma becerileri ile fizik derslerindeki baĢarıları arasında anlamlı bir korelasyon olduğunu ifade eden çalıĢmalar bulunmaktadır (Hudson, 1986; Hudson & Rottmann, 1981; Cohen, Hillman & Agne, 1978; akt. Delialioğlu & AĢkar, 1999). Matematik
12 eğitiminin iyi olması, öğrencilerin diğer derslerde baĢarılı olmalarını sağlamanın yanında matematiğin alt dallarında da önemli olmaktadır.
2.1.1. Matematiğin Bir Dalı Olarak Analitik Geometri
Tek bir matematiksel modelin, birçok somut olayı ve durumu temsil edebilme gücü onun “soyut” olarak nitelendirilen üstün bir özelliğidir (Karaçay, 1985). Matematiğin somut varlıklardan ve fiziksel olaylardan arınıp soyutlanabilir olması da onun insanların ortak düĢünme aracı olarak evrensel bir dil olup, durmadan geliĢimini sağlamıĢtır.
Örneğin, sayma, sayılarla iĢlem yapma eylemlerini içeren aritmetiğin geliĢmesiyle cebir doğmuĢtur. Cebir, genel sayı iliĢkilerini ve özelliklerini gösteren, polinom ve denklem çözümleri gibi konuları sembolize eden matematiğin bir dalı olmanın yanında sembollerle hesap da yapabilen bir araçtır (Kieran, 1992; akt Gürbüz & Akkan, 2008).
Cebir, bilinmeyenlerden, formüllerden, genellemelerden ve bu bilinmeyenlerin birbirleriyle olan iliĢkilerinden oluĢur.
Matematiğin soyut bir doğası vardır. Öğrencilerin bu soyut doğayı analiz ederek soyut kavramları daha iyi anlaması için görsel öğelerden yararlanması gerekir. Bu da geometri ile mümkündür. Somut kavramların analizinde geometriden yararlanıldığı gibi soyut kavramların daha iyi anlaĢılması için de resim, Ģekil, figür ve diyagram gibi görsel öğelerden faydalanılabilir (Nemirovsky & Noble, 1997). Matematiksel bir dil ile ifade edilen durumları yorumlayabilmek için çeĢitli geometrik bilgi ve beceriler gerekmektedir. Geometrinin temel amacı, “düzlemde ve üç boyutlu uzayda geometrik nesnelerin özelliklerini tanıma, aralarındaki iliĢkileri bulma, dönüĢümleri açıklama, geometrik yeri tanımlama, geometrik önermeleri kanıtlama” olarak ifade edilebilir (Baki, 2006). Geometrinin baĢarısını etkileyen Gardner‟in zeka türlerinden biri olan uzaysal yetenek ile görselleĢtirme kavramları, öğrencinin çevresini ve matematiğin pek çok konusunu anlamasına yardımcı olur. GörselleĢtirmeyle öğrenme somutlaĢtırılır, anlamlandırılır ve görselleĢtirme, kavramların somut ile soyut ifadeleri arasındaki geçiĢlerin öğrenilmesinde yararlı bir yaklaĢımdır (IĢık & Konyalıoğlu, 2005).
ÇalıĢmamızdaki Krutetskii düĢünme yapılarından geometrik düĢünenler, zihinlerinin görsel-resimsel bileĢenlerini etkin kullanırlar, yani uzaysal yetenekleri geliĢmiĢtir.
Yapılan pek çok araĢtırma, uzaysal yetenekle matematik baĢarısı arasında pozitif bir iliĢki olduğunu söylemektedir (Akt. Bulut & Köroğlu, 2000).
13 Geometri bilim dalıyla cebirin birleĢmesi ve yardımlaĢması ile matematiğin önemli bir dalı olan analitik geometri bilimi doğmuĢtur. Rene Descartes, 1637 yılında kartezyen koordinat sistemini kullanarak, cebir dilini geometriye uygulamıĢtır. Böylece analitik geometriyi kurmuĢ ve modern matematiğin öncüsü olmuĢtur (Özerdem, 2007). Analitik geometri, cebir ile geometrinin iyi bir ortak uygulama alanı buldukları bilim dalıdır.
Analitik geometri, koordinat sistemindeki geometrik Ģekillerle ilgili bilgileri matematiğin cebirsel denklemlerini kullanarak bizlere sunar. Analitik geometrinin temel amacı, geometri problemlerine cebirsel bir açıklama getirmek suretiyle onları çözmektir. Verimli bir matematik dalı olan analitik geometride, geometri, Ģeklin gözlenme iĢinden kurtulup niceliksel bir boyuta kavuĢarak cebire yaklaĢmıĢtır. Yani geometri cebirle buluĢmuĢ ve daha da soyutlaĢmıĢtır (Gözen, 2001).
