Matematik

Matematik, sembol ve Ģekiller üzerine kurulmuĢ, ele alınan bilgiyi ya da problemlerin çözümlerini içeren yolları buluĢçu düĢünceye dayalı sistematik bilgi olarak ifade etmemizi sağlayan evrensel dil, evrensel kültür ve teknolojidir. Bilimsel düĢüncenin temeli olan matematik, içinde yaĢadığımız çevre ve dünyayı algılamamıza yardımcı olarak, algıladıklarımızı Ģekillendirmemizi sağlar (MEB, 2005) ve matematik, aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adıdır (Altun, 1998).

Matematik, cisimler, Ģekiller ve sembollerle iliĢkiler ve desenler inĢa etme tekniğidir, sayı ve uzay bilimidir, aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayalı niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adıdır (Olkun & Toluk, 2003; Altun, 2004).

Matematik öğretiminin öncelikli amacı, bireye günlük yaĢamında karĢılaĢabileceği matematiksel bilgi ve becerileri kazandırarak, bireye görüĢ geliĢtirerek, olaylara faklı açıdan bakmayı öğretir (Erüs, 2007). Lise matematik eğitiminin genel amaçları aĢağıdaki gibi belirtilmektedir (MEB, 2005, s.18). Öğrenciler, bu amaçlar doğrultusunda hazırlanan matematik eğitimi programı sonucunda;

1. Matematiksel kavramları ve sistemleri anlayabilecek, bunlar arasında iliĢkiler kurabilecek, günlük hayatta ve diğer öğrenme alanlarında kullanabilecektir.

11

2. Matematikte veya diğer alanlarda, ileri bir eğitim alabilmek için gerekli matematiksel bilgi ve becerileri kazanabilecektir.

3. Tümevarım ve tümdengelim ile ilgili çıkarımlar yapabilecektir.

4. Matematiksel problemleri çözme süreci içinde, kendi matematiksel düĢünce ve akıl yürütmelerini ifade edebilecektir.

5. Matematiksel düĢüncelerini, mantıklı bir Ģekilde açıklamak ve paylaĢmak için matematiksel terminolojiyi ve dili doğru kullanabilecektir.

6. Tahmin etme ve zihinden iĢlem yapma becerilerini etkin olarak kullanabilecektir.

7. Problem çözme stratejileri geliĢtirebilecek ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilecektir.

8. Model kurabilecek, modelleri sözel ve matematiksel ifadelerle iliĢkilendirebilecektir.

9. Matematiğe yönelik olumlu tutum geliĢtirebilecek, özgüven duyabilecektir. 10. Matematiğin gücünü ve iliĢkiler ağı içeren yapısını takdir edebilecektir. 11. Entelektüel merakını ilerletecek ve geliĢtirebilecektir.

12. Matematiğin tarihi geliĢimi ve buna paralel olarak insan düĢüncesinin geliĢmesindeki rolünü ve değerini, diğer alanlardaki kullanımının önemini kavrayabilecektir.

13. Sistemli, dikkatli, sabırlı ve sorumlu olma özelliklerini geliĢtirebilecektir. 14. AraĢtırma yapma, bilgi üretme ve kullanma gücünü geliĢtirebilecektir.

15. Matematik ve sanat iliĢkisini kurabilecek, estetik duygularını geliĢtirebilecektir. Matematik eğitimi sayesinde bireyler, doğru düĢünmeyi öğrenebilecek, kendilerine olan özgüvenleri artarak karĢılaĢtıkları problemler karĢısında probleme doğru ve akılcı çözümler üretebilecek ve kavramlar arasında neden-sonuç iliĢkisi kurabileceklerdir (Baykul, 1994). Matematikte öğrenci baĢarısını sağlamak için onlara akıl yürütme, muhakeme yapma, derinlemesine düĢünme ve problem çözme becerileri kazandırılmalıdır. Kazandırılan bu beceriler onların sadece matematik derslerinde değil, diğer derslerde de baĢarılı olmasını sağlayacaktır. Örneğin, öğrencilerin matematiği kullanma becerileri ile fizik derslerindeki baĢarıları arasında anlamlı bir korelasyon olduğunu ifade eden çalıĢmalar bulunmaktadır (Hudson, 1986; Hudson & Rottmann, 1981; Cohen, Hillman & Agne, 1978; akt. Delialioğlu & AĢkar, 1999). Matematik

