• Sonuç bulunamadı

BÖLÜM V: SONUÇ, TARTIġMA VE ÖNERĠLER

5.2. TartıĢma

5.2.5. DüĢünme Yapıları ve Analitik Geometri Performansı

Öğrenciler, düĢünme yapılarına bakılmaksızın, soru hangi temsili gösteriyorsa, önce o temsille soruyu çözmeye çalıĢmaktadırlar. Yani soru formül temsilliyse, öncelikle cebirsel iĢlemlerle soruya yaklaĢmayı, soru Ģekil temsilliyse, soruya geometri kurallarıyla yaklaĢmayı tercih etmiĢlerdir. Aspinwall, Shaw & Presmeg (1997) bu durumu, problem çözme biçiminin probleme özel olduğunu ve kiĢinin problem çözme biçiminin probleme göre değiĢiklik gösterebildiğini söyleyerek açıklamıĢlardır. Fakat düĢünme yapıları bağlamında incelendiğinde analitiklerin daha çok cebirsel çözümü, geometriklerin de geometriksel çözümü tercih edeceklerini söyledikleri görülmüĢtür. Harmonik öğrenciler ise, farklı sorularda her iki yöntemi de kullanacaklarını belirtmiĢlerdir. Ancak düĢünme yapılarının belirlenmesi aĢamasında bunun bir yetenek değil bir tercih olduğunu, nitekim de düĢünme yapılarını belirlerken bunların

126

birbirinden kesin çizgilerle ayrılmadığını ifade etmiĢtik. Bu nedenle bazı Ģekil temsilli sorularda analitik düĢünenler, geometrik düĢünenlere göre Ģekil temsilinden formül temsiline daha yüksek oranda geçtikleri görülmektedir.

Örneğin Ģekil temsilli olan ikinci sorunun çözümünde Ģekilden formüle geçiĢte analitik düĢünen öğrenciler geometrik düĢünen öğrencilere göre iki kat baĢarı göstermiĢlerdir (Bkn. Tablo 4.22). Dikkat çekici bu durum incelendiğinde analitik öğrencilerden Ģekil ya da karma yöntemi tercih edenlerin tamamının soruyu yanlıĢ çözdükleri görülmüĢtür. Soruyu doğru çözen analitik öğrencilerin tamamı da formül temsili kullanmıĢtır. Ayrıca geometrik düĢünme yapısına sahip olan öğrenciler bu soruyu Ģekil temsiliyle çözmemiĢledir. Bunun sebebi araĢtırıldığında, soruda verilen geometrik Ģekli düzgün yorumladıktan sonra cebirsel yöntemle çok daha kolay çözülebilen bir soru olduğu belirtilmiĢtir. Bazı soruları, cebirsel iĢlemlerle çözmenin daha kolay olduğunu söyleyen öğrencilerden biri, görüĢmelerde “sonuca götüren en güzel yol, en kestirme yoldur, en kestirme yol da hep denklem çözümüyle olur bence” diyerek, süreçten çok sonuca odaklandığını ve bu sonuca pratik olarak cebirsel iĢlemlerle ulaĢacağını söylemiĢtir. Cebirsel temsilleri kullanmanın iĢlemsel sorularda pratik çözüm sağladığı ve problem çözümlerinde esnek bir araç olduğu, birçok araĢtırmada da dikkat çekilen bir durumdur (Keller & Hirsch, 1998; Özgün-Koca, 2004). Bu durum, her sorunun çözümü için cebir temsili kullanmaya çalıĢan öğrencilerde yanlıĢ çözümlere yol açabilir. Bunu önlemek için, sınıf ortamında bir sorunun farklı temsillerde çözümüne değinilmeli, öğrencilerin farklı çözümler sunmasına ve bunu sınıf ortamında arkadaĢlarıyla paylaĢmasına olanak verilmelidir.

