Küçük standart sapma de¤erinin serideki terimlerin aritmetik ortalama etraf›nda yo¤unlaflt›¤›n› ve büyük bir standart sapma de¤erinin de terimlerin ortalamadan uzak bir yay›l›ma sahip oldu¤unun bir göstergesi olabilece¤i belirtilmiflti. Herhan-gi bir veri kümesinde, ilHerhan-gilenilen de¤iflkenin frekans da¤›l›m›n›n flekline bakmak-s›z›n (simetrik, sa¤a e¤ik veya sola e¤ik gibi) aritmetik ortalama de¤erinden belir-li bir standart sapma uzakl›kta yer alan birimlerin en küçük oran› P.L. Chebyshev taraf›ndan bir teorem yard›m›yla gösterilmifltir. Chebyshev teoremine göre birimle-rin %75’i aritmetik ortalamadan art› eksi 2 standart sapma aral›¤›nda de¤erler al-maktad›r. Herhangi bir veri seti için (örneklem veya ana kütle) aritmetik ortalama-dan k standart sapma uzakl›kta, k>1 olmak üzere, yer alacak terimlerin en düflük oran› 1-(1/k2) olur.
Bir süt ürünleri fabrikas›nda üretilen yo¤urtlar 500 gr.’l›k kutularda piyasaya sü-rülmektedir. Fabrika kalite kontrol sorumlusu, son 45 dakika içinde üretilen 500 gr.’l›k yo¤urtlardan 35 tanesini alarak tart›lmalar›n› istemifltir. Tart›lan yo¤urtla-r›n ortalamas› 502 gr. ve standart sapmas› da 1 gr. olarak hesaplanm›flt›r. Üretilen 500 gr.’l›k yo¤urtlar›n en az yüzde kaç› art› eksi 3,5 standart sapma aral›¤›nda yer almaktad›r?
Burada yo¤urt a¤›rl›¤› de¤iflkenin frekans da¤›l›m› hakk›nda hiç bir bilgi veril-memifltir. Da¤›l›m›n simetrik ya da asimetrik oldu¤u konusunda bir bilgi yoktur.
Dolay›s›yla çözüm için Chebyshev teoremi kullan›labilir. ‹stenen aral›k 3,5 standart sapma aral›¤› oldu¤u için teoreme göre yo¤urtlar›n en az,
%92’si 500 ± 3,5(1) aral›¤›nda yer almaktad›r.
1 1
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ istatistik ve say› teorisi üzerine yapt›¤› çal›flmalar ile tan›n›r. Rus matemati¤inin kurucusu olarak kabul edilir.
Ö R N E K 3 . 1 2
Frekans da¤›l›mlar›n›n ortalamas›n› hesapla-yabilmek.
Günlük yaflamda ortalama kavram›n› s›kl›kla du-yar›z. Ortalama bir üniversite mezununun ifl bul-ma süresi 2 ayd›r denildi¤inde, ifl bulbul-ma süresi de¤iflkeni için tipik bir de¤er oluflur. Tabii ki ki-fliden kifliye de¤iflen sürelerde ifl bulma gerçek-leflecektir, ancak verilen bu de¤er en az›ndan de¤iflken hakk›nda bir fikir edinmeyi sa¤laya-cakt›r. Farkl› de¤iflken tiplerine ve farkl› istekle-re göistekle-re farkl› ortalamalar hesaplanabilir. Art›k bir araflt›rmada ortalama sözcü¤ü ile karfl›lafl›rsa-n›z “Hangi ortalama?” sorusunu sormay› unut-may›n›z.
Frekans da¤›l›mlar›n›n de¤iflkenli¤ini yorumla-yabilmek.
Ortalama, ilgilenilen de¤iflkenler hakk›nda tipik bir de¤er elde etmemizi sa¤lasa da ilgilenilen
de-¤iflken içerisinde yer alan terimlerin ortalamadan olan uzakl›klar›n›n, di¤er bir ifadeyle verinin ge-nel de¤iflkenli¤inin bilinmesi gerekir. Ayn› öl-çüm birimi ile ölöl-çümlenmifl iki de¤iflken karfl›lafl-t›r›l›rken hem ortalama hem de de¤iflkenlik
de-¤erine ihtiyaç duyar›z.
Frekans da¤›l›mlar›n›n simetrisini anlayabilmek.
Araflt›rmada yer alan terimler simetrik bir frekans da¤›l›m›na sahip olabilirler. Simetrik da¤›l›mlar-da serinin aritmetik ortalamas›, modu ve medya-n›ndan daha çok ve daha az de¤ere sahip birim say›s› eflit ve %50’dir. Asimetrik da¤›l›mlarda ise ayn› oran geçerli de¤ildir.
Ortalama ve de¤iflkenlik ölçüleri yard›m›yla oranlar hesaplayabilmek.
Ortalamas› ve de¤iflkenli¤i bilinen de¤iflkenlerin genel de¤iflkenlikleri karfl›laflt›r›labilir. Baz› du-rumlarda karfl›laflt›r›lan de¤iflkenler ayn› ölçüm birimiyle ölçümlenmifl fakat ortalamalar› aras›n-da büyük farklar olabilir. Baz› durumlararas›n-da ise farkl› ölçüm birimleriyle ölçümlenmifl de¤iflken-lerin, örne¤in para ile ifle gelinmeyen gün say›s›, genel de¤iflkenlikleri karfl›laflt›r›lmak istenebilir.
De¤iflkenlik katsay›s› yard›m›yla bu ifllem yap›la-bilir. Di¤er problemlerde de terimlerin en az yüz-de kaç› aritmetik ortalamadan 2 standart sapma uzakl›ktad›r sorusunun cevab› ilgilenilen de¤ifl-kenin flekline bak›lmaks›z›n Chebyshev teoremi yard›m›yla hesaplan›r.
