Önceki bölümlerde, tek ana kütle ortalamas›n›n belirlenen de¤erle karfl›laflt›r›lma-s›na iliflkin hipotez testleri ile, iki ana kütle ortalamas›n›n karfl›laflt›r›lmakarfl›laflt›r›lma-s›na iliflkin hipotez testleri incelenmiflti. Bu bölümde ise, ikiden fazla ana kütle ortalamas›n›n karfl›laflt›r›lmas›nda kullan›lan yöntem, yani Varyans Analizi konusu k›saca aç›k-lanmaya çal›fl›lacakt›r. Varyans analizi ile, da¤›l›mlar›n toplam de¤iflkenli¤ini çeflit-li bileflenlere ay›rma yöntemi yard›m›yla ba¤›ms›z de¤iflkenlerin ba¤›ml› de¤iflken-ler üzerindeki etkide¤iflken-leri incelenebilmektedir.
Bu bölümde, uygulamalarda çok s›k kullan›lan Tek Yönlü Varyans Analizi yöntemi aç›klanmaya çal›fl›lacakt›r.
Tek Yönlü Varyans Analizinde, gözlem de¤erleri tek bir ba¤›ml› de¤iflkene gö-re grupland›r›l›r ve bu gruplara iliflkin ana kütle aritmetik ortalamalar› karfl›laflt›r›-l›r. ‹kiden fazla ana kütle ortalamas›n›n karfl›laflt›r›lmas›nda z ya da Student- t test-leri kullan›lamamakla birlikte, bu karfl›laflt›rma için F-testinden yararlan›l›r. F-tes-tinde kullan›lan F-istatisti¤i, ayn› varyans›n iki ayr› birbirinden ba¤›ms›z tahmininin birbirine oran› olarak tan›mlan›r. Bu oran, yani F-istatisti¤inin örnekleme da¤›l›m›
da F-da¤›l›m› olarak bilinir.
Varyans analizinde, genellikle de¤iflkenli¤in bileflenlere ayr›lmas›yla birlikte, de¤iflim kayna¤›n›n bulunmas›yla da ilgilenilir. De¤iflkenli¤in ayr›flt›r›lmas› ifllemi, kareler toplamlar› ve kareler oranlar›n›n hesaplanmas› yoluyla gerçeklefltirilir. Do-lay›s›yla F-testi uygulanmas› sonucu, de¤iflim yani model denklemi kaynaklara ay-r›lm›fl olur. De¤iflkenlik, hatadan ya da gruplardan kaynaklanabilir.
Toplam De¤iflkenlik = Grup Etkisi + Hata Toplam de¤iflkenlik için kurulabilecek model;
Yij = µ + αj + εij olarak verilir. Burada;
Yij : Yan›t De¤iflkeni, (j-inci denemedeki i-inci birimin ald›¤› de¤erdir.) z
H ’›n Kabul Bölgesi
0 0,95
0 Z
1,96 -H ’›n Red Bölgesi
0,025
0 H ’›n Red Bölgesi0
1,96 0,025 fiekil 7.7
Örnek 7.5. ‹çin Red Bölgesi
Tek Yönlü Varyans Analizi:
‹ki ana kütle ortalamalar›
karfl›laflt›rmas› için gelifltirilen istatistiksel yöntemlerin, ikiden fazla ana kütle ortalamas›n›n karfl›laflt›rmas›na genellenmesi Tek Yönlü Varyans Analizi olarak adland›r›l›r.
µ: Bütün deneyin genel etkisi, (Bilinmeyen genel ortalamay› ifade eder.) αj: Grup etkisi de¤iflkeni, (Gruplar aras› de¤iflkenli¤i gösterir.)
εij: j-inci denemede i-inci gözleme iliflkin rassal hata (Deneysel hata terimidir.) olarak tan›mlan›r. εij’nin tüm i ve j de¤erleri için ba¤›ms›z ve 0 (s›f›r) aritmetik ortalamas›, ( standart sapmas› ile normal da¤›l›ma sahip oldu¤u varsay›l›r.
