Mann-Whitney U testi parametrik testlerden olan iki örneklem Student-t testinin parametrik olmayan teknikler aras›ndaki karfl›l›¤› olarak yer almaktad›r. Elde edi-len birbirinden ba¤›ms›z iki rassal örneklemin ayn› ana kütleden çekilmifl örnek-lemler olup olmad›klar›n›n testinde Mann-Whitney U Testi kullan›l›r. Oluflturula-cak s›f›r hipotezi iki ana kütlenin birbiri ile ayn› oldu¤u, yani elde edilen iki örnek-lemin ayr› ayr› ana kütlelerden de¤il tek bir ana kütleden elde edildi¤i yönünde-dir. Alternatif hipotez ise bu iki ana kütlenin ayn› olmad›¤›n› göstermek üzere ku-rulur. Mann-Whitney U testinin ilk aflamas› iki örneklemde yer alan bütün
birimle-Mann-Whitney U Testi: Elde edilen birbirinden ba¤›ms›z iki rassal örneklemin ayn›
ana kütleden çekilmifl
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Örneklem 1 10,40 11,15 10,44 11,25 12,44 13,10 11,12 10,78 11,45 11,45 Örneklem 2 10,48 11,25 10,21 11,55 10,50 12,78 11,89 11,02 11,99 12,05 Tablo 9.4.
Ba¤›ms›z ‹ki Örneklem ‹çin Gözlem De¤erleri
rin tek bir örneklem olarak ele al›narak birimlerin küçükten büyü¤e s›ralanmas› ifl-lemidir. E¤er iki örneklem ayn› ana kütleden gelmiyor ise örneklemlerden elde edilen birimler bu yeni veri setinin bir bölgesinde toparlanacakt›r (örne¤in bir grup üst uçta yer al›rken di¤er grup alt uçta yer alacakt›r). U istatisti¤i hesaplamas› için bir örneklemden elde edilen de¤erlerin di¤er örneklemden elde edilen de¤erden kaç kez daha az de¤er ald›¤›n›n say›lmas› gerekir. E¤er sayma sonucu, s›f›r hipo-tezinde belirtilen de¤erden çok daha düflük veya çok daha büyük ise bu örnek-lemlerin farkl› ana kütlelerden geldikleri istatistiksel karar› verilecektir.
Örne¤in, bir iflletmede yeni oluflturulan yemek tarifi içerisinde iki farkl› gizli materyal kullan›lm›flt›r. Bu materyallerin yeme¤in lezzetini farkl›laflt›rd›¤› düflünül-mektedir. A ve B yemek uzmanlar›ndan oluflan iki farkl› grup bu yemekleri tatm›fl ve yeme¤in lezzeti için 100 üzerinden bir de¤erlendirme yapm›flt›r. Tablo 9.5.’de sonuçlar verilmifltir.
U istatisti¤ini hesaplayabilmek için A grubunda yer alan bir gözlemin B grubun-daki bir gözlemden kaç kez daha az de¤er ald›¤›n› tespit etmek gerekir. Bu sayma sonucunu TAolarak adland›ral›m. Bu ifllemi gerçeklefltirebilmek için iki örneklem tek örneklem gibi bir tabloda birlefltirilerek her gözlemin alt›na ait olduklar› grup ve s›ra numaras› de¤erleri yaz›l›r. ‹lgili de¤erler Tablo 9.6.’da oluflturulmufltur.
TA say›s›n› belirleyebilmek için B grubu gözlemlerine odaklan›lmas› gerekir.
Her B puan› de¤erinden önce ortaya ç›kan A grubu puan de¤erleri say›l›r.
Örne-¤in, B grubunun 65 puan de¤erinden önce 5 adet A grubu puan de¤eri yer almak-tad›r. Benzer flekilde B grubunun 65’ den sonraki ilk de¤erleri olan 77, 80 ve 80 de¤erlerinden önce 9 adet A grubu puan de¤eri bulunmaktad›r. S›ralaman›n so-nunda yer alan 6 adet B puan de¤erinden önce 11 tane A grubu puan de¤eri yer almaktad›r. Bu bilgiler sonucunda,
TA = 5 + 3 (9) + 6 (11) = 98
olacakt›r. Testin ikinci aflamas›nda TB de¤eri hesaplan›r. fiimdi B grubunda yer alan gözlemlerin kaç adet A grubu puan de¤erinden daha az de¤er ald›¤› say›l›r.
Tablo 9.6.’daki veri için, TB = 4 (1) + 2 (4) + 10 = 22
olur. Mann-Whitney U istatisti¤inin de¤eri (TA, TB) ikilisinin küçük olan› olacakt›r.
Dolay›s›yla örneklemler ne kadar birbirine benzer ise U’nun de¤eri de o kadar
bü-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grup A 55 59 61 64 64 70 73 75 76 82 83 95
Grup B 65 77 80 80 84 86 88 91 91 93
Tablo 9.5.
