Tan›mlay›c› ‹statistikler

=

∑

⁼

x x x

N

x N

N i i

N

1 2 1

x

Tan›mlay›c› ‹statistikler

Örneklem, ana kütleyi temsil etmek üzere ana kütleden rassal olarak elde edilen, ana kütlenin küçük bir parças›d›r.

E¤er x₁, x₂, ..., x_nilgilenilen de¤iflken için elde edilen n birimlik örneklem so-nuçlar› ise örneklem aritmetik ortalamas› , izleyen eflitlik yard›m›yla hesaplan›r.

Frekans serilerinin aritmetik ortalamas› hesaplan›rken her sat›rda yer alan fre-kanslar›n dikkate al›nmas› gerekir. Bu nedenle her sat›rda yer alan frekanslar ile gözlem de¤erleri çarp›l›r ve daha sonra bu çarp›mlar›n toplam› ele al›n›r. Fre-kans serilerinde ana kütle ve örneklem ortalamalar› hesab›nda kullan›lan eflitlik-ler s›ras›yla,

olacakt›r. Eflitliklerde yer alan f_i de¤erleri birbirinden farkl› olarak ortaya ç›kan gözlemlerin frekanslar› olacakt›r. Grupland›r›lm›fl frekans serileri için aritmetik or-talama hesab›nda ise öncelikle grupland›r›lm›fl frekans serisine yeni bir sütun ek-lenir. Bu sütun elemanlar› her s›n›f›n orta noktas› olur. S›n›f orta noktas› s›n›f›n üst s›n›r› ile alt s›n›r›n›n toplan›p ikiye bölünmesi ile elde edilir. Daha sonra bu sütun-da yer alan de¤erler gözlem de¤erleriymifl gibi düflünülerek frekans serilerindeki eflitlikler yard›m›yla hesaplama yap›l›r. Grupland›r›lm›fl frekans serilerinde hesap-lanan aritmetik ortalama de¤eri yaklafl›k bir de¤er olacakt›r. Unutulmamal›d›r ki grupland›r›lm›fl frekans serilerinde her s›n›f bir de¤er ile de¤il bir aral›k ile temsil edilmektedir. Dolay›s›yla aritmetik ortalamay› hesaplamak için her s›n›f›n orta nok-tas›n›n al›nmas› bir miktar bilgi kayb›na yol açacakt›r. Bu bilgi kayb› aritmetik or-talaman›n yaklafl›k bir de¤er olarak ortaya ç›kmas›na sebep olur. Gerçek araflt›rma-larda mümkün oldu¤unca ortalama hesab›nda grupland›r›lm›fl frekans serisi yerine verinin orijinal halinin kullan›lmas› daha do¤ru olacakt›r.

Aritmetik ortalaman›n hesaplanmas› ve yorumlanmas› çok kolay oldu¤u için s›kl›kla kullan›l›r. Ancak aritmetik ortalaman›n bir dezavantaj› bulunmaktad›r. Arit-metik ortalama seride var olabilecek ayk›r› de¤erlerin etkisinden kurtulamaz ve olumsuz sonuçlar verebilir. Örne¤in 3 birimlik bir ana kütlede birimler 30, 50 ve 70 de¤erlerini al›yor ise ana kütle ortalamas› 50’dir. Varsayal›m, araflt›rma yürütü-lürken son gözlem de¤eri 70 yerine 130 olarak kay›t alt›na al›ns›n. Verinin bu ye-ni durumu için ana kütle ortalamas› 70 olacakt›r. Görüldü¤ü gibi serideki bir tek de¤er bile aritmetik ortalama de¤erinin hemen yükselmesine ve dolay›s›yla aritme-tik ortalaman›n bu seri için temsil gücünün azalmas›na neden olur. Bu nedenle uy-gulamada aritmetik ortalama d›fl›nda hesaplanabilecek ve bu problemden etkilen-meyen ortalama di¤er ortalama türlerini kullanmak do¤ru olacakt›r.

Bir ana kütlede 20 adet birim bulunmaktad›r. Bu birimlerin bir F de¤iflkeni için ölçüm sonuçlar› izleyen basit seride verilmifltir. Ana kütle aritmetik ortalamas›n›

basit seri ve frekans serisi eflitlikleri yard›m›yla hesaplay›n›z.