Varyans Analizi uygulanabilmesi için baz› koflullar›n sa¤lanmas› gerekir. Bu ko-flullar;
1. Gruplar›n belirlendi¤i ana kütleler normal da¤›l›ma sahip olmal›d›r.
2. Karfl›laflt›r›lan gruplar birbirinden ba¤›ms›z olmal›d›r.
3. Gruplar›n varyanslar› eflit olmal›d›r.
Varyans Analizinde, toplam de¤iflim bileflenlerine ayr›ld›¤› için, yukar›da belir-tilen üçüncü varsay›m çok önemlidir. Çünkü, farkl› varyansl› grup ortalamalar› kar-fl›laflt›r›ld›¤›nda, gruplar aras› de¤iflim için sistematik hata yap›lm›fl olur.
k adet farkl› grup (denemeler) aras›nda fark olup olmad›¤›na iliflkin testte hipo-tezler afla¤›daki gibi kurulur:
S›f›r Hipotezi: H0 : µ1 = µ2 = ... = µk
ya da H0 : αj = 0, tüm j= 1,2,...,k için
Karfl›t Hipotez: H1 : µ1, µ2,...., µk’lar›n en az biri farkl›d›r.
ya da H1 : α1, α2, ..., αk ’lar›n en az biri s›f›rdan farkl›d›r.
Varyans analizinde kullan›lan, baz› tan›mlar ve eflitlikler afla¤›daki verilmektedir.
nj : j-inci gruptaki birim say›s›
: Toplam örneklem hacmi,
: Grup toplam›
: Genel toplam,
: Genel Kareler Toplam›,
: Gruplar Aras› Kareler Toplam› (Deneme Kareler Toplam›),
: Gruplar ‹çi Kareler Toplam› (Hata Kareler Toplam›).
Burada,
Genel De¤iflim = Gruplar Aras› De¤iflim + Gruplar ‹çi De¤iflim oldu¤undan,
n-1 : Genel serbestlik derecesi, k-1 : Gruplar aras› serbestlik derecesi, n-k : Gruplar içi serbestlik derecesi,
: Gruplar Aras› Kareler Ortalamas› (Gruplar aras› varyans tah-mini),
: Gruplar ‹çi Kareler Ortalamas› (Gruplar içi varyans tahmini, Hata Kareler Ortalamas›),
: Test istatisti¤i.
F-testi için gerekli hesaplamalar› içeren Varyans Analizi Tablosu uygulamada çok s›k kullan›l›r ve testin sonland›r›lmas›nda kolayl›k sa¤lar. Tablo 7.2. ’de Tek Yönlü Varyans Analizi tablosunun genel içeri¤i görülmektedir.
F-test istatisti¤i, (k-1) ve (n-k) serbestlik dereceli F-da¤›l›m›na sahiptir. F-istatis-ti¤inin anlaml›l›¤› belirlenirken, F(k-1);(n-k)da¤›l›m›n›n kritik de¤erlerinden (F
α;(k-1);(n-k)) yararlan›l›r.
Afla¤›daki karfl›laflt›rma yap›larak test için karar verilir:
F < Fα;(k-1);(n-k) ise H0hipotezi kabul edilir. Aksi halde reddedilir.
Sucuk üretimi yapan üç fabrikadan rassal olarak sucuk örnekleri al›nm›fl ve bu sucuklar›n 100 gr. ’›nda bulunan ya¤s›z s›¤›r eti miktarlar› Tablo 7.3. ’teki gibi el-de edilmifltir.
% 95 güven düzeyinde, bu üç fabrika aras›nda üretilen sucuklar›n içerdi¤i ya¤-s›z s›¤›r eti miktar› ortalamalar› bak›m›ndan fark olup olmad›¤›n› test ediniz.
Hipotezler;
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1 : En az bir ortalama di¤erlerinden farkl›d›r.
fleklinde kurulduktan sonra Varyans Analizi için gerekli hesaplamalar› yapal›m.
