Ortalamalar›n›n örnekleme da¤›l›m›n›n üçüncü özelli¤i, da¤›l›m biçimine iliflkin olarak verilir ve istatistikte bu özellik merkezi limit teoremi ad› verilen teorem-le aç›klan›r. Bu teoreme göre; ortalamas› µ ve standart sapmas› σ olan herhangi bir ana kütleden iadeli seçimle çekilen örneklem ortalamalar›n›n da¤›l›m›, n örneklem hacmi büyüdükçe, ortalamas› µ ve standart sapmas› olan Normal da¤›l›ma yaklafl›r.
Örneklem hacmi yeterili büyüklükte ise, gözlem de¤erlerine iliflkin olarak Nor-mal da¤›l›m yaklafl›m› kullan›lmas›yla ayn› mant›kla örneklem ortalaNor-malar›na ilifl-kin olarak da merkezi limit teoremi kullan›labilir. Buradaki tek fark z de¤erinin eflitli¤inde ortaya ç›kar. z de¤eri,
ile hesaplan›r. Eflitlikteki x ; örneklem ortalamas›n› belirtirken, paydadaki ifadesi; ortalaman›n standart hatas›n› belirtir.
Normal da¤›l›ml› bir ana kütleden n hacimli çok say›da örneklem çekildi¤inde, ya da Normal da¤›l›ml› olmayan bir ana kütleden örneklem hacmi olan çok say›da örneklem çekildi¤inde ve bu örneklemlerden aritmetik ortalamalar hesap-land›¤›nda, örneklem ortalamalar›n›n da¤›l›m› fiekil 5.1.’deki gibi elde edilir. fiekil-deki yüzdelik de¤erler, bulundu¤u bölgenin alan›n› belirtmektedir.
σ = ( − ) + −( ) +( − ) +( − ) = =
4 10 8 10 12 10 16 10 ,
4
80
4 4 472
2 2 2 2
σx
σx = ( − ) + −( ) + +( − ) = =
4 10 6 10 16 10 ,
16
160
16 3 162
2 2 … 2
σ n
=4 472= 2
3 162
, ,
σp
= Π(1n−Π)
σ / n
σ / n
Merkezi Limit Teoremi:
Örneklem ortalamalar›n›n örnekleme da¤›l›m›, örneklem hacmi büyüdükçe Normal da¤›l›ma yaklafl›r.
z n
=x µ− σ
n≥ 30
Merkezi limit teoremi kullan›ld›¤›nda, dikkat edilmesi gereken iki nokta afla¤›-daki gibidir.
1- ‹ncelenen de¤iflken Normal da¤›l›ml› oldu¤unda, herhangi bir n örneklem hacmi için, örneklem ortalamalar›n›n da¤›l›m› da Normal da¤›l›md›r.
2- ‹ncelenen de¤iflkenin da¤›l›m› belli de¤il ise, örneklem ortalamalar›n›n
da-¤›l›m›n›n Normal da¤›l›ma yaklaflabilmesi için örneklem hacmi olmal›d›r.
Örneklem ne kadar büyükse, yaklafl›m o kadar iyi olur.
Bir meflrubat otomat makinesinde haz›rlanan meflrubat miktar› rassal de¤iflkeni-nin aritmetik ortalamas›n›n 300 ml. ve standart sapmas›n›n 40 ml. oldu¤u bilin-mektedir. Bu makinede haz›rlanan 64 adet meflrubattan oluflan olas› tüm örnek-lemler için ortalama meflrubat miktar›n›n en az 305 ml. olmas› olas›l›¤› nedir?
Ana kütle aritmetik ortalamas›; µ= 300 ml., ana kütle standart sapmas›; σ= 40 ml. ve örneklem hacmi; n= 64 adet meflrubat olarak verilmifltir.
Merkezi limit teoremine göre, x ’n›n da¤›l›m›; aritmetik ortalamas› ml.
ve standart sapmas› ml. olan normal da¤›l›md›r. Soruda istenen ola s›l›k için grafiksel gösterim fiekil 5.2.’de görülmektedir.
