fleklinde yaz›l›r. Regresyon denklemi yard›m›yla arafl-t›rmac› gözlemledi¤i herhangi bir x de¤eri için y’nin alaca¤› de¤eri tahmin edebilir. Örne¤in x=12 olarak gözlemlenmifl ise y’nin tahmini,
olur. Benzer flekilde y’nin bir de¤eri için x de¤eri de tahmin edilebilir. Örne¤in y=12 için x’in modele gö-re beklenen de¤eri 12=2,835+0,433x → x=21,16 olur.
fiekil 8.5.’de problemin saç›l›m grafi¤i ve tahmin edi-len basit do¤rusal regresyon do¤rusu gösterilmifltir.
Regresyon do¤rusunun çizilebilmesi için gözlemle-nen y de¤erlerine karfl›l›k gelen regresyon denklemi tahmin de¤erlerinin tespit edilmesi gereklidir.
Tahminin Standart Hatas›
Tahminin standart hatas› kavram›n› inceleyebilmek için öncelikle regresyon anali-zinde ele al›nan toplam de¤iflkenli¤in bileflenlerini incelemekte fayda vard›r. Reg-resyon analizinde yiile y’lerin ortalamas› aras›ndaki fark toplam de¤iflim olarak adland›r›l›r. Bu de¤iflim miktar› iki bileflene kolayl›kla ayr›labilir. Bu bileflenler aç›klanabilen de¤iflim ve aç›klanamayan de¤iflim bileflenleridir. Aç›klanamayan
de-¤iflim olarak ifade edilirken, aç›klanabilen de¤iflim olacakt›r. Aç›kla-namayan de¤iflim i’inci gözlemin hata terimi olarak adland›r›l›rken, aç›klanan
de-¤iflim i’inci gözlemin regresyon denklemi taraf›ndan aç›klanan k›sm›n› temsil ede-cektir. Genel bir ifade ile toplam de¤iflim için,
Toplam de¤iflim = Aç›klanamayan de¤iflim + Aç›klanan de¤iflim
yaz›labilir. Toplam de¤iflim için oluflturulan bu yap› fiekil 8.6.’da sekiz birimlik bir regresyon problemi kullan›larak grafik üzerinde gösterilmifltir.
(yi-y = ) (yi-y + ˆ )i ( ˆyi-y)
( ˆyi-y) (yi-yˆ )i
y
ˆ , , , ( , )( ) ,
y = 2 835 + 0 433x = 2 835 + 0 433 12 = 8 03 31
ˆ , ,
y = 2 835 + 0 433x
a = y - bx = 5 - (0,433)(5) = 2,835
b x y
x
i i
i n
i i
= n -x -y
-x
= =
=
=
( )( )
( )
1 ,
2 1
26 60 0 43
∑
∑
33fiekil 8.5 Saç›l›m Grafi¤i ve Regresyon Do¤rusu
Bileflenlerine ayr›lan toplam de¤iflim kavram›ndan faydalanarak sapmalar›n ka-releri toplam›,
eflitlikleri yard›m›yla oluflturulur. Bu eflitli¤in sol taraf› toplam de¤iflkenlik ya da genel kareler toplam› (GKT) olarak ifade edilir. Eflitli¤in sa¤ taraf›nda yer alan ilk toplam de¤eri aç›klanamayan de¤iflkenliktir ve hata kareler toplam› (HKT) olarak adland›r›l›r. Eflitli¤in son bilefleni ise aç›klanan de¤iflkenliktir ve regresyon kareler toplam› (RKT) olarak adland›r›l›r. Bu ifadeleri kullanarak toplam de¤iflkenlik,
GKT = HKT + RKT
fleklinde ifade edilebilir. Toplam de¤iflkenli¤in bileflenlerine ayr›lmas›n›n en büyük faydas› hata kareler toplam› büyüklü¤ü bak›m›ndan gözlemlenen ve model yard›-m›yla hesaplanan de¤erler aras›ndaki uyumun iyili¤ine bakabilmesidir. E¤er mü-kemmel uyum var ise HKT=0 olacakt›r.