F GAKO
= GİKO GİKO GİKT
n k
= −
GAKO GAKT
= k
−1
De¤iflim
Kayna¤› Serbestlik
Derecesi Kareler
Toplam› Kareler
Ortalamas› F-de¤eri
Gruplar Aras› k-1 GAKT GAKO
F GAKO
= GİKO
Gruplar ‹çi n-k G‹KT G‹KO
Genel n-1 GKT
Tablo 7.2 Varyans Analizi Tablosu
Ö R N E K 7 . 6
Fabrika Ya¤s›z S›¤›r Eti Miktarlar› (gr.) T.j
1 51 50 57 56 53 51 52 53 423
2 48 51 40 51 45 46 49 44 50 43 467
3 47 54 49 51 52 53 52 358
T.. = 1.248 Tablo 7.3
Fabrikalardan Seçilen
Örneklemlerdeki Ya¤s›z S›¤›r Eti Miktarlar›
= 423 + 467 + 358 = 1.248
GKT = GAKT + G‹KT oldu¤undan, G‹KT = GKT - GAKT eflitli¤i ile hesaplanabilir.
G‹KT = 385,84-184,01 =201,83
Buna göre, Varyans Analizi Tablosu Tablo 7.4 ’te görülmektedir:
F= 10,03 > F0,05;2;22= 3,44 oldu¤undan H0hipotezi reddedilir. Buna göre, % 95 güven düzeyinde, sucuklar›n 100 gr. ’›n›n içerdi¤i ya¤s›z s›¤›r eti miktar› ortalama-s› bak›m›ndan üç fabrikadan en az biri di¤erlerinden farkl›d›r.
GAKT = T
Toplam› Kareler Oran› F-oran›
Gruplar Aras› 2 184,01
Gruplar içi 22 201,83
Genel 24 385,84
Hipotez ve istatistiksel hipotez kavramlar›n›
aç›klamak.
Hipotez, kuramsal olarak varsay›lan ve önceden yap›lm›fl bir dizi gözleme ya da tecrübeye daya-narak ortaya at›lan, do¤rulu¤u bilimsel araflt›r-malarla s›nanmaya çal›fl›lan bir önermedir. Bu ba¤lamda hipotezler, olaylar aras›nda iliflki kuran ve bu olaylar›n nedenlerini araflt›rmak amac›yla planlanan önermelerdir ve bu önermenin do¤ru-lu¤u bilimsel yöntemlerle denetlenebilir olmal›d›r.
‹statistiksel hipotez ise, ana kütleye iliflkin olarak ileri sürülen ve teorik bir da¤›l›m varsay›m› alt›n-da, parametrik de¤erin belirli bir de¤ere eflit ol-du¤unu veya iki ya da daha fazla ana kütle para-metresinin birbirlerine eflit oldu¤unu belirten ve geçerlili¤i istatistiksel testlerle denetlenen bir önermedir.
Hipotez testinin ad›mlar›n› s›ralamak.
‹statistiksel hipotez testi sürecinde izlenmesi ge-reken temel ad›mlar; 1. Hipotezlerin kurulmas›, 2. Anlam düzeyinin seçilmesi, 3. Red bölgesinin belirlenmesi, 4. Kritik de¤erin bulunmas›, 5. Ge-rekli test istatisti¤inin hesaplanmas›, 6. ‹statistik-sel karar›n verilmesi olarak s›ralan›r.
Ana kütle ortalamas›na iliflkin hipotez testlerini uygulamak.
Tek ana kütle ortalamas›na iliflkin hipotez testle-rinde, σ biliniyor ve, n ≥ 30 ise test istatisti¤i,
olarak verilir. σ2’nin bilinmiyor ve ise, n ≥30
olur ve yap›lan bu test z-testi olarak adland›r›l›r.
Ana kütle varyans› σ2 ’nin bilinmiyor ve n< 30 ise, test istatisti¤i,
ile verilir ve yap›lan bu teste student-testi denilir.
Ana kütle ortalamalar› aras›ndaki farka iliflkin hi-potez testlerinde, ve biliniyor, n1 ≥ 30 ve n2 ≥30 ise test istatisti¤i,
ile hesaplan›r. ve ’nin bilinmiyor, n1 ≥ 30 ve n2 ≥30 ise,
olur. ve ’nin bilinmiyor, n1< 30 ve n2< 30 ise, kullan›lacak test istatisti¤i,
ile verilir.