12

eğitiminin iyi olması, öğrencilerin diğer derslerde baĢarılı olmalarını sağlamanın yanında matematiğin alt dallarında da önemli olmaktadır.

2.1.1. Matematiğin Bir Dalı Olarak Analitik Geometri

Tek bir matematiksel modelin, birçok somut olayı ve durumu temsil edebilme gücü onun “soyut” olarak nitelendirilen üstün bir özelliğidir (Karaçay, 1985). Matematiğin somut varlıklardan ve fiziksel olaylardan arınıp soyutlanabilir olması da onun insanların ortak düĢünme aracı olarak evrensel bir dil olup, durmadan geliĢimini sağlamıĢtır. Örneğin, sayma, sayılarla iĢlem yapma eylemlerini içeren aritmetiğin geliĢmesiyle cebir doğmuĢtur. Cebir, genel sayı iliĢkilerini ve özelliklerini gösteren, polinom ve denklem çözümleri gibi konuları sembolize eden matematiğin bir dalı olmanın yanında sembollerle hesap da yapabilen bir araçtır (Kieran, 1992; akt Gürbüz & Akkan, 2008). Cebir, bilinmeyenlerden, formüllerden, genellemelerden ve bu bilinmeyenlerin birbirleriyle olan iliĢkilerinden oluĢur.

Matematiğin soyut bir doğası vardır. Öğrencilerin bu soyut doğayı analiz ederek soyut kavramları daha iyi anlaması için görsel öğelerden yararlanması gerekir. Bu da geometri ile mümkündür. Somut kavramların analizinde geometriden yararlanıldığı gibi soyut kavramların daha iyi anlaĢılması için de resim, Ģekil, figür ve diyagram gibi görsel öğelerden faydalanılabilir (Nemirovsky & Noble, 1997). Matematiksel bir dil ile ifade edilen durumları yorumlayabilmek için çeĢitli geometrik bilgi ve beceriler gerekmektedir. Geometrinin temel amacı, “düzlemde ve üç boyutlu uzayda geometrik nesnelerin özelliklerini tanıma, aralarındaki iliĢkileri bulma, dönüĢümleri açıklama, geometrik yeri tanımlama, geometrik önermeleri kanıtlama” olarak ifade edilebilir (Baki, 2006). Geometrinin baĢarısını etkileyen Gardner‟in zeka türlerinden biri olan uzaysal yetenek ile görselleĢtirme kavramları, öğrencinin çevresini ve matematiğin pek çok konusunu anlamasına yardımcı olur. GörselleĢtirmeyle öğrenme somutlaĢtırılır, anlamlandırılır ve görselleĢtirme, kavramların somut ile soyut ifadeleri arasındaki geçiĢlerin öğrenilmesinde yararlı bir yaklaĢımdır (IĢık & Konyalıoğlu, 2005). ÇalıĢmamızdaki Krutetskii düĢünme yapılarından geometrik düĢünenler, zihinlerinin görsel-resimsel bileĢenlerini etkin kullanırlar, yani uzaysal yetenekleri geliĢmiĢtir. Yapılan pek çok araĢtırma, uzaysal yetenekle matematik baĢarısı arasında pozitif bir iliĢki olduğunu söylemektedir (Akt. Bulut & Köroğlu, 2000).