Diğer taraftan öğrenciler, genellikle soruların çözümünde öğretmenin kullandığı yöntemi kullanmıĢlardır. Bunun nedeni görüĢmelerde öğrencilere sorulduğunda, öğrencilerin o çözüm yoluna aĢikâr olmaları, yani yeni bir çözüm yolu düĢünmektense aĢikâr oldukları çözüm yolunu kullanmanın onlara daha kolay ve pratik geldiğini belirtmiĢlerdir. Aynı zamanda öğrenciler, öğretmenin sadece onun gösterdiği çözüm yolunu kullanmalarını beklediğini düĢünüyor olabilir veya sorunun gösterilenden baĢka bir çözüm yolu olmadığını düĢünüyor olabilirler. Bu sonuç, Küçükyörü‟nün (2006) yaptığı çalıĢmasında da belirtilmiĢtir. Öğrencilerin soru çözümlerindeki temsil tercihleri, onların bilgilerine bağlı olduğu kadar öğretmenin sınıf içindeki pratiğine ve

127

tutumuna da bağlıdır (Kendal & Stacey, 2003) ve öğretmenin çoklu temsillere yönelik tutum ve davranıĢları, öğrencilerin tercihlerini de etkiler (Patterson & Norwood, 2004).

ġekil 5.9. Geometrik Öğrencinin Soruyu En Klasik Yoldan Çözmesi

Geometrik düĢünme yapısındaki öğrencinin bile, soruyu en klasik yoldan çözdüğü ġekil5.9‟da görülmektedir. Öğrencinin aslında görsel çözümü tercih eden bir geometrik öğrenci olmasına rağmen, soruyu öğretmeninin kullandığı en kestirme yol olan cebirsel yolla çözdüğü görülmüĢtür.

Analitik düĢünme yapısındaki öğrenciler, zihinlerinin sözel-mantıksal bileĢenlerini kullanarak, soru çözümünde çoğunlukla cebirsel yollar izlemeyi tercih etmiĢler fakat bunun yanında duruma göre geometrik yaklaĢımlarda da bulunmuĢlardır. Geometrik düĢünme yapısındaki öğrenciler zihinlerinin görsel-resimsel bileĢenlerini kullanmanın yanında sözel mantıksal bileĢenlerini de kullanmaktadırlar. Yani analitik düĢünme tarzı geometride görüldüğü gibi geometrik düĢünme tarzı da cebirde görülebilir (Krutetskii, 1976). DüĢünme yapılarının birbirinden kesin çizgilerle ayrıldığını söylemek zordur. ÇalıĢmamızdaki öğrencilerin çözümleri incelendiğinde de geometrik düĢünme yapısındakilerin sadece zihinlerinin görsel-resimsel bileĢenlerini değil sözel-mantıksal bileĢenlerini de kullandığı ve analitik düĢünme yapısındaki öğrencilerin de zihinlerinin sadece sözel-mantıksal bileĢenlerini değil, görsel-resimsel bileĢenlerini de kullandıkları görülmüĢtür. Analitik düĢünme yapısındaki öğrencinin soru çözümünde cebirselin yanında görsele de yer verdiği ve geometrik düĢünme yapısındaki öğrencinin geometrinin yanında cebirsele de yer verdiği görülmüĢtür. Örneğin geometrik düĢünme yapısındaki bir öğrencinin Ģekil temsilli bir soruyu formül temsiliyle çözdüğü (ġekil 5.10), analitik düĢünme yapısındaki bir öğrencinin de formül temsilli bir soruyu Ģekil temsiliyle çözdüğü (ġekil 5.11) olmuĢtur. Harmoniklerin çözümleri incelendiğinde ise sorularda hem cebirsel hem de geometrik yaklaĢımları çoğu kez birlikte kullandıkları görülmüĢtür (ġekil 5.12).

128 ġekil 5.10.Geometrik Öğrencinin 12. Soru Çözümü

Geometrik düĢünme yapısındaki öğrenci sorunun çözüm aĢamalarında Ģekil temsilini de kullanmıĢ ancak sorunun çözümüne cebirsel yolla ulaĢmıĢtır.

