‹ki ana kütle ortalamas› aras›ndaki fark›n güven aral›¤›nda kullan›lan eflitli¤in ben-zeri, iki ana kütle oran› aras›ndaki fark için güven aral›¤›n›n belirlenmesinde de kullan›l›r. Buna göre, ba¤›ms›z iki örneklem ortalamas› yard›m›yla, ana kütle oran-lar› aras›ndaki fark için güven aral›¤› eflitli¤i,
olarak elde edilir. Burada n1ve n2örneklem hacimlerinin yeterince büyük oldu¤u varsay›lmaktad›r.
Yap›lan bir araflt›rmada, bir iflte çal›flan 240 bayandan 163 tanesinin dondurul-mufl haz›r g›dalar› düzenli olarak tüketti¤i ve herhangi bir iflte çal›flmayan 180 ba-yandan 74 tanesinin dondurulmufl haz›r g›dalar› düzenli olarak tüketti¤i belir-lenmifltir. % 99 güven düzeyi ile çal›flan ve çal›flmayan bayanlar›n dondurulmufl haz›r g›da tüketim oranlar› aras›ndaki fark için güven aral›¤›n› oluflturunuz.
Çal›flan bayanlar için, n1= 240 bayan, Çal›flmayan bayanlar için, n2= 180 bayan,
1 - α = 0,99, α = 0,01, zα/2= z0,005= 2,58 de¤erleri güven aral›¤› eflitli¤inde yer-lerine koyulursa,
elde edilir. Buna göre,
olur. Çal›flan ve çal›flmayan bayanlar›n dondurulmufl haz›r g›da tüketim oranlar›
aras›ndaki fark % 99 güven ile 0,15 ile 0,39 aras›nda, % 1 olas›l›kla bu aral›¤›n d›-fl›nda de¤erler alabilir.
Tahminleme kavram›n› aç›klamak.
Ç›kar›msal istatisti¤in en önemli ifllevlerinden bi-risi tahminlemedir. Ana kütle parametrelerinin tahminlemesi, ana kütleden rassal bir örneklem seçilmesi ve bu örneklemden parametrenin en iyi tahmincisi olan istatisti¤in seçilmesi ve hesap-lanmas› yoluyla gerçekleflir. Parametre meleri, nokta tahminlemesi ve aral›k tahminle-mesi olmak üzere iki türde yap›l›r.
‹statistikte s›kl›kla kullan›lan baz› ana kütle parametrelerinin nokta tahminlerini yapmak.
Ana kütle aritmetik ortalamas› µ’nün nokta tah-mininde örneklem istatisti¤inden yararlan›l›r ise, kullan›lacak eflitlik,
ile verilir. Ana kütle varyans› σ2’nin nokta tahmi-ninde örneklem varyans› kullan›l›r ise, kullan›la-cak eflitlik,
olur. Ana kütle oran› Π’nin nokta tahmininde ör-neklem oran› de¤erinden yararlan›l›r ise, kullan›-lacak eflitlik,
olacakt›r.
Nokta tahmincilerinin tafl›mas› gereken özellik-leri tan›mlamak.
‹yi bir tahminci, yans›zl›k, en küçük varyansl›l›k, tutarl›l›k ve yeterlilik özelliklerini sa¤lamal›d›r.
Bir tahmincinin örnekleme da¤›l›m›n›n ortalama-s› ana kütle parametresine eflit ise, o tahminci yans›z tahmincidir. Yans›z tahminciler aras›nda örnekleme da¤›l›m›n›n varyans› en küçük olan tahminci en iyi tahmincidir. Örneklem hacmi art-t›kça tahmincinin de¤eri ana kütle parametresine yaklafl›yorsa, bu tahminci tutarl› tahminci ad›n›
al›r. Bir tahmincinin de¤eri belirlenirken, seçilen örneklemdeki tüm bilgiden yararlan›l›yor ise, bu tahminciye yeterli tahminci denilir.
Güven Aral›¤› ve Güven Düzeyi kavramlar›n›
aç›klamak.
Nokta tahminlerindeki sorun, yap›lan tahminin do¤ruluk derecesinin belirlenememesidir. Bu ne-denle, istatistikçiler genellikle parametre tahmin-lemesinde daha çok güven aral›¤› belirleme yön-temini kullanmay› tercih ederler. Örneklem
de-¤erine iliflkin bir güven aral›¤› belirlendi¤inde, araflt›rmac›lar yap›lan aral›k tahmininin ana kütle parametresini içermesinden % 95 ya da % 99 (ya da baflka bir de¤er) olas›l›kla emin olabilirler.