%2,28 %2,28
%13,59
%34,13
%34,13
%13,59
µ - 3σx µ - 2σx µ - σx µµ + σx µ + 2σx µ + 3σx fiekil 5.1
Çok Say›da Örneklem ‹çin Örneklem Ortalamalar›n›n Da¤›l›m›
n≥ 30
Ö R N E K 5 . 7
µx= 300 σx = 40 =
64 5
Aritmetik ortalama için hesaplanmas› gereken z de¤eri; ola-rak bulunur. Buna göre istenen olas›l›k; de¤erinin sa¤›nda kalan alan olacakt›r.
elde edilir. Sonuç olarak 64 birimlik olas› tüm örneklemler için, haz›rlanan ortala-ma meflrubat miktar›n›n en az 305 ml. olortala-mas› olas›l›¤› % 15,87 olarak belirlenir.
Ana kütle çok büyük ya da sonsuz ana kütle oldu¤unda, bu ana kütleden iade-li ya da iadesiz seçim yöntemiyle seçilen örneklemler için ortalaman›n standart ha-ta eflitli¤i ile verilir. Uygulamalarda iadeli seçimli örnekleme çok fazla uy-gulanmad›¤›ndan, sonlu bir ana kütleden iadesiz seçimle çekilen örneklemler için ortalaman›n ya da oran›n standart hatas› hesaplan›rken, düzeltme terimi ad› veri-len bir ifade kullan›l›r. N; ana kütle hacmi ve n; örneklem hacmi olmak üzere dü-zeltme terimi,
biçiminde hesaplan›r.
Düzeltme terimi, küçük bir ana kütleden nispeten büyük bir örneklem
çekildi-¤inde kullan›l›r. Çünkü bu durumda örneklem ortalamas› ana kütle ortalamas›na daha yak›n sonuçlar verece¤i için, yap›lan tahmindeki hata miktar› daha düflük olacakt›r. Dolay›s›yla, ortalaman›n standart hatas› düzeltme terimi ile çarp›ld›¤›nda, küçük bir ana kütleden seçilen büyük hacimli örneklemler için bir düzenleme ya-p›lm›fl olur. Bu durumda ortalaman›n standart hatas›,
eflitli¤i ile hesaplan›r. Buna göre z de¤eri,
olarak belirlenir.
fiekil 5.2 F (x)
x
305 µ=300
z=0 z=1
Örnek 5.7. ‹çin Olas›l›¤›
z= −
305 300=
5 1
P(x >305)=P Z( > =1) 0 5, −P(0< < =Z 1) 0 5, −0 3413, =0 1587,
σ / n
N n
N
−
−1
σ σ
x = ⋅ −
n −
N n
N 1
z n
N n
N
= −
⋅ −
− x µ σ
1
Düzeltme terimi kullan›ld›¤›nda oran›n standart hatas› ise,
biçiminde hesaplan›r.
Ana kütle büyük ve örneklem küçük oldu¤unda, düzeltme teriminin de¤eri 1’e çok yak›n olaca¤› için genellikle kullan›lmaz.
σp
n
N n
= − ⋅ N−
− Π(1 Π)
1
Örneklemeye iliflkin baz› temel kavramlar› ta-n›mlamak.
Sonlu ana kütlenin bütün birimlerine iliflkin bil-gilerin elde edilmesi ve kaydedilmesine tam sa-y›m denilir. Örneklem hacminin, ana kütledeki birim say›s›na oran›na örnekleme oran› ad› veri-lir. Sonlu bir ana kütledeki birimlerin yer ald›¤›
listeye örnekleme çerçevesi ad› verilir. Ana küt-lede yer alan her bir birime ana kütle birimi de-nir. Örneklemi oluflturan elemanlara örnekleme birimi ad› verilir. Örnekleme birimleri bir tek ana kütle biriminden oluflabilece¤i gibi, birden çok ana kütle biriminden de oluflabilir. Bir araflt›rma-da bilgilerin topland›¤› ve istatistiklerin
derlendi-¤i birime gözlem birimi ad› verilir. Ana kütle pa-rametresinin de¤erinin belirlenmesinde kullan›-lan örneklem istatisti¤ine tahminci ad› verilir ve her tahminci bir rassal de¤iflkendir.