Verilen seri basit seridir. Buna göre; aritmetik ortalama, µ =

∑

^{= f x}

N

i i i N

1 x f x

n

i i i n

=

∑

⁼₁

x x x x

n

x n

n i i i

n

...

= + + +

=

∑

⁼

1 2

x

1 1 1 2 2

2 2 3 3 3

3 3 3 3 4

4 4 5 5 6

Ö R N E K 3 . 1

olur. fiimdi basit seriyi, frekans serisi fleklinde düzenleyerek aritmetik ortalamay›

hesaplayal›m. Frekans serilerinde aritmetik ortalama hesaplanmak için sat›rlardaki gözlem de¤erlerinin ilgili sat›r frekans› ile çarp›lmas› gerekmektedir. ‹zleyen tablo-da çarpma sonuçlar› tablo-da gösterilmektedir.

Frekans serisinin aritmetik ortalama eflitli¤i yard›m›yla, aritmetik ortalama,

fleklinde hesaplan›r.

‹zleyen tabloda verilen grupland›r›lm›fl frekans serisi için ana kütle aritmetik orta-lamas› µ’yü hesaplay›n›z.

Grupland›r›lm›fl frekans serilerinde öncelikle her s›n›f›n orta noktas› belirlene-rek bir sütunda gösterilir. Daha sonra bu orta nokta de¤erleri ile ilgili s›n›f fbelirlene-rekans- frekans-lar› çarp›larak yeni bir sütun oluflturulur. ‹zleyen tabloda bu ifllemler gösterilmifltir.

µ =

∑

^{= f x} = = N

i i i N

1 60

20 3 µ ...

...

= + + +

= + + + =

x x x

N

n

1 2 1 5 6

20

600 20 =3

A¤›rl›k Frekans Orta De¤er Orta de¤er x Frekans

0 - 50 3 25 25 x 3 = 75

50 - 100 5 75 75 x 5 = 375

100 - 150 9 125 125 x 9 = 1.125

150 - 200 2 175 175 x 2 = 350

200 - 250 1 225 225 x 1 = 225

Toplam 20 ∑f_ix_i = 2.150

A¤›rl›k Frekans

0 - 50 3

50 - 100 5

100 - 150 9

150 - 200 2

200 - 250 1

Toplam 20

Gözlem De¤eri Frekans Gözlem De¤eri x Frekans

1 3 1 x 3 = 3

2 4 2 x 4 = 8

3 7 3 x 7 = 21

4 3 4 x 3 = 12

5 2 5 x 2 = 10

6 1 6 x 1 = 6

Toplam 20 ∑f_ix_i= 60

Ö R N E K 3 . 2

Frekans serilerinin ana kütle ortalama eflitli¤i yard›m›yla, bu veri setinin aritmetik ortalamas›,

olur.

‹zleyen tabloda verilmifl grupland›r›lm›fl frekans serisi için ana kütle aritmetik ortalama-s›n› hesaplay›n›z.

Medyan

Terimleri küçükten büyü¤e s›ralanm›fl bir seride, serinin tam ortas›nda yer alan te-rimin ald›¤› de¤ere medyan ya da ortanca ad› verilir. Medyan de¤eri hesaplan›r-ken seride yer alan tüm terimlerin de¤eri de¤il yaln›zca küçükten büyü¤e s›ralan-m›fl serinin tam ortas›ndaki terimin de¤eri ile ilgilenilmektedir. Bu özelli¤inden do-lay› medyan, serinin uçlar›nda yer alan ayk›r› de¤erlerden etkilenmeyecektir. Veri içerisinde az say›da ayk›r› de¤er bulunmas› durumunda aritmetik ortalamaya göre tercih edilen bir ortalamad›r. Basit ve frekans serilerinde medyan de¤eri hesapla-mas› yapabilmek için öncelikle serinin tam ortas›nda yer alan terimin s›ra numara-s›n›n belirlenmesi gerekir. Seride yer alan terim say›numara-s›n›n tek say› ya da çift say› ol-mas› durumu medyan de¤erinin hesaplanol-mas›na etki yapmaktad›r.