Araflt›rmac› taraf›ndan belirlenen bu olas›l›¤a gü-ven düzeyi ad› verilir. Gügü-ven düzeyi ne kadar yüksek ise güven aral›¤› o kadar genifl olacakt›r.
Aritmetik ortalama için güven aral›¤› hesaplan›r-ken, ana kütle standart sapmas›n›n bilinip bilin-memesine ve örneklem hacminin büyüklü¤üne göre z ya da t de¤erleri kullan›l›r. E¤er σ bilini-yor ya da n ≥ 30 ise, z de¤eri kullan›labilir. E¤er σ bilinmiyor, örneklem hacmi 30’dan küçük ve ana kütle normal da¤›l›ma sahip ise, t de¤eri kul-lan›lmal›d›r. Ayr›ca ana kütle oran›n›n tahminin-de tahminin-de normal da¤›l›m yaklafl›m› kullan›larak gü-ven aral›klar› belirlenebilir.
Ana kütle aritmetik ortalamas› ve iki ana kütle ortalamas› aras›ndaki farka iliflkin aral›k tah-minlerini yapmak.
Ana kütle standart sapmas› bilindi¤inde, n ≥ 30 ise, µ için güven aral›¤› eflitli¤i,
olur.
n ≥ 30 iken, ana kütle standart sapmas› bilinmi-yor ise örneklem standart sapmas›ndan yararlan›-labilir. Bu durumda µ için güven aral›¤› eflitli¤i,
olacakt›r.
σ’n›n bilinmedi¤i durumda, n < 30 ise, µ için gü-ven aral›¤› eflitli¤i,
ile verilir.
Ana kütle standart sapmalar› σ1 ve σ2 biliniyor ise, iki ana kütle ortalamas› aras›ndaki fark için güven aral›¤› eflitli¤i,
olarak elde edilir.
σ1 ve σ2de¤erleri σ gibi sabit bir de¤ere eflit ise güven aral›¤› eflitli¤i,
olacakt›r.
Ana kütle standart sapmas› bilinmiyor ise, sp
de-¤erinden yararlan›l›r. ‹ki ana kütlenin varyansla-r› eflit iken, ortalamalar aras›ndaki fark için gü-ven aral›¤›,
olur.
Burada, de¤erine, birlefltirilmifl örneklem var-yans› olarak denilir ve
ile hesaplan›r.
Ana kütle oran› ve iki ana kütle oran› aras›nda-ki farka iliflaras›nda-kin aral›k tahminlerini yapmak.
n ≥ 30 ise, ana kütle oran› Π için güven aral›¤›,
eflitli¤i ile hesaplan›r.
n1ve n2 yeterince büyük ise iki ana kütle oran›
aras›ndaki fark için güven aral›¤› eflitli¤i ise
afla-¤›daki gibidir.
1. Hesaplanan bir örneklem istatisti¤inden yararlana-rak, ana kütle parametresinin alabilece¤i de¤erin belir-lenmesi ifllemine ne ad verilir?
a. Yan›lma düzeyi b. Örnekleme c. Tahminleme d Güven düzeyi e. Tahminci
2. Tahminlemeyle ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?
a. Örneklemler, çekildikleri ana kütleye iliflkin tah-minleme yap›labilmesini sa¤larlar.
b. Nokta tahmini tek bir say› de¤erinden oluflur.
c. Örneklem medyan de¤eri, ana kütle ortalamas›
için yeterli bir tahminci de¤ildir.
d. En iyi nokta tahmincisinin örnekleme da¤›l›m›-n›n varyans›da¤›l›m›-n›n di¤er tahmincilere göre daha küçük olmas› gerekir.
e. Nokta tahmini yap›ld›¤›nda, tahmin sonucunda oluflan hata miktar› da belirlenebilir.
3. Eskiflehir ilinde do¤al meyve suyu tercih edenlerin oran› tahmin edilmek istenmektedir. Bu amaçla rassal olarak seçilen örneklemden elde edilen bilgilere göre, 185 kifli do¤al meyve sular›n›, 315 kifli katk› maddeli meyve sular›n› tercih ettiklerini belirtmifllerdir. Buna göre, Eskiflehir ilinde do¤al meyve suyu tercih edenle-rin oran› tahmini yüzde kaçt›r?
a. 29 b. 37 c. 41 d. 59 e. 63
4. Afla¤›dakilerden hangisi en iyi nokta tahmincisinin tafl›mas› gereken özelliklerden biri de¤ildir?
a. Tutarl›l›k b. Gerçeklik c. Yeterlilik d. Yans›zl›k
e. En küçük varyans
5. Aral›k tahminlemesiyle ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?
a. Aral›k tahmini, tek bir say› de¤erinden oluflur.
b. Örneklem hacmi artt›kça, güven aral›¤› genifller.
c. Tahminin güven düzeyi, yan›lma pay›na eflittir.
d. Güven düzeyi azald›¤›nda, güven aral›¤› genifller.
e. Aral›k tahminlemesinde, tahminin parametreye yak›nl›k derecesi belirlenebilir.