Ana kütle oran›na iliflkin hipotez testlerini uygu-lamak.
Tek ana kütle oran›na iliflkin hipotez testlerinde, n ≥ 30 ise, test istatisti¤i,
ile verilir. Ana kütle oranlar› aras›ndaki farka ilifl-kin hipotez testlerinde, n1 ≥ 30 ve n2 ≥ 30 ise,
Tek Yönlü Varyans Analizini uygulamak.
‹kiden fazla ana kütle ortalamas›n›n karfl›laflt›r›l-mas›nda F-testi kullan›l›r. Bu karfl›laflt›rmada kul-lan›lan yöntem Varyans Analizi olarak adland›r›-l›r. Kurulan modelde, tek bir tane ba¤›ms›z
de-¤iflken bulunuyorsa, varyans analizi Tek Yönlü Varyans Analizi ad›n› al›r. Bu yöntemde, ana küt-le varyans›n›n iki adet tahmini kullan›l›r. Gruplar aras› varyans, örneklem ortalamalar›n›n varyan-s›d›r. Gruplar içi varyans ise, seçilen örneklemde-ki bütün de¤erlerden hesaplanan varyanst›r. Or-talamalar aras›nda anlaml› bir fark bulunmad›¤›n-da, bu iki tahmin yaklafl›k olarak birbirine eflittir ve F-test istatisti¤inin de¤eri 1 ’e yak›n bir de¤er-dir. Ortalamalar ars›ndaki fark istatistiksel olarak anlaml› ise, gruplar aras› varyans tahmini gruplar içi varyans tahmininden daha büyük olacakt›r.
Varyans Analizinde baz› varsay›mlar vard›r. Bu varsay›mlar;
1. Gruplar›n çekildi¤i ana kütleler normal da¤›l›-ma sahiptir.
2. Karfl›laflt›r›lan gruplar birbirinden ba¤›ms›zd›r.
3. Gruplar›n varyanslar› eflittir.
Testte hipotezler;
H0 : µ1 = µ2 =... = µk
H1 : µ1, µ2, ...., µk’lar›n en az biri farkl›d›r.
biçiminde kurulur.
F-testi için gerekli hesaplamalar› içeren Var-yans Analizi Tablosu uygulamalarda kolayl›k sa¤lar.
N
A M A Ç51. Bir veya birden fazla ana kütle parametresine iliflkin olarak ileri sürülen hipotezlerin test edilmesi sürecine ne ad verilir?
a. Çift yönlü test
b. ‹statistiksel hipotez testi c. Testin gücü
d. Tek yönlü test e. Varyans Analizi
2. I. Kritik de¤erin belirlenmesi II. ‹statistiksel karar›n verilmesi III. Hipotezlerin ifade edilmesi IV. Test istatisti¤inin hesaplanmas›
V. Anlam düzeyinin seçilmesi
Yukar›da verilen bir hipotez testi sürecinin ad›mlar›
afla-¤›dakilerden hangisinde do¤ru olarak s›ralanm›flt›r?
a. III-II-I-V-IV b. III-V-I-IV-II c. II-III-I-IV-V d. II-V-I-III-IV e. I-III-V-IV-II
3 - 6. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevaplan-d›r›lacakt›r.
Bir g›dan›n 450 saat olan dayanma süresini art›rmak amac›yla, yeni bir koruyucu maddenin kullan›m› düflü-nülmektedir. Bu madde kullan›larak 225 adet g›da ürü-nü üretilmifl ve ortalama dayanma süresi 462 saat ve standart sapmas› 72 saat olarak hesaplanm›flt›r. Yeni koruyucu maddenin, g›dan›n dayanma süresini art›r›p art›rmad›¤› % 95 güvenle test edilecektir.