Analitik geometride cebirsel bir denklem, grafiksel bir Ģekilde ifade edilebilmektedir.
Örneğin; 3x + 5y = 7 cebirsel denkleminin çözümünü oluĢturan (x,y) ikililerinden en az iki tanesini analitik düzlemde iĢaretleyip bu noktalar birleĢtirildiğinde doğru denkleminin grafiği çizilmiĢ olmaktadır. Bu örnek, yani cebirsel doğru denklemi verildiğinde bu denklemin analitik düzlemde grafiğinin çizilmesi, ortaöğretim analitik geometri dersinin öğrencilere kazandırmak istediği önemli kazanımlardan biridir.
Ayrıca bu konu ile ilgili kazanımlar, ilköğretim ikinci kademe programında Ģu Ģekilde yer almaktadır: “Ġki boyutlu Kartezyen koordinat sistemini açıklar ve kullanır.”,
“Doğrusal denklemleri açıklar.”, “Doğrusal denklemlerin grafiğini çizer.”, “Doğrunun eğimini modelleriyle açıklar.” , “Doğrunun eğimi ve denklemi arasındaki iliĢkiyi belirler.”, “Doğrusal denklem sistemlerini grafikleri kullanarak çözer.”, “Birinci dereceden bir bilinmeyenli eĢitsizliklerin çözüm kümesini belirler ve sayı doğrusunda gösterir.”, “Ġki bilinmeyenli doğrusal eĢitsizliklerin grafiğini çizer.” Ayrıca ilköğretim öğrencilerinin; eĢitlik, ifade ve değer kavramlarını anlayabilmeleri, tablolar, grafikler, sözel kurallar ve Ģablonları analiz edip, bunların iliĢkilerini belirleyebilmeleri ve doğrusal eĢitlikleri çözerken somut, resmi ve gayri resmi metodları kullanabilmeleri gerekmektedir (NCTM, 2000).
AraĢtırmamızda doğruların birbirine göre durumları inceleneceğinden, bu kazanımlar öğrencilere ilköğretimde kazandırılmıĢ olup, ayrıca ortaöğretim 12. Sınıf Analitik Geometri dersi programında da yer almaktadır. (Bkz. s.3).
14 Analitik geometri, matematiğin bir dalı olduğu için, analitik geometri öğretiminde matematik öğretimi için yapılabilecekler geçerli olacaktır. Matematiğin öğretimindeki yeni yaklaĢım, kontrol edilemeyen kurallar yerine kavramsal öğrenmeye dayalıdır. Bu kavramsal öğrenme;
Problem KeĢfetme Hipotez Kurma Doğrulama Genelleme ĠliĢkilendirme yaklaĢımını öne çıkarmıĢtır. Bu yaklaĢıma göre matematik öğretimi (MEB, 2005);
1. Matematik öğretimi somut deneyimlerle baĢlamalıdır. Öğretmen dersini planlarken, seçeceği etkinliklerin somut modele ve amaca uygunluğuna, güdüleyici olmasına ve öğrencinin düĢünmesini sağlamasına dikkat etmelidir.
2. Öğretimde, anlamlı öğrenme amaçlanmalıdır. Öğrencilerin bilgileri sadece tanımaları ve hatırlamaları değil, kavramlar arasındaki benzerlikleri, farklılıkları belirleyip, kavramları farklı temsillerle gösterebilme becerilerine sahip olmaları sağlanmalıdır.
3. Öğrenciler matematik bilgileriyle iletiĢim kurmalıdır. Çünkü iletiĢimin öğrenme için önemi büyüktür. ĠletiĢimle öğrenciler, bildiklerini yeniden gözden geçirme, toparlama ve yapılandırma fırsatı bulurlar. Ayrıca iletiĢim, öğrencilerin öğretmen tarafından daha iyi değerlendirilmesini de sağlar.
4. Matematik bilgileri, gerçek hayat bilgileri ve diğer derslerde öğrenilen bilgilerle iliĢkilendirilmelidir. Öğrenciler matematiğin diğer derslerde ve pek çok meslekte kullanıldığını gördüklerinde kazanımları daha anlamlı olacaktır.
5. Matematik öğretiminde öğrencilerin motivasyonu dikkate alınmalıdır. Verilecek ödevlerin ve benzeri çalıĢmaların öğrenciler için anlamlı olmasına ve öğrencilerin bireysel farklılıklarına dikkat edilmelidir.
6. Matematik öğretiminde teknoloji etkin kullanılmalıdır.
7. Öğrenci grupları oluĢturarak iĢ birliğine dayalı yapılandırmacı öğrenme esasları uygulanmalıdır. Öğrenciler, özgür ve giriĢken olabilmeleri için teĢvik edilmeli ve cesaretlendirilmelidir.