Regresyon denklemi için hesaplanacak olan regresyon denklemi de¤iflkenli¤i hata kareler toplam› de¤erinin serbestlik derecesine bölünmesi ile elde edilecektir.
y için tahmin de¤erleri belirlenmeden önce modelde yer alan iki parametrenin tah-min edilmesi gerekti¤inden burada serbestlik derecesi n-2 olacakt›r. Tahtah-minin standart hatas›,
eflitli¤i yard›m›yla hesaplan›r. Tahminin standart hatas› yorumlan›rken hatalar›n Normal da¤›ld›¤› varsay›m›ndan faydalan›labilir. Hat›rlan›rsa Normal da¤›l›mda
te-s n y HKT
rimlerin %68,30’u aritmetik ortalamadan bir standart sapma uzakl›kta yer alacaklar-d›r. Bu bilgi kullan›larak veri ile hesaplanan regresyon do¤rusu hakk›nda ç›karsa-ma yap›labilir. E¤er ayn› veri seti için iki adet regresyon do¤rusu hesaplan›lm›fl ise bu do¤rulardan daha küçük standart hataya sahip olan kullan›lmal›d›r.
Örneklem Regresyon Do¤rusunun Anlaml›l›k Testi
‹lgilenilen iki de¤iflken aras›ndaki do¤rusal iliflki için en küçük kareler tekni¤i ku-lan›larak bir regresyon do¤ru denklemi tahmini ifllemlerini buraya kadar yürüttük-ten sonra dikkatin “yide¤erlerini tahmin ederken x ba¤›ms›z de¤iflkeninin de¤er-lerini bilmenin gerçekten faydas› var m›d›r?” sorusunun cevab›n›n araflt›r›lmas›na verilmesi gerekmektedir. Örne¤in do¤runun e¤imini veren β katsay›s› 0’a eflit ise ya da istatistiksel olarak test edilerek 0’a eflit olarak bulunur ise modelden para-metrenin ç›kart›lmas› gerekecektir. Dolay›s›yla da x de¤iflkenine ihtiyaç kalmaya-cakt›r. Bu durumda ana kütle regresyon do¤rusu olacak flekilde düz bir do¤ru olacakt›r. E¤er β de¤eri 0’a eflit de¤ilse y’nin de¤erlerinin tahmininde x
de-¤iflkeni kullan›labilecektir. Bundan dolay› y’nin de¤erlerinin tahmininde regresyon do¤rusu kullan›m›n›n faydas› olup olmad›¤›n› görmek için β=0, s›f›r hipotezinin test edilmesi gerekir. Alternatif hipotez ise β’n›n 0’dan büyük ya da küçük olmas›-na göre kurulabilece¤i gibi genellikle β ≠ 0 olacak flekilde çift yönlü olarak kuru-lur. Hipotezler,
H0 : β = β0 H1 : β ≠ β0
fleklinde yaz›l›rlar. Testin yürütülmesinde t testi kullan›l›r. Ana kütle β de¤erini tah-min etmek için kulland›¤›m›z b regresyon katsay›s›n›n standart hatas›,
eflitli¤i yard›m›yla hesaplan›r. S›f›r hipotezini test etmek için hesaplanacak olan t istatisti¤i,
n-2 serbestlik derecesi ile belirli anlam düzeyine göre tablodan tespit edilen kritik de¤er ile karfl›laflt›r›lacakt›r.
β’n›n 0’a eflitli¤inin test edilmesinde kullan›labilecek bir baflka teknikte varyans analizi tablosu kullan›m›d›r. Aç›klanan ve aç›klanamayan de¤iflim de¤erleri kulla-n›larak test ifllemi yürütülebilir. Bu tekni¤in en büyük faydas› birden fazla ba¤›m-s›z de¤iflken olmas› durumuna kolayl›kla genellenebilmesidir. Daha önce detayla-r› verilen kareler toplamladetayla-r› yard›m›yla varyans analizi tablosu oluflturulur. Varyans analizi tablosu bileflenleri Tablo 8.5.’deki gibidir.