Gizli Yemek Bilefleni Lezzet De¤erleri
S›ra No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Lezzet puan› 55 59 61 64 64 65 70 73 75 76 77
Grup A A A A A B A A A A B
S›ra No 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Lezzet puan› 80 80 82 83 84 86 88 91 91 93 95
Grup B B A A B B B B B B A
Tablo 9.6.
Mann-Whitney U Testi ‹çin Veri S›ralamas›
yüyecektir. U’nun de¤eri yanl›zca iki grupta yer alan puanlar›n s›ras›na ba¤l› ola-ca¤›ndan U’nun farkl› de¤erleri için olas›l›klar belirlenebilir. Ünite sonunda küçük örneklemler için haz›rlanm›fl Mann-Whitney U testi için kritik de¤er tablolar› bu-lunmaktad›r. Bu aflamaya kadar ele ald›¤›m›z örnek olayda Mann-Whitney U ista-tisti¤i de¤eri (98,22) ikilisinden küçük olan 22’ye eflittir. Birinci grupta 12 ve ikinci grupta 10 birim için %5 anlam düzeyine göre kritik U de¤eri 29’a eflittir. Hesapla-nan 22 de¤eri kritik de¤er olan 29 de¤erinden daha küçük oldu¤u için s›f›r hipo-tezi red edilir. ‹ki grubun verdi¤i puanlar aras›nda fark vard›r alternatif hipohipo-tezi ka-bul edilir.
Bu aflamaya kadar ele al›nan ifllemlerde dikkat edilirse örneklemlerde yer alan birim say›lar› küçük de¤erlerdir. Örneklemler de yer alan birim say›s› artt›¤›nda ifl-lemlerde zorluklar ortaya ç›kmaktad›r. Bu zorluklarla bafla ç›kabilmek için tüm (nA + nB) gözlemlerinin birlefltirilmifl s›ra numaralar› ile ifllemler yürütülebilir. E¤er rA, A grubunun s›ra de¤erleri toplam› ve rBde B grubunun s›ra de¤erleri toplam› ise,
ve
olur. Burada üzerinde durulmas› gereken nokta bu hesaplamalar›n örneklem büyüklü¤üne bak›lmaks›z›n yap›labiliyor olmas›d›r. Ayr›ca hangi örneklemin A hangisinin B olarak seçildi¤ininde bir önemi olmamaktad›r. Tablo 9.6.’da verilen de¤erlerden faydalanarak A grubu s›ra numaralar› toplam›,
rA=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 14 + 15 + 22 = 100 olarak hesaplanabilir. Bu de¤erden yola ç›karak,
olarak hesaplan›r. U’nun kritik de¤erleri tablosu örneklem büyüklü¤ü en çok 20 olacak flekilde düzenlenmifltir. nAya da nB20’den büyük oldu¤unda ve iki örnek-lem büyüklü¤ü birbirinden çok farkl› olmad›¤›nda U’nun örnekörnek-leme da¤›l›m› Nor-mal da¤›l›m yard›m›yla incelenebilir, Mann-Whitney U istatisti¤ini standartlaflt›r-mak için,
kullan›l›r. Buradaki,
ve
eflitlikleri ile hesaplan›r. Hesaplanan z istatisti¤i Normal e¤ri alt›nda kalan alan tab-losu yard›m›yla bulunan kritik de¤er ile karfl›laflt›r›larak karar verilir.
T n n
n n A A B r
A A
= + + A
( )− , 1 2
TB=n nA B−TA
T T
A
B
= + − =
= − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 10 12 13
2 100 98
12 10 98 22
z U E U U
= −
σ
E U n nA B
= 2 E U n nA B
= 2
Genetik olarak üzerinde deneyler yürütülen bir bitkinin yaprak büyüklükleri gü-nefl ›fl›¤› alt›nda ve gölgede büyüyen bitkiler kullan›larak ölçülmüfltür. Gügü-nefl
›fl›-¤› alt›nda ya da gölgede büyüme aras›nda bir fark olup olmad››fl›-¤›n› %5 anlam dü-zeyinde test ediniz.
Ölçüm sonuçlar›n›n ana kütle bilgisi bulunmamaktad›r ve örneklem
büyüklü-¤ümüzde küçüktür. Dolay›s›yla bu problemde Mann-Whitney U testini kullan›l-mas› mümkündür. Öncelikle veriyi tek bir tabloda toplayarak s›ra numaralar›n›
olufltural›m.
fiimdi s›ra say›s› toplamlar›n› hesaplayal›m. Günefl ›fl›¤› de¤erlerine göre ifllem-leri yürütebiliriz. Tablo 9.8. yard›m›yla,
rGI= 4 + 5 + 6 + 7 + 11 + 12 = 45
ve
olarak hesaplan›r. Mann-Whitney U testi kritik de¤erler tablosundan %5 anlam dü-zeyine göre hesaplanan kritik de¤er 5’e eflittir. Hesaplanan (12,24) ikilisinden kü-çük olan 12 de¤eri kritik de¤er olan 5’ten daha büyüktür. Dolay›s›yla s›f›r hipote-zi kabul edilir. Yaprak boylar›nda bitkinin bulundu¤u ortamdaki ›fl›k durumunun bir etkisi bulunmamaktad›r.