Örneklemenin avantajlar›n› aç›klamak.
a. Örnekleme, araflt›rman›n maliyetini azalt›r.
b. Örnekleme, zaman tasarrufu sa¤lar.
c. Araflt›rmada incelenen birimden bilgi toplana-bilmesi için bu birimin tahrip edilmesi gerekiyor-sa ya da incelenen ana kütle sonsuz ana kütle ise örneklemeye baflvurmak zorunludur.
d. Örnekleme, araflt›r›lan konuya iliflkin daha ay-r›nt›l› bilgi edinilmesini sa¤lar.
e. Örnekleme do¤ru bilgi elde etme imkan› verir.
Örnekleme sürecinin ad›mlar›n› s›ralamak.
a. ‹ncelenecek ana kütlenin tan›mlanmas›, b. Örnekleme çerçevesinin belirlenmesi, c. Ana kütlenin yap›s›na uygun örnekleme
yönteminin belirlenmesi,
d. Örneklem hacminin belirlenmesi, e. Örnekleme birimlerinin seçilmesi, f. Örneklem seçimi sürecinde belirlenen yön
teme göre parametre tahmini.
Örneklemede yap›labilecek hatalar› aç›klamak.
‹statistiksel araflt›rmalarda birincisi sistematik ha-ta, ikincisi ise rassal hata (örnekleme hatas›) ol-mak üzere iki tür hata söz konusu olur. Hesapla-nan örneklem istatistikleri, ana kütle parametre-sinden her zaman tek bir yönde farkl›l›k gösteri-yor ise yap›lan hataya sistematik hata ad› verilir.
Ana kütle parametresi ile örneklem istatisti¤i ara-s›nda belli miktarda ortaya ç›kan farka rassal ha-ta ya da örnekleme haha-tas› ad› verilir. Örneklem istatisti¤i ile ana kütle parametresi aras›ndaki farklar›n alabilece¤i de¤erlerin ortalamas› hesap-lan›rken kareli ortalamadan yararlan›l›r. Hesapla-nan bu de¤ere de, örneklem istatisti¤inin stan-dart hatas› ad› verilir.
Örnekleme yöntemlerini s›n›fland›rmak ve ta-n›mlamak.
Örneklem yöntemleri genel olarak olas›l›kl› ve olas›l›kl› olmayan örnekleme yöntemleri olmak üzere iki s›n›fa ayr›l›r.
Ana kütlede yer alan tüm örneklem birimlerinin belirli olas›l›klarla örnekleme seçildi¤i yöntemle-re olas›l›kl› ya da rassal örnekleme yöntemleri ad› verilir. Örnekleme çerçevesinde yer alan tüm örnekleme birimlerinin seçilme olas›l›¤›n›n eflit oldu¤u, seçilen birimin yerine konuldu¤u ve bir daha örnekleme al›nmad›¤› olas›l›kl› örnekleme yöntemine Basit Rassal Örnekleme ad› verilir.
Ana kütle birimleri belli bir düzende s›ralanabil-di¤inde, örneklemde yer alacak ilk birim, ana kütledeki ilk k birim aras›ndan rassal olarak seçi-lip, bundan sonra gelen her k’inci birimin örnek-leme al›nd›¤› yönteme Sistematik Örnekörnek-leme yöntemi ad› verilir. Ana kütlenin araflt›rman›n ko-nusunu oluflturan de¤iflken ya da de¤iflkenler ba-k›m›ndan tabakalara ayr›larak, her tabakadan ay-r› ayay-r› örneklem çekildi¤i örnekleme yöntemine Tabakal› Örnekleme ad› verilir. Ana kütlede yer alan her bir tabakaya basit rassal örnekleme yön-temi uygulan›yor ise, bu yönteme Tabakal› Ras-sal Örnekleme ad› verilir. Örnekleme çerçevesi-nin, birden çok ana kütle biriminden oluflan kü-melerden meydana geldi¤i olas›l›kl› örnekleme yöntemine küme örneklemesi ad› verilir.