Özet
N
A M A Ç1N
A M A Ç2N
A M A Ç3N
A M A Ç41. 3, 6, 7, 8, 9, 11, 2, 8, 9 basit serisinin aritmetik
3. Yukar›da verilen grupland›r›lm›fl frekans serisinin medyan› kaçt›r?
4. Yukar›da verilen frekans serisinin modu kaçt›r?
a. 1 b. 4 c. 9 d. 11 e. 25
5. Son bir saatte her on dakikada bir yap›lan ölçümler-de %1, % 4, %7, %8, %11 ve %14 büyüdü¤ü gözlemle-nen bir organizma için ortalama büyüme oran›n›n geo-metrik ortalamas› kaçt›r?
6. Bir araflt›rmada 7 fleker hastas›n›n kanlar›ndaki se-rum kolesterol de¤erleri 55, 60, 81, 94, 100, 110 ve 120 olarak ölçülmüfltür. Buna göre, bu basit seri için de¤i-flim aral›¤› kaçt›r?
8. Bir araflt›rma sonucunda de¤iflken ortalamas› 27, medyan› 34 ve mod de¤eri de 45 olarak hesaplanm›flt›r.
Buna göre, bu de¤iflkenin frekans da¤›l›m›yla ilgili afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?
a. Simetrik frekans da¤›l›m›d›r.
b. ‹ki modlu frekans da¤›l›m›d›r.
c. Sa¤a e¤ik frekans da¤›l›m›d›r.
d. Sola e¤ik frekans da¤›l›m›d›r.
e. Kümülatif frekans da¤›l›m› hesaplanamaz.
9. Bir araflt›rmada aritmetik ortalama 45, medyan 42 ve varyans 25 olarak hesaplanm›flt›r. Bu de¤erlere göre, hesaplamalar› yap›lan de¤iflkenin frekans da¤›l›m› için Pearson e¤iklik katsay›s› kaça eflittir?
a. 0,60 b. 1,20 c. 1,80 e. 3 d. 4,11
10. Ayn› ölçüm birimi ile ölçümlenmemifl iki de¤iflke-nin de¤iflkenlik oranlar›n› karfl›laflt›rmak için afla¤›daki-lerden hangisi kullan›l›r?
Bir konserve bal›k üretim fabrikas› yöneticisi yaklafl-makta olan toplu sözleflme görüflmelerinde kullan›lmak üzere fabrikada çal›flanlar›n ortalama ücretlerinin tespit edilmesini istemifltir. Bu amaçla yönetici, fabrika perso-nel bölümünde çal›flmakta olan 3 görevliyi konu ile il-gili bilgilendirmifl ve ertesi sabah ortalama de¤eri he-saplamalar›n› istemifltir. Kendi aralar›nda anlaflan 3 per-sonel çifte kontrol olur düflüncesi ile ortalama de¤erini ayr› ayr› hesaplama karar›na varm›flt›r.
Ertesi sabah yönetici bu üç personeli ofisine ça¤›rm›fl ve ortalama ayl›k ücretin ne oldu¤unu sormufltur. Birin-ci personel ayl›k ortalama ücretin 3.400 TL oldu¤unu, ikinci personel 1.850 TL oldu¤unu belirtmifltir. Üçüncü personel ise iki adet ortalama buldu¤unu, bunlardan birincisinin yönetim kadrosunda yer alanlar›n ücret or-talamas› olan 4.550 TL ve iflçi kadrosunda yer alanlar›n 1.945 TL oldu¤udur. Üç personelde kendi hesaplad›kla-r› ortalaman›n en do¤ru ortalama oldu¤unu iddia et-mektedir.
Birinci personel aritmetik ortalamay› tespit etmifltir. Fa-kat az say›da olan yöneticiler ile çok say›da olan iflçile-ri birbiiflçile-rinden ay›rt etmeden bir ortalama hesaplam›flt›r.
Dolay›s›yla yüksek de¤erli yönetici ücretleri genel orta-lamay› yükseltmifltir.
‹kinci personel medyan de¤erini hesaplam›flt›r. Bu per-sonelde yöneticiler ve iflçiler ayr›m› yapmayarak tüm personelin küçükten büyü¤e s›ralanm›fl ücretlerine gö-re medyan yard›m› ile ortalama ücgö-reti bulmufltur.
Üçüncü personel ise bu problem için en uygun olabile-cek flekilde iki ortalama hesaplam›flt›r. Fabrikada iki farkl› grupta çal›flan oldu¤unu fark etmifl ve her grup için ayr› ayr› ortalama de¤erlerini hesaplam›flt›r.
Önüne sunulan farkl› ortalamalar› inceleyen yönetici toplu sözleflme görüflmelerine, bir sonraki problemde hangi ortalamay› istedi¤ini daha net bir flekilde ifade et-mesi gerekti¤ini düflünerek, üçüncü personelin verdi¤i ortalamalarla gitmifltir.
1. b Ortalama konusunu gözden geçiriniz.
2. d Medyan konusunu gözden geçiriniz.
3. d Medyan konusunu gözden geçiriniz.
4. a Medyan konusunu gözden geçiriniz.
5. e Merkezi e¤ilim ölçüleri konusunu tekrar ediniz.
6. d De¤iflkenlik ölçüleri konusunu tekrar ediniz.
7. a De¤iflkenlik ölçüleri konusunu tekrar ediniz.
8. d Frekans serilerinde simetri ve asimetri kavram›-n› tekrar gözden geçiriniz.
9. c Frekans serilerinde simetri ve asimetri kavram›-n› tekrar gözden geçiriniz.
10. d De¤iflkenlik katsay›s›n› tekrar okuyarak bir ör-nek çözünüz.