Basit veya frekans serilerinde medyan de¤erine sahip olan terimin s›ra numa-ras›n› tespit etmek için, analizde yer alan birim say›s› olmak üzere, (n+1)/2 kulla-n›l›r. Seride yer alan terim say›s› tek say› ise (1, 3, 5 vb.) ç›kan sonuç bize medyan de¤erini verecek olan terimin s›ra numaras›n› verecektir. Bu terim serinin tam or-tas›ndaki terim olacakt›r. Örne¤in seride 5 adet gözlem de¤eri varsa medyan de¤e-ri, (5+1)/2=3, üçüncü terimin ald›¤› de¤er olacakt›r. Ancak seride yer alan terim sa-y›s› çift say› ise (2, 4, 6 vb.) medyan de¤eri serinin tam ortas›nda yer alan iki teri-min ortalamas› olarak al›nacakt›r. Örne¤in seride 8 adet gözlem de¤eri varsa med-yan de¤erini bulmak için hesaplanan medmed-yan terimi s›ra numaras›, (8+1)=4,50 ola-cakt›r. Bu tür durumlarda hesaplanan s›ra numaras›n›n bir üst ve bir alt de¤erine eflit s›ra numaras›ndaki terimlerin ald›klar› de¤erlerin aritmetik ortalamas› medyan de¤eri olur. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, (n+1)/2 medyan›n kendisini de¤il medyan olarak kullan›lacak de¤erin serideki s›ra numaras›n› vermesidir. Fre-kans serilerinde medyan s›ra numaras› belirlendikten sonra kümülatif freFre-kanslar sütunu oluflturularak ilgili s›ra numaras›na sahip terimin tespiti kolaylaflt›r›l›r.

Grupland›r›lm›fl frekans serilerinde medyan› hesaplamak daha zordur. Medyan için kesin bir de¤er hesaplanmas› bu durumda tam olarak mümkün de¤ildir. Grup-land›r›lm›fl frekans serilerinde medyan›n hangi s›n›fta oldu¤u bilinir. Ortaya ç›kan problem bu s›n›f içerisinde medyan›n konumunun belirlenmesidir. Medyan

de¤e-µ .

SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE

AMAÇLARIMIZ

ri “ilgili s›n›f›n alt limiti, üst limiti, tam ortas› veya bir baflka de¤er midir?” sorusu-nun cevab› aranarak grupland›r›lm›fl frekans serilerinde medyan hesaplan›r. Grup-land›r›lm›fl frekans serilerinde medyan de¤eri için izleyen eflitlik kullan›l›r.

Eflitlikte,

• L; medyan› içerdi¤i düflünülen medyan s›n›f›n›n alt limitini,

• c; medyan s›n›f›n›n s›n›f aral›¤›n›,

• f_m; medyan s›n›f›n›n frekans›n›,

• n; toplam terim say›s›n›,

• f_k; medyan s›n›f›ndan önce yer alan kümülatif frekans›

gösterir. Verilen eflitlik incelendi¤inde, eflitli¤in çözülebilmesi için medyan s›n›f›-n›n belirlenmesi gerekir. Grupland›r›lm›fl frekans serilerinde medyan s›n›f› (n/2)’

inci gözlemin yer ald›¤› s›n›ft›r. Kümülatif frekans da¤›l›m› yard›m›yla n/2 de¤eri hesaplan›r ve bu s›ra numaras›na sahip terimin yer ald›¤› s›n›f medyan s›n›f› olarak belirlenir. Örnek 3.5.’de grupland›r›lm›fl frekans serisinin medyan hesab› yer al-maktad›r.

Bir test sonucunda elde edilen gözlem sonuçlar› 80, 84, 89, 90, 68, 75, 78, 79, 94 olarak verilmifltir. Bu serinin medyan› kaçt›r?

Seride 9 terim bulunmaktad›r, ilk olarak seri küçükten büyü¤e s›ralan›r. S›ral›

serimiz

68, 75, 78, 79, 80, 84, 89, 90, 94

olur. Medyan de¤erini bulmak için gerekli medyan s›ra numaras› bu örnekte (9+1)/2= 5 olacakt›r. Dolay›s›yla küçükten büyü¤e s›ral› serideki beflinci terimin

de-¤eri medyan dede-¤eridir. Bu veri setinde soldan sa¤a sayarsak beflinci terimin ald›¤›

de¤er 80’dir. Dolay›s›yla bu veri setinin medyan› 80’dir. Yukar›daki veri setine 92 de¤erine sahip bir gözlem daha eklensin. Eklenen bu yeni de¤er ile veri seti,

68, 75, 78, 79, 80, 84, 89, 90, 92, 94

olur. Terim say›s› 10, çift say›d›r. Bu serinin medyan