13

Geometri bilim dalıyla cebirin birleĢmesi ve yardımlaĢması ile matematiğin önemli bir dalı olan analitik geometri bilimi doğmuĢtur. Rene Descartes, 1637 yılında kartezyen koordinat sistemini kullanarak, cebir dilini geometriye uygulamıĢtır. Böylece analitik geometriyi kurmuĢ ve modern matematiğin öncüsü olmuĢtur (Özerdem, 2007). Analitik geometri, cebir ile geometrinin iyi bir ortak uygulama alanı buldukları bilim dalıdır. Analitik geometri, koordinat sistemindeki geometrik Ģekillerle ilgili bilgileri matematiğin cebirsel denklemlerini kullanarak bizlere sunar. Analitik geometrinin temel amacı, geometri problemlerine cebirsel bir açıklama getirmek suretiyle onları çözmektir. Verimli bir matematik dalı olan analitik geometride, geometri, Ģeklin gözlenme iĢinden kurtulup niceliksel bir boyuta kavuĢarak cebire yaklaĢmıĢtır. Yani geometri cebirle buluĢmuĢ ve daha da soyutlaĢmıĢtır (Gözen, 2001).

Analitik geometride cebirsel bir denklem, grafiksel bir Ģekilde ifade edilebilmektedir. Örneğin; 3x + 5y = 7 cebirsel denkleminin çözümünü oluĢturan (x,y) ikililerinden en az iki tanesini analitik düzlemde iĢaretleyip bu noktalar birleĢtirildiğinde doğru denkleminin grafiği çizilmiĢ olmaktadır. Bu örnek, yani cebirsel doğru denklemi verildiğinde bu denklemin analitik düzlemde grafiğinin çizilmesi, ortaöğretim analitik geometri dersinin öğrencilere kazandırmak istediği önemli kazanımlardan biridir. Ayrıca bu konu ile ilgili kazanımlar, ilköğretim ikinci kademe programında Ģu Ģekilde yer almaktadır: “Ġki boyutlu Kartezyen koordinat sistemini açıklar ve kullanır.”, “Doğrusal denklemleri açıklar.”, “Doğrusal denklemlerin grafiğini çizer.”, “Doğrunun eğimini modelleriyle açıklar.” , “Doğrunun eğimi ve denklemi arasındaki iliĢkiyi belirler.”, “Doğrusal denklem sistemlerini grafikleri kullanarak çözer.”, “Birinci dereceden bir bilinmeyenli eĢitsizliklerin çözüm kümesini belirler ve sayı doğrusunda gösterir.”, “Ġki bilinmeyenli doğrusal eĢitsizliklerin grafiğini çizer.” Ayrıca ilköğretim öğrencilerinin; eĢitlik, ifade ve değer kavramlarını anlayabilmeleri, tablolar, grafikler, sözel kurallar ve Ģablonları analiz edip, bunların iliĢkilerini belirleyebilmeleri ve doğrusal eĢitlikleri çözerken somut, resmi ve gayri resmi metodları kullanabilmeleri gerekmektedir (NCTM, 2000).

AraĢtırmamızda doğruların birbirine göre durumları inceleneceğinden, bu kazanımlar öğrencilere ilköğretimde kazandırılmıĢ olup, ayrıca ortaöğretim 12. Sınıf Analitik Geometri dersi programında da yer almaktadır. (Bkz. s.3).

14

Analitik geometri, matematiğin bir dalı olduğu için, analitik geometri öğretiminde matematik öğretimi için yapılabilecekler geçerli olacaktır. Matematiğin öğretimindeki yeni yaklaĢım, kontrol edilemeyen kurallar yerine kavramsal öğrenmeye dayalıdır. Bu kavramsal öğrenme;

Problem KeĢfetme Hipotez Kurma Doğrulama Genelleme ĠliĢkilendirme yaklaĢımını öne çıkarmıĢtır. Bu yaklaĢıma göre matematik öğretimi (MEB, 2005); 1. Matematik öğretimi somut deneyimlerle baĢlamalıdır. Öğretmen dersini

planlarken, seçeceği etkinliklerin somut modele ve amaca uygunluğuna, güdüleyici olmasına ve öğrencinin düĢünmesini sağlamasına dikkat etmelidir. 2. Öğretimde, anlamlı öğrenme amaçlanmalıdır. Öğrencilerin bilgileri sadece

tanımaları ve hatırlamaları değil, kavramlar arasındaki benzerlikleri, farklılıkları belirleyip, kavramları farklı temsillerle gösterebilme becerilerine sahip olmaları sağlanmalıdır.