Analitik geometride önemli olan; cebiri geometriksel olarak yorumlamak, ya da geometriyi cebirsel olarak ifade edebilmektir. Bu da matematiksel ifadeleri grafik, Ģekil, tablo olarak göstermekle ve Ģekilsel ifadeleri matematik diliyle göstermekle mümkündür. Alanyazın incelendiğinde, matematiksel ifadeleri grafiksel olarak
15 göstermede öğrencilerin kavram yanılgıları olduğu görülmüĢtür (Clement, 1985;
Janvier, 1981; Kerslake, 1993; Sharma, 1993; akt. Hadjidemtriou & Williams, 2002).
Bu kavram yanılgıları özellikle eğim ile ilgilidir. Öğrenciler, eğim açısı, eğimin pozitifliği, negatifliği ile ilgili kavram yanılgıları yaĢamaktadır.
Eğim, doğrunun analitik incelemesinde çok önemli bir konudur. Eğer eğimle ilgili bir kavram yanılgısı varsa öğrenci, doğruların çakıĢık, kesiĢen (dik ya da değil) ve paralel olduklarıyla ilgili doğru kararı, doğru denklemleri üzerinden veremez. Bu nedenle eğim kavramının ve doğru denklemi kavramının iyi öğretilmesi önemlidir. Matematik dersi aĢamalılık içeren bir derstir. Birbirine geçmiĢ halkalardan oluĢan bir zincirdir, bu halkalardan biri koparsa, zincir dağılır. Böylelikle öğrenciler bir konuyu anlamayıp, ona karĢı olumsuz tutum sergilerlerse diğer pek çok konuda da bu olumsuz tutumlarını devam ettirebilirler. Diğer taraftan öğrencilerin matematiğe karĢı olumsuz tutum sergilemelerinin öğretim yöntemlerinden de kaynaklandığını, öğrencilerin matematikte iĢlem yapmayı ve alıĢtırma çözmeyi ezberlediğini dile getiren Kaput (1999), öğrencilerin matematiğin yaĢamlarına faydası olup olmadığına karar vermeden matematikten soğuduklarını belirtmektedir.
2.2. Temsil ve Çoklu Temsiller 2.2.1. Temsil Kavramı
Temsil bir Ģeyi baĢka bir Ģekilde ifade etme biçimidir. Genel tanımıyla, soyut kavram veya sembollerin gerçek dünya içinde somut olarak modellenme iĢlemidir (Kaput, 1998). Temsil, öğrencilere, matematiğe yönelik kavramları kelimelerde sözel, tablolarda sayısal, grafiklerde görsel ve sembollerde cebirsel olarak göstermeye yarayan araçtır (Schneider, 1995).
Öğrencilerin, problem çözme becerilerinde, kavramları birbiriyle iliĢkilendirme, iletiĢim kurma ve akıl yürütme becerilerinin kullanılmasında temsil kullanımı ön plana çıkmaktadır. Öğrenciler kendi matematiksel düĢüncelerini, ana dil, çizimler, kendi elleri gibi fiziksel nesneler, diyagramlar ve semboller aracılığıyla ifade ederler. Bu aracılara temsil denir. Öğrenciler, bu temsiller arasındaki etkileĢimler ile diğer öğrenci ve öğretmen arasındaki etkileĢimler sayesinde kendi matematiksel düĢüncelerinin zihinsel görüntülerini geliĢtirirler (NCTM, 2000).
16 Öğrencilerin temsil kullanımı, düĢünme yapılarını ortaya çıkarmaya yarayan ve doğal olarak meydana gelen bir süreçtir. Öğrencilere matematiğe yönelik kavramları kelimelerde sözel, tablolarda sayısal, grafiklerde görsel ve sembollerde cebir temsillerini anlamaya yardımcı olan bir araç olan temsiller (Schneider, 1995), öğrencilerin problemleri analiz etmelerine ve problemlere olası çözüm yollarını üretmelerinde yardımcı olmaktadırlar (Fennell & Rowan, 2001). Öğrenciler temsilleri, fikirlerini organize etmede ve düĢündüklerini iletmede kullanırlar. Temsil kullanımı öğrencilerin, problem çözme becerilerinin geliĢmesinde ve matematiksel bilgiyi anlamada gereklidir (Lubinski & Otto, 2002). Problem çözme ve diğer çeĢitli etkinlikler için çeĢitli temsillerin kullanıldığı görülmektedir.
2.2.1.1. Temsil ÇeĢitleri
Alanyazın incelendiğinde, temsillerle ilgili çeĢitli sınıflamalar yapıldığı görülmüĢtür.