Ana kütledeki baz› birimlerin seçilen örneklem-de yer alma flans›n›n bulunmad›¤›, ya da seçilme olas›l›¤›n›n tam olarak belirlenemedi¤i örnekle-me yöntemine olas›l›kl› olmayan örnekleörnekle-me ad›
verilir. Kolayda Örnekleme, Kota Örneklemesi, Kartopu Örneklemesi ve Karar Örneklemesi ba-z› önemli olas›l›kl› olmayan örnekleme yöntem-leridir.
‹statistiksel bir araflt›rmada gerekli örneklem hac-mini belirlemek.
Örneklem hacminin belirlenmesinde, ilki tahmi-nin ne kadarl›k bir hata ile yap›laca¤› üzerine konulacak s›n›r, di¤eri ise maliyet olmak üzere iki faktör bulunur. Araflt›rma için gerekli örnek-lem hacmi, bu iki faktörü dengeleyecek biçimde tahmin yapma imkan› sa¤layabilmelidir.
Tahmin edilecek parametre ana kütle ortalamas›
oldu¤unda, gerekli örneklem hacmi;
• N biliniyor ise;
• N bilinmiyor ya da sonsuz ana kütle ise;
eflitlikleri ile hesaplan›r.
Tahmin edilecek parametre ana kütle oran› ol-du¤unda, gerekli örneklem hacmi;
• N biliniyor ise;
• N bilinmiyor ya da sonsuz ana kütle ise;
eflitlikleri ile hesaplan›r.
Örneklem hacminin belirlenmesi için temel afla-malar afla¤›daki gibi verilebilir:
1- Yap›lacak tahminlerin, hangi hata s›n›rlar› ara-s›nda bulunmas›n›n hoflgörülebilece¤i saptan-mal›d›r.
2- Örneklem hacminin belirlenebilmesi için pa-rametre de¤erlerinin bilinmesi gerekir. Bilinmi-yor ise, çeflitli yollarla tahmin edilir.
3- Örneklem hacmi için verilen eflitlikler yard›-m›yla hesaplan›r.
Ayr›ca, araflt›rma için ayr›lan mali kaynaklar be-lirlenmifl ise, gerekli örneklem hacmi;
eflitli¤i ile hesaplan›r.
Örneklem Ortalamalar›n›n ve oranlar›n›n ör-nekleme da¤›l›mlar› kavramlar›n› aç›klamak.
Bir ana kütleden seçilebilecek tümü n birimlik olas› bütün örneklemler çekilip hepsinden ayr›
ayr› istatistik hesapland›¤›nda, söz konusu ista-tistiklerin da¤›l›m›na, hesaplanan istatisti¤in ör-nekleme da¤›l›m› ad› verilir.
Ana kütleden seçilebilecek tümü n hacimlik olas› bütün rassal örneklemlerden hesaplanan
aritmetik ortalamalar kullan›larak oluflturulan
da-¤›l›ma ortalaman›n örnekleme da¤›l›m› ad› veri-lir. Örneklem ortalamalar›n›n ortalamas› ana küt-le ortalamas›na eflittir ( ).
Örneklem ortalamalar›n›n standart sapmas›n›n de¤eri, ana kütle standart sapmas›n›n örneklem hacminin kareköküne bölünmesiyle hesaplan›r
( ).‹ki sonuçlu bir ana kütleden eflit hacimli olas› tüm rassal örneklemler seçilerek her örneklem için oran hesapland›¤›nda, bu oran-lardan oluflan da¤›l›ma oranlar›n örnekleme
da-¤›l›m› ad› verilir ve bu dada-¤›l›m›n aritmetik ortala-mas› µp= Π , standart sapmas› ise
eflitli¤i ile hesaplan›r.
Merkezi Limit Teoremini kullanarak, örneklem ortalamalar› ve oranlar›n›n da¤›l›m›na iliflkin olas›l›klar› hesaplamak.