t b sb = - β0
s s
b e x
i i
= n
= -x 1
2 1( )
∑
ˆyi = y
H0: β = 0 hipotezinin testinde Tablo 8.5.’de gösterilen varyans analizi tablosun-dan faydalan›l›r. Regresyon kareler ortalamas› ile hata kareler ortalamas› oran› 1 ve n-2 serbestlik dereceleri ile F da¤›l›m›na sahiptir. Dolay›s›yla Tablo 8.5.’deki gibi bir tablonun kuruldu¤u regresyon problemlerinde belirli bir anlam düzeyi ve tab-loda belirtilen serbestlik dereceleri için F da¤›l›m› kritik de¤erler tablosundan elde edilecek kritik de¤er ile varyans analizi tablosundan hesaplanan F istatisti¤i karfl›-laflt›r›l›r. Varyans analizi tablosundan hesaplanan F istatisti¤i de¤eri F tablosundan elde edilen kritik de¤erden daha büyük ise H0hipotezi red edilir. F da¤›l›m› tab-losu farkl› anlam düzeyleri için kitap sonunda yer alan eklerde verilmifltir.
Kurulan regresyon modelinin ba¤›ml› de¤iflkenin ne kadarl›k bir k›sm›n› aç›k-lad›¤›n› belirlemek amac› ile belirlilik katsay›s› (R2) hesaplanabilir. Bu durumda belirlilik katsay›s› varyans analizi tablosu yard›m›yla,
eflitli¤iyle hesaplan›r. Toplam de¤iflimin aç›klanamayan k›sm› ise belirsizlik katsa-y›s› olarak adland›r›l›r ve 1-R2ile hesaplan›r. Belirsizlik katsay›s› yard›m›yla denk-lemde yer almayan de¤iflkenlerin ba¤›ml› de¤iflkenin ne kadarl›k bir oran›n› aç›k-lad›¤› gözlemlenebilir.
β’n›n 0’a eflit olup olmad›¤›n›n test edilmesine ek olarak β için güven aral›¤› da tespit edilebilir. Regresyon katsay›s› b için n-2 serbestlik derecesi ve sb standart sapmas› ile t da¤›l›m› uyumu bilindi¤ine göre ana kütle regresyon do¤rusu e¤imi β’n›n güven aral›¤›,
yard›m›yla hesaplan›r.
Bir iflletmede üretilmekte olan 50 cm.’lik tahta parçalar›n›n k›r›lma güçleri (y) ile tahta üzerine uygulanan güç (x) miktar› aras›ndaki iliflki araflt›r›lmaktad›r. Bu amaçla seçilen 10 tahta parças› için ölçümler al›narak regresyon modeli olufltu-rulmufltur. Model için hesaplanan varyans analizi tablosu Tablo 8.6.’da verilmifl-tir. Basit do¤rusal regresyon modeli anlaml›l›¤›n› test ederek modelin aç›klama de-recesini bulunuz. Anlaml›l›k düzeyi olarak %5 al›n›z.
b t - b ≤ ≤ + b b
1 ve 8 serbestlik dereceleri ile %5 anlam düzeyi için kritik F de¤erimiz tablo yard›m›yla 5,32 olarak elde edilir. Varyans analizi tablosunda yer alan hesaplanan F de¤eri 40,14 teorik F tablosundan elde edilen kritik de¤er 5,32’den büyük
oldu-¤u için modelin anlaml› olduoldu-¤u ya da ana kütle β katsay›s›n›n 0 olmad›¤› %95 gü-ven ile söylenir.
fiimdi belirlilik katsay›s›n› hesaplayal›m. Belirlilik katsay›s›,
olarak bulunur. Ba¤›ml› de¤iflkende meydana gelen de¤iflimin %83,38’i kurdu¤u-muz model yard›m›yla aç›klanabilmektedir.
Tablo 8.7.’de bir basit do¤rusal regresyon analizi için varyans analizi tablosu verilmifltir.
Belirlilik katsay›s›n› hesaplay›n›z.