Bunlardan biri Lesh, Post & Behr (1987) tarafından yapılan sınıflamadır. Bu yaklaĢımda temsiller beĢ farklı Ģekilde sınıflandırılmıĢtır. Bunlardan üçü; matematiksel düĢüncenin resmedilmesi anlamına gelen durağan resimler, öğrencilerin dokunabildikleri, istedikleri Ģekilde istifleyip sıralayabildikleri anlamına gelen somut nesneler, öğrencilerin matematiksel etkinlikte cevap verme, akıl yürütme gibi kendilerini ifade etmeleri anlamına gelen konuşma dilidir. Diğer ikisi de, 0,005; %12, x+3=6 gibi matematiksel semboller ve matematiksel sembollerin birleĢimi ile oluĢturulan matematiksel ifadelerden oluĢan yazılı semboller ile bir problem durumunu yorumlama ve çözmeye yarayan bilginin, gerçek dünya olayları etrafında düzenlenmesiyle oluĢturulan gerçek hayat durumları Ģeklindedir (Lesh, Post & Behr, 1987). Bu sınıflamada temsiller arası geçiĢler de söz konusudur. Örneğin, birey bir durumu durağan resim kullanarak temsil edip sonra yazılı sembollere dönüĢtürüp daha sonra da somut nesne temsiliyle ifade edebilir. Yani beĢ temsil türü, aynı matematiksel ifadenin temsil edilmesinde kullanılabilir. Bu araĢtırmacılar, temsiller arası farklılıkların önemine dikkat çekmiĢler, öğrencilerin kavramın farklı tür temsillerini tanımları gerekliliği ve bir kavramın farklı temsillerinin kullanımının önemi üzerinde durmuĢlardır.
Temsillerle ilgili ikinci sınıflandırma türü; iç temsiller ve dıĢ temsiller sınıflandırması Ģeklindedir. Ġç temsiller; öğrencilerin deneyimleri aracılığıyla geliĢtirdikleri biliĢsel
17 Ģema ya da matematiksel düĢüncelerin soyutlanması anlamına gelirken, dıĢ temsiller;
sembol, sayılar, cebirsel eĢitlikler, grafikler, tablolar, diyagramlar ve çizelgelerdir (Pape
& Tchoshanov, 2001). Ġç temsiller kiĢinin etrafında gördüğü, formüle ettiği ve kendi bilgi çerçevesinde beyninde Ģekillendirdiği bilgilerdir, yani bireyin zihninde meydana gelenlerdir. DıĢ temsiller ise matematiksel kavram ve fikirlerin anlaĢılmasında bize yardımcı olan ve problemler ve çözüm yolları üzerine konuĢulmasını sağlayan bir araçtır, yani bireyin zihninde meydana gelenlerin çeĢitli Ģekillerde dıĢa vurulmasıdır.
Cai‟ye (2005) göre ise, içsel temsiller bireyin gerçekle ilgili zihinsel modellerine karĢılık gelirken, dıĢsal temsiller bireyin gerçekle ilgili görüĢünü vurgulamasıyla oluĢan görünen durumlardır. Örneğin, öğrenci düĢündüğünü açıklamak için formül yazarken ya da görsel bir ifade çizerken; içsel temsili dıĢsal temsil olarak sunmuĢ oluyor veya öğrencinin aritmetik bir formülde belirtilen ifadeye göre zihninde oluĢturduğu zihinsel resim ise, dıĢsal temsilin içsel temsile dönüĢümü oluyor. Bu örnek temsilin iki yönlü doğasını da göstermektedir (Pape & Tchoshanov, 2001).
Temsilleri sınıflandırmanın dıĢında, çeĢitli temsil biçimlerini anlatan çalıĢmalara rastlanmaktadır. Bu temsiller en genel anlamda Ģöyle açıklanmaktadır (Kılıç, 2009);
Tablo: Problemdeki değiĢkenlerin yerleĢtirilebileceği satır ve sütun adı verilen boyutlardan oluĢmaktadır.
Resim: Problemdeki edinilen bilgi ile problem durumunu modelleme biçimidir.
Bu temsil öğrencilerin matematiksel durumu görmelerini sağlar.
Sayısal: Matematiksel anlatımların hesaplamalar ve manipulasyonları içerecek Ģekilde aritmetik olarak sunulması.
Cebirsel: Matematiksel anlatımların bir denklem ya da fonksiyon aracılığıyla sunulmasıdır. Örneğin öğrencinin problemde verilen bir bilgiyi temsil ederken y=2x-1 ifadesini yazması cebirsel temsile örnektir.
Diyagram: Problemdeki veriler arasındaki iliĢkileri ortaya koymak için çizilen Ģemalar olup, probleme iliĢkin bilginin uzamsal düzen içinde sunulmasıdır.
Grafik: Veri setini ya da problemin çözümünü tarif eden bir çizim temsilidir.
Sembolik: Sayısal ve cebirsel temsillerin genel adı.