ġekil 5.11. Analitik Öğrencinin 13. Soru Çözümü

Analitik düĢünme yapısındaki öğrenci geometrik yolla soruyu çözmeye çalıĢmıĢtır, sonuçta baĢarıya ulaĢamamıĢ olması onun bilgi eksikliğinin bir göstergesi olabilir fakat zihninin zayıf olan görsel-resimsel bileĢenini kullanmıĢ olması da önemlidir.

ġekil 5.12. Harmonik Öğrencinin 8. Soru Çözümü

Harmonik düĢünme yapısındaki öğrenci, 8. sorunun çözümünde geometrik ağırlıklı bir çözüm yolu izlemiĢ ve sonucu bulmuĢtur. Bu öğrencinin analitik düĢünme yapısına

129

yakın olan harmonik öğrencilerden olduğu düĢünülürse, öğrencinin soruyu geometrik olarak çözmesi dikkat çekicidir. Çünkü bu öğrenci, analitik düĢünme yapısına sahip öğrencilerin MSA puanına yakın puan almıĢ harmonik öğrencidir. Bunlar, zihinlerinin görsel-resimsel ve sözel- mantıksal bileĢenlerinden, sözel-mantıksal bileĢenlerini daha fazla kullanan öğrencilerdir. Fakat örneklerdeki analitik düĢünen öğrenci ile analitiğe yakın olan harmonik düĢünen öğrenci, soruyu görsel olarak çözmeyi tercih etmiĢler ve böylelikle analitik düĢünme tarzı geometride görülmüĢtür (Krutetskii, 1976).

Analitik öğrenciler formül temsilli soruları daha kolay çözdüklerini, geometrik öğrenciler Ģekilli soruları ve cebirsel soruları da çözmekte zorlanmadıklarını fakat bir tercih söz konusu olduğunda Ģekilli sorularda daha iyi olduklarını belirtmiĢlerdir. Harmonik öğrencilerden MSA puanı geometriklere yakın olan öğrenci Ģekilli soruları çözmenin daha kolay olduğunu dile getirirken, MSA puanı analitik düĢünen öğrencilere yakın olan harmonik öğrenci cebirsel soruları çözmenin geometrik sorulara göre daha kolay olduğunu belirtmiĢtir. Bu ifadeler, onların düĢünme yapılarındaki baskınlıkla açıklanabilir ve bunun yanında grafik yorumlama arasındaki iliĢkilerini ortaya koymaktadır. Analitik düĢünme yapısındaki öğrencilerin ya da analitik düĢünme yapısına yakın harmonik öğrencilerin neredeyse hepsinin mantıksal iliĢkiler kurarak görsel soruları yorumlamada zorlandıkları görülmüĢtür. Buna paralel olarak, yapılan pek çok çalıĢmada da, mantıksal düĢünme yeteneği geliĢmemiĢ öğrencilerin grafik çözme ve yorumlamada yetersiz kaldıkları belirtilmiĢtir (Monk, 1994; Hale, 1996; Dick & Dunham, 2000; akt. Hale, 2000).

Soru çözümlerinde cebirsel ve görsel çözümleri de tercih eden harmonik düĢünme yapısındaki öğrencileri; geometrik ağırlıklı olarak soru çözümlerine yaklaĢanlar ile cebirsel ağırlıklı olarak soru çözümlerine yaklaĢanlar olarak sınıflandırabiliriz. TaĢova (2011) çalıĢmasında benzer sonuçtan söz etmiĢ ve bu durum için bir “harmonik ölçeği” „nden bahsetmiĢtir (ġekil 5.13).

130 ġekil 5.13. Harmonik Ölçeği (TaĢova, 2011)

Harmonik ölçeğine göre x ekseni geometrik düĢünürleri, y ekseni analitik düĢünürleri sembolize eder ve “ ” doğrusunun grafiği de harmonik düĢünürleri sembolize eder. m sonsuza giderse geometriğe yatkın bir harmonik (geoharmonik), m sıfıra giderse analitikliğe yatkın bir harmoniklik (anharmonik) söz konusudur.