3. Bu Bilgilere göre, s›f›r hipotezi afla¤›dakilerden han-gisidir?
4. Yukar›daki bilgilere göre, s›f›r hipotezi için red böl-gesi afla¤›dakilerden hangisidir?
a. Sa¤ alt kuyrukta %2,5 ’lik alan b. Her iki alt kuyrukta %5 ’erlik alan c. Sa¤ alt kuyrukta %5 ’lik alan d. Sol alt kuyrukta %5 ’lik alan e. Her iki alt kuyrukta %2,5 ’erlik alan
5. Yukar›daki bilgilere göre, test istatisti¤inin de¤eri kaçt›r?
6. Yukar›daki bilgilere göre, var›lacak karar afla¤›daki-lerden hangisidir?
a. % 95 güven düzeyinde, yeni koruyucu madde g›dan›n dayanma süresini art›rmam›flt›r.
b. % 95 güven düzeyinde, yeni koruyucu madde g›dan›n dayanma süresini art›rm›flt›r.
c. % 95 güven düzeyinde, yeni koruyucu madde g›dan›n dayanma süresini azaltm›flt›r.
d. % 95 güven düzeyinde, yeni koruyucu madde g›dan›n dayanma süresini de¤ifltirmemifltir.
e. % 95 güven düzeyinde, yeni koruyucu madde g›dan›n dayanma süresini azaltmam›flt›r.
7 - 9. sorular afla¤›daki bilgilere göre cevapland›r›-lacakt›r.
A ilinde çal›flan 200 g›da mühendisinden 128 ’i bayan-d›r. B ilinde ilinde ise, çal›flan 300 g›da mühendisinden 144 ’ünün bayan oldu¤unu gözlenmifltir. Çal›flan bayan g›da mühendisi oran› bak›m›ndan bu iki il aras›nda önemli bir fark›n olup olmad›¤› % 95 güven düzeyi ile test edilecektir.
7. Bu testte, alternatif hipotez afla¤›dakilerden hangisidir?
a. Π1 - Π2< 0 b. Π1 - Π2> 0 c. Π1 - Π2= 0 d. Π1 < Π2 e. Π1 - Π2≠ 0
8. Bu test için test istatisti¤inin de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?
9. Yukar›daki bilgilere göre, var›lacak karar afla¤›daki-lerden hangisidir?
a. % 95 güven düzeyinde, bayan g›da mühendisi ora-n› bak›m›ndan A ili ile B ili eflit kabul edilebilir.
b. % 95 güven düzeyinde, bayan g›da mühendisi oran› bak›m›ndan iki flehir aras›nda önemli bir farkl›l›k yoktur.
c. % 95 güven düzeyinde, B ilindeki bayan g›da mühendisi oran› A iline göre daha fazlad›r.
d. % 95 güven düzeyinde, bayan g›da mühendisi oran› bak›m›ndan iki flehir aras›nda önemli bir farkl›l›k vard›r.
e. % 95 güven düzeyinde, A ilindeki bayan g›da mühendisi oran› B iline göre daha fazlad›r.
10.Varyans Analizinde afla¤›daki testlerden hangisi kullan›l›r?
a. z-testi
b. Tek ana kütle ortalama testi c. Student-t testi
d. ‹ki ana kütle ortalamas› karfl›laflt›r›lmas› testi e. F-testi
“Bir Veterinerlik Fakültesi ’nde, kanatl› iflletmelerinden toplanan ve 3 ayr› Salmonella tipi var oldu¤u saptanan (S.Gallinaru, S.Enteritidis ve S.Typhimurium) tavuklar üzerinde, Trimetophrim-Sulfamethoxasol antibiyoti¤i-nin etkisi bak›m›ndan farkl›l›k olup olmad›¤› araflt›r›l-mak istenmektedir.
Bu amaçla, ilgili tavuk örneklerine Trimetophrim-Sulfa-methoxasol antibiyoti¤i uygulanm›flt›r. Uygulama sonu-cunda elde edilen de¤erler kay›t alt›na al›nm›fl ve bu de¤erler üzerinden Trimetophrim-Sulfamethoxasol an-tibiyoti¤i bak›m›ndan S.Gallinaru, S.Enteritidis ve S.Typhimurium aras›nda % 99 güven düzeyi ile fark bulunmad›¤› Tek Yönlü Varyans Analizi yöntemi ile or-taya konmufltur.”