Merkezi Limit Teoremi’ne göre; ortalamas› µ ve standart sapmas› σ olan herhangi bir ana kütle-den iadeli seçimle çekilen örneklem ortalamala-r›n›n da¤›l›m›, örneklem hacmi büyüdükçe, orta-lamas› µ ve standart sapmas› olan Normal da¤›l›ma yaklafl›r.
Örneklem ortalamalar›n›n da¤›l›m›na iliflkin ola-s›l›klar›n hesaplanmas›nda kullan›lacak z de¤eri,
ile hesaplan›r.
Sonlu bir ana kütleden iadesiz seçimle çekilen örneklemler için ortalaman›n standart hatas›,
eflitli¤i ile hesaplan›r. Buna göre
z de¤eri; olarak belirlenir. Bu
durumda oran›n standart hatas› ise;
biçiminde hesaplan›r.
1. Hakk›nda araflt›rma yap›lacak sonlu ana kütlede yer alan bütün birimlerin elde edilmesi ve kaydedilmesi ifl-lemine ne ad verilir?
a. Örnekleme b. Tahmin c. Veri Derleme d. Tam say›m e. Örnekleme Oran›
2. Afla¤›dakilerden hangisi örneklemenin avantajlar›n-dan biri de¤ildir?
a. Maliyetinin tam say›ma göre daha düflük olmas›
b. Daha ayr›nt›l› bilgi elde etme imkân› sa¤lamas›
c. Sonsuz ana kütlelere uygulanabilmesi
d. Tam say›ma göre daha k›sa zamanda uygulana-bilmesi
e. Örnekleme seçilen birimin tahrip edilebilmesi 3. Afla¤›daki ifllemlerden hangisi sonlu bir evrenden basit rassal örneklem seçimi sürecinin d›fl›ndad›r?
a. Güncel örnekleme çerçevesinin haz›rlanmas›
b. Gerekli örneklem hacminin belirlenmesi c. Örnekleme girecek birimlerin seçilmesi d. Gerekli parametrelerin tahmin edilmesi e. Ana kütlenin bir tak›m alt gruplara bölünmesi 4. Örneklemden örnekleme de¤iflen de¤erler alan ista-tistiklerin ana kütle parametre de¤erlerine göre göster-dikleri sapmalara ne ad verilir?
a. Yan›lma Düzeyi b. Rassal Hata c. Standart Sapma d. Sistematik Hata e. Standart Hata
5. Afla¤›dakilerden hangisi olas›l›kl› örnekleme yön-temlerinden biridir?
a. Kartopu Örneklemesi b. Kota Örneklemesi c. Tabakal› Örnekleme d. Kolayda Örnekleme e. Karar Örneklemesi
6. Bütün tabakalara basit rassal örnekleme yönteminin uyguland›¤› tabakal› örneklemeye ne ad verilir?
a. Tabakal› Örnekleme b. Tabakal› Rassal Örnekleme c. Tabakal› Basit Örnekleme d. Tabakal› Sistematik Örnekleme e. Tabakal› Basit Rassal Örnekleme
7. Örnekleme çerçevesi haz›rlanman›n afl›r› masrafl› ve zaman kaybettirici oldu¤u durumlarda afla¤›daki örnek-leme yöntemlerinden hangisinin uygulanmas› daha uy-gundur?
a. Küme Örneklemesi b. Sistematik Örnekleme c. Kota Örneklemesi d. Basit Rassal Örnekleme e. Karar Örneklemesi
8. Afla¤›dakilerden hangisi örneklem hacminin belir-lenmesinde göz önünde bulundurulmas› gereken fak-törlerden biri de¤ildir?
a. Araflt›rman›n maliyeti b. Yan›lma düzeyi c. De¤iflken say›s›
d. Ana kütledeki birim say›s›
e. Hoflgörü miktar›
9. Tan›mlanan bir ana kütleden seçilen n hacimli olas›
bütün örneklemler için hesaplanan x istatisti¤inin mey-dana getirdi¤i da¤›l›ma ne ad verilir?