6. G›da hijyeni ile ilgili hammadde üretilen bir fabrika-da belirli bir hammaddenin günde ortalama kaç kg. üre-tildi¤i tahmin edilmek istenmektedir. Bu amaçla ham-maddenin 81 günlük üretimi incelenmifl ve ortalama üretimin 892 kg., standart sapmas›n›n ise 27 kg. oldu¤u belirlenmifltir. Buna göre, % 95 güven düzeyi için iste-nen güven aral›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 876,15 - 896,88 b. 886,12 - 897,88 c. 898,12 - 989,88 d. 912,15 - 926,10 e. 985,10 - 986,18
7. Normal da¤›l›ma sahip bir ana kütleden rassal ola-rak seçilen 225 birimlik bir örneklemin ortalamas› 16, standart sapmas› ise 4 olarak hesaplanm›flt›r. Buna gö-re, %99,3 güven düzeyinde ana kütle ortalamas› hangi aral›kta de¤erler al›r?
8. n = 8 gözlemden oluflan bir rassal örneklemden el-de edilen el-de¤erler; Xi : 8, 6, 7, 3, 12, 4, 2, 14 olarak ve-rilmektedir. Bu örneklemin çekildi¤i ana kütle için, % 95 güven düzeyi ile ortalama tahmininin güven aral›¤›-n›n alt s›n›r› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 2,35
9. Bir bölgede yaflayan çocuklardan rassal olarak seçi-len 8 erkek çocu¤un ayl›k süt tüketimi ortalamas› 12,8 lt. ve standart sapmas› 1,2 lt., 12 k›z çocu¤un ayl›k süt tüketimi ortalamas› 9,6 lt. ve standart sapmas› 1,8 lt.
olarak hesaplanm›flt›r. Rassal örneklemlerin eflit yans ile normal da¤›l›ml› bir ana kütleden çekildi¤i var-say›m›yla, % 99 güven düzeyi ile bu bölgede yaflayan erkek ve k›z çocuklar›n ayl›k süt tüketimi ortalamalar›
aras›ndaki fark için güven aral›¤› afla¤›dakilerden han-gisidir?
a. 1,1 - 5,3 b. 1,5 - 4,9 c. 1,8 - 4,6 d. 2,1 - 4,3 e. 2,5 - 3,9
10. G›da zehirlenmesi flikayeti ile hastaneye baflvuran hastalardan rassal olarak seçilen 200 tanesi ilaçla tedavi edilmifl ve bu hastalardan 160 tanesi iyileflmifltir. Buna göre, %95 güvenle iyileflen hastalar›n oran›na iliflkin güven aral›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 0.16 - 0,24 b. 0,18 - 0,22 c. 0,72 - 0,88 d. 0,76 - 0,84 e. 0,78 - 0,82
“Bir Veteriner Kontrol Araflt›rma Enstitüsü, 2009 y›l› içe-risinde enstitüye gelen kesilmifl tavuklardan hastal›kl›
tavuk oran›na iliflkin tahminleme yapmak istemektedir.
Bu amaçla rassal olarak 540 adet kesilmifl tavuk seçil-mifl ve hastal›kl› tavuk oran› 0,14 olarak hesaplanm›flt›r.
Bu de¤erler kullan›larak kesilmifl hastal›kl› tavuk oran›
tahmin edilebilir mi?
540 birimlik rassal örnekten elde edilen oran de¤eri, ana kütle oran›n›n bir nokta tahmini oldu¤u için, kesil-mifl hastal›kl› tavuk oran›na iliflkin nokta tahmini % 14 olacakt›r. Bu nokta tahminlemesiyle, ancak ana kütle oran› Π’nin gerçekte 0,14’e yak›n bir de¤er oldu¤u yo-rumu yap›labilir.
Nokta tahmini yerine % 95 güven düzeyi ile aral›k tah-mini yap›l›rsa, 0,14 " 0,03 sonucuna ulafl›lacakt›r. Ya-ni, enstitüye gelen kesilmifl tavuklar›n hastal›kl› olanla-r›n›n oran› % 95 olas›l›kla 0,11 ile 0,17 de¤erleri aras›n-da, % 5 olas›l›kla bu aral›¤›n d›fl›nda yer alacakt›r.”