Analitik, harmonik ve geometrik düĢünme yapısındaki öğrencilerden problem çözme baĢarıları yüksek olan öğrenciler, soruların çözümünde karma temsili kullanmıĢlardır. Öğrenciler soru çözümünde temsilleri iliĢkilendirerek beraber kullandıklarında soruları çok daha kolay çözebilmiĢlerdir. Aynı Ģekilde karma temsille soruyu çözen öğrencilerin çözümleri incelendiğinde, öğrencilerin alıĢıldığın dıĢında çözümler ürettiği görülmüĢtür. ġekil 5.14‟deki çözüm buna örnektir.

ġekil 5.14. Analitik Öğrencinin 4. Soru Çözümü

ġekil 5.14‟teki çözümde öğrenci, soruyu geometri bilgilerinden yola çıkarak ve daha sonra matematik bilgilerini devreye sokarak çözmüĢtür. Geometri bilgilerinden

131

faydalansa da sorunun cevabını cebirsel olarak 1/2 bulmuĢtur. Fakat Ģekle bakarak AC doğrusunun eğim açısının 180-α olduğunu görüp, cevabın -1/2 olduğunu söylemesi gerekirdi.

Analitik düĢünme yapısında olan bu öğrenci doğru sonucu bulamamıĢ olsa bile, sorunun çözümünde matematik ve geometri bilgilerini beraber kullanarak soruyu çözmeye çalıĢmıĢtır. Karma temsille soruyu çözen öğrencilerin daha baĢarılı olmaları, farklı temsil kullanımının kavram bilgisini ve imajını zenginleĢtirdiği sonucunu doğurmaktadır (Hart, 1992; NCTM, 2000; Duval, 2002; Hähkiöniemi, 2004, Sevimli, 2009).

Öğrenciler hangi düĢünme yapısında olursa olsun, soru en kolay ve çabuk nasıl çözebilecekse, soruyu o Ģekilde çözme eğilimindedirler. Öğrenciler, görüĢmelerde de verilen problemin formül temsilli ya da Ģekil temsilli olup olmadığını gözetmeden, en kolay ve pratik çözüm yolu hangisiyse çözümde o temsil tercihini kullandıklarını belirtmiĢlerdir. Analitik öğrenciler için, bu kolaylık daha çok cebirsel temsilleri, iĢlemleri içerirken, geometrik öğrenciler içinse kolaylık soruya göre değiĢmektedir. Harmonik öğrenciler de geometrik öğrenciler gibi her iki yöntemi de soruya göre tercih eden gruptur. Öğrenciler daha önce gördükleri soru tipine benzer soruları, hiç düĢünmeden benzer çözüm uygulayarak çözmüĢlerdir. Bu nedenle de konuyu anlamaktan çok ne kadar çok soru tipi görüp çözerlerse, daha baĢarılı olacaklarını düĢünmektedirler. Öğrencilerin kendilerine kolay gelen çözüm yolunu seçtiklerini Özgün-Koca (1998) da yaptığı çalıĢmasında belirtmiĢtir. Öğrencilerin matematik problemlerini çözerken ki tercihlerinin incelendiği çalıĢmanın sonucunda öğrenciler problemlerin birçok temsil türü kullanılarak çözülebileceğini ancak kendilerine kolay gelen temsil türünü kullanmayı denediklerini söylemiĢlerdir.

Öğrencilerin çözümleri incelendiğinde özellikle formül temsilli soruları kısmi çözdükleri görülmüĢtür. Öğrenciler soru çözümlerinde bir yere kadar ilerlemiĢ fakat sonuca ulaĢamamıĢlardır. Öğrenciler bir soruya alternatif çözüm yolları bulma aĢamasında da zayıftırlar. Tek bir yol denemiĢ ve bu yolla soruyu çözmeyi baĢaramayınca da soru üzerinde düĢünmeyi bırakmıĢlardır. Öğrenciler, matematik problemi çözmenin birkaç dakikadan fazla zaman almaması gerektiği ve bir matematik sorusunun yalnız bir doğru çözüm yolu olduğu gibi yanlıĢ inanıĢlara sahiptir

132

(Schoenfeld, 1992). Bu nedenle sorunun çözümü öğrenciye çok uzun göründüğünde, öğrenci yanlıĢ yaptığına dair Ģüpheye düĢmekte bundan dolayı da, ya çözümü silmekte ya da yarım bırakmaktadır.

Öğrenciler soruların beĢte birini boĢ bırakmıĢlardır. Analitik düĢünen öğrencilerin cevap kâğıtları incelendiğinde, bu öğrencilerin çoğunlukla Ģekil temsilli soruları boĢ bıraktıkları gözlemlenirken, harmonik ve geometik düĢünen öğrenciler için böyle bir ayrım yapılamamıĢtır. Analitik düĢünme yapısına sahip olan öğrencilerin tercihi formül temsili olduğu için, görsel gördüğü soruyu çözemem kaygısıyla soruyu boĢ bırakmıĢ olduğu belirlenmiĢtir. Ġncelemelere göre öğrencilerin genel olarak kendisine kolay gelen soruyu çözmeye daha hevesli olduğu düĢünülebilir.

GörüĢmelerde, öğrencilere soruları neden boĢ bıraktıkları sorulduğunda analitik düĢünme yapısındaki öğrenciler özellikle Ģekilli soruları zor gördüklerini o nedenle soruyu boĢ bıraktıklarını belirtmiĢlerdir. Harmonik ve geometrik düĢünme yapısındaki öğrenciler ise çözemem kaygısı, kuralı hatırlayamama, daha önce görülmemiĢ soru tipi gibi yanıtlar vermiĢlerdir. Öğrencilerin büyük çoğunluğu, matematik dersinde belirli kuralları, özellikleri veya formülleri ezberleyip, onların anlamlarını bilmeden, sayıları o kurallar ve formüller üzerine yerleĢtirerek problemi çözme eğilimindedirler (Fuchs et al., 2004). Bu nedenle, öğrenci soruyu daha önceden bildiği bir soru ile iliĢkilendirmemiĢse, yani soru, daha önceden çözdüğü soruya benzemiyorsa veya soruda bildiği formülü kullanamıyorsa, yeni bir çözüm yolu geliĢtirmektense o soruyu çözmemeyi tercih etmiĢ olabilir. Baki & Kartal‟a (2004) göre, matematiksel problemlerin çözümünde usta ve çırak olmak üzere iki tür çözücülerle karĢılaĢılır. Usta, problemi çözerken kavramsal özelliklere baĢvurarak çözüme ulaĢırken, çırak karĢılaĢtığı problemi daha önce çözüp çözmediğini araĢtırır ve hatırlarsa yeni karĢılaĢtığı probleme hatırladıklarını uygulamaya çalıĢır. Bu bağlamda, çalıĢmamızdaki öğrencilerin bir kısmı usta bir kısmı da çıraktır.

Öğrencilerin çözümlerdeki temsil tercihleri öğrencilerin düĢünme yapılarıyla bağlantılıdır. AkkuĢ & Çakıroğlu‟nun (2006) yaptıkları çalıĢmada, öğrenciler temsil tercihlerine göre; tüm soru tipleri için denklem tercih edenler, tüm soru tipleri için tablo tercih edenler ve tercihleri soru tiplerine göre değiĢenler olmak üzere üç adet grup

133

tespit etmiĢlerdir. Elde edilen bu gruplar bizim çalıĢmamızdaki analitik, geometrik ve harmonik düĢünme yapısında olan öğrenci gruplarına benzemektedir.