3. Öğrenciler matematik bilgileriyle iletiĢim kurmalıdır. Çünkü iletiĢimin öğrenme için önemi büyüktür. ĠletiĢimle öğrenciler, bildiklerini yeniden gözden geçirme, toparlama ve yapılandırma fırsatı bulurlar. Ayrıca iletiĢim, öğrencilerin öğretmen tarafından daha iyi değerlendirilmesini de sağlar.

4. Matematik bilgileri, gerçek hayat bilgileri ve diğer derslerde öğrenilen bilgilerle iliĢkilendirilmelidir. Öğrenciler matematiğin diğer derslerde ve pek çok meslekte kullanıldığını gördüklerinde kazanımları daha anlamlı olacaktır.

5. Matematik öğretiminde öğrencilerin motivasyonu dikkate alınmalıdır. Verilecek ödevlerin ve benzeri çalıĢmaların öğrenciler için anlamlı olmasına ve öğrencilerin bireysel farklılıklarına dikkat edilmelidir.

6. Matematik öğretiminde teknoloji etkin kullanılmalıdır.

7. Öğrenci grupları oluĢturarak iĢ birliğine dayalı yapılandırmacı öğrenme esasları uygulanmalıdır. Öğrenciler, özgür ve giriĢken olabilmeleri için teĢvik edilmeli ve cesaretlendirilmelidir.

Analitik geometride önemli olan; cebiri geometriksel olarak yorumlamak, ya da geometriyi cebirsel olarak ifade edebilmektir. Bu da matematiksel ifadeleri grafik, Ģekil, tablo olarak göstermekle ve Ģekilsel ifadeleri matematik diliyle göstermekle mümkündür. Alanyazın incelendiğinde, matematiksel ifadeleri grafiksel olarak

15

göstermede öğrencilerin kavram yanılgıları olduğu görülmüĢtür (Clement, 1985; Janvier, 1981; Kerslake, 1993; Sharma, 1993; akt. Hadjidemtriou & Williams, 2002). Bu kavram yanılgıları özellikle eğim ile ilgilidir. Öğrenciler, eğim açısı, eğimin pozitifliği, negatifliği ile ilgili kavram yanılgıları yaĢamaktadır.

Eğim, doğrunun analitik incelemesinde çok önemli bir konudur. Eğer eğimle ilgili bir kavram yanılgısı varsa öğrenci, doğruların çakıĢık, kesiĢen (dik ya da değil) ve paralel olduklarıyla ilgili doğru kararı, doğru denklemleri üzerinden veremez. Bu nedenle eğim kavramının ve doğru denklemi kavramının iyi öğretilmesi önemlidir. Matematik dersi aĢamalılık içeren bir derstir. Birbirine geçmiĢ halkalardan oluĢan bir zincirdir, bu halkalardan biri koparsa, zincir dağılır. Böylelikle öğrenciler bir konuyu anlamayıp, ona karĢı olumsuz tutum sergilerlerse diğer pek çok konuda da bu olumsuz tutumlarını devam ettirebilirler. Diğer taraftan öğrencilerin matematiğe karĢı olumsuz tutum sergilemelerinin öğretim yöntemlerinden de kaynaklandığını, öğrencilerin matematikte iĢlem yapmayı ve alıĢtırma çözmeyi ezberlediğini dile getiren Kaput (1999), öğrencilerin matematiğin yaĢamlarına faydası olup olmadığına karar vermeden matematikten soğuduklarını belirtmektedir.