Yaflam›n ‹çinden
”
“
1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Tahminlemeye Girifl”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
2. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Nokta Tahminlemesi”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Nokta Tahminlemesi”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
4. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Nokta Tahmincilerinin Özellikleri” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
5. e Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Aral›k Tahminlemesi”
konusunu yeniden gözden geçiriniz.
6. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› ‹çin Güven Aral›klar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
7. c Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› ‹çin Güven Aral›klar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
8. b Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› ‹çin Güven Aral›klar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
9. a Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Ana Kütle Aritmetik Ortalamas› ‹çin Güven Aral›klar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
10. d Yan›t›n›z yanl›fl ise, “Ana Kütle Oran› ‹çin Güven Aral›klar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.
S›ra Sizde 1
Nokta tahminlemesinde, parametre tahmini olarak tek bir say› de¤eri hesaplan›r. Bu nedenle, nokta tahminle-melerinde, yap›lan tahminin parametreye ne kadar ya-k›n bir de¤er oldu¤u ya da tahmin sonucunda oluflacak olas› hata miktar›na iliflkin herhangi bir bilgi edinile-mez. Aral›k tahminlemesinde ise, tahminin parametre-ye yak›nl›k derecesi belirlenebilir. Aral›k tahminlemesi yönteminde parametre tahmini tek bir say› de¤eri ola-rak de¤il, ana kütle parametresinin belli bir olas›l›kla içerisinde yer alabilece¤i bir aral›k fleklinde belirlenir.
S›ra Sizde 2 n = 50 adet bakteri,
= 54 sn., s = 8 sn.
Güven düzeyi % 99 oldu¤unda, yan›lma pay› α = 0,01 olur. Standart normal da¤›l›m tablosundan zα/2= z0,01/2= z0,005= 2,58 de¤eri bulunur. Buna göre güven aral›¤›;
elde edilir. G›da bakterisi türünün ortalama yaflam sü-resi % 99 olas›l›kla 51,08 sn. ile 56,92 sn. aral›¤› içerisin-de, % 1 olas›l›kla bu aral›¤›n d›fl›nda yer almaktad›r.
P z
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› S›ra Sizde Yan›t Anahtar›
Bluman, A.G. (2004). Elemantary Statistics: A Step by Step Approach,McGraw-Hill, New York.
Esin, A., Ekni, M., Gamgam, H. (1997). Sa¤l›k Bilimle-rinde ‹statistik,Ankara: Gazi Üniversitesi Fen-Ede-biyat Fakültesi Yay›nlar›.
Freund, J.E. (1992). Mathematical Statistics, Prentice Hall, Inc., USA.
Groeneveld, R.A. (1988). Introductory Statistical Met-hods,PWS-Kent Publishing Company, Boston.
‹nal, H.C., Günay, S. (1999). Olas›l›k ve Matematiksel
‹statistik,Ankara: H.Ü. Fen Fakültesi Yay›nlar›.
Wonnacott, T.H., Wonnacott, R.J. (1990). Introduc-tory Statistics For Business And Economics, John Wiley & Sons, Inc., USA.
Yararlan›lan Kaynaklar
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Hipotez ve istatistiksel hipotez kavramlar›n› aç›klayabilecek, Hipotez testinin ad›mlar›n› s›ralayabilecek,
Ana kütle ortalamas›na iliflkin hipotez testlerini uygulayabilecek, Ana kütle oran›na iliflkin hipotez testlerini uygulayabilecek, Tek yönlü Varyans Analizini uygulayabileceksiniz.
‹çerik Haritas›
• Hipotez
• ‹statistiksel Hipotez
• S›f›r Hipotezi
• Karfl›t Hipotez
• Tek yönlü test
• Çift yönlü test
• 1. Tip Hata (α Hatas›)
• 2. Tip Hata (β Hatas›)
• Anlam Düzeyi
• Güven Düzeyi
• Testin Gücü
• Red Bölgesi
• Kritik De¤er
• Test ‹statisti¤i
• z-testi
• t-testi
• Tek yönlü Varyans Analizi
• F-testi
• Varyans Analizi Tablosu
Anahtar Kavramlar Amaçlar›m›z
N N N N N
Biyoistatistik
• H‹POTEZ TESTLER‹NE G‹R‹fi
• H‹POTEZ TEST‹N‹N ADIMLARI
• ANA KÜTLE ORTALAMASINA
‹L‹fiK‹N H‹POTEZ TESTLER‹
• ANA KÜTLE ORANINA ‹L‹fiK‹N H‹POTEZ TESTLER‹
• VARYANS ANAL‹Z‹
‹statiksel Hipotez Testleri ve Varyans Analizi