a. t da¤›l›m›
b. Oran›n örnekleme da¤›l›m›
c. Binom da¤›l›m›
d. Ortalaman›n örnekleme da¤›l›m›
e. n birimli örneklemin oran›
10.Aritmetik ortalamas› 78 ve standart sapmas› 9,6 olan normal da¤›l›ma sahip bir ana kütleden iadeli seçim yöntemi kullan›larak seçilen 24 birimlik olas› tüm rassal örneklemler için, örneklem ortalamalar›n›n 76 ile 83 aral›¤›nda olmas› olas›l›¤› kaçt›r?
a. 0,84
“Dinlenmek üzere gitti¤iniz bir çay bahçesinde, çayc›
size s›cak bir çay getirdi¤inde, hemen büyük bir yudum almadan önce, biraz koklayarak ve biraz üfleyerek kü-çük bir yudum al›rs›n›z. Böylece çay›n tad› ve s›cakl›¤›
hakk›nda a¤z›n›z yanmadan bir fikir sahibi olabilirsiniz.
Ö¤len yeme¤inde bir ay önce aç›l›fl yapan bir restorana gitmeyi planl›yorsunuz. Ancak yiyece¤iniz yeme¤e pa-ran›z›n yetece¤inden emin de¤ilsiniz. Bu nedenle, ge-çen hafta o restoranda yemek yedi¤ini bildi¤iniz üç ar-kadafl›n›za yemeklerin fiyatlar›yla ilgili olarak dan›flt›-n›z. Hepsi de fiyatlar›n gayet makul oldu¤unu belirtti ve siz de böylece ö¤len yeme¤i için karar›n›z› restoran-da yeme yönünde verdiniz.
Bu örnekler, günlük yaflamda ço¤umuzun bafl›na gele-bilecek durumlar olmakla birlikte tamamen örnekleme eylemleridir. Örnekleme, ana kütlenin küçük bir k›sm›-n›n incelenmesi ve bu inceleme sonucunda elde edilen sonucun ana kütleye genellenmesi sürecidir. Yap›lan genellemelerin do¤rulu¤u, ana kütleden seçilen örnek-lemin niteli¤iyle iliflkilidir. Çaydan ald›¤›n›z ilk küçük yudum, içece¤iniz bir fincan çay›n tamam›na iliflkin ola-rak do¤ru bilgi sa¤lamas›na karfl›n, yeni aç›lan restora-na giden üç arkadafl›n›z›n maddi durumu çok iyi ise, restoran fiyatlar›n›n bu arkadafllar›n›za etkisi ile size olan etkisi çok farkl› olabilir.”
1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örneklemeye ‹liflkin Te-mel Tan›m Ve Kavramlar” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
2. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örneklemenin Avantajlar›”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örnekleme Sürecinin Ad›mlar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
4. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örneklemede Hata Kavra-m›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
5. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örnekleme Yöntemleri”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
6. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örnekleme Yöntemleri”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
7. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örnekleme Yöntemleri”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
8. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örneklem Hacminin Belir-lenmesi” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
9. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Örnekleme Da¤›l›mlar›”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
10. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Merkezi Limit Teoremi”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
S›ra Sizde 1
BRÖ’de seçilebilecek olas› NCnadet örneklem bulunur-ken, SÖ’de olas› k örneklemden biri seçilir. Ayr›ca SÖ yönteminde örneklem çekiminin belli kurallar dahilin-de gerçeklefltirilmesi sonucunda, seçilen örneklem BRÖ’ye göre ana kütle üzerinde daha homojen bir
da-¤›l›m gösterir. Bu da örneklemin ana kütleyi temsil et-me miktar›n› artt›ran bir özelliktir.
S›ra Sizde 2
Di¤er örnekleme yöntemlerine k›yasla küme örnekle-mesinin, araflt›rman›n tamamlanma süresini ve maliye-tini azaltmas›, çal›flma alan›n› indirgemesi ve uygulan-mas›n›n kolay olmas› gibi avantajlar› bulunur. Yönte-min önemli bir dezavantaj› ise, kümelerde yer alan ana kütle birimlerinin incelenen özellikler bak›m›ndan
de-¤iflkenli¤i, ana kütleden tek tek seçilen ana kütle birim-leriyle ayn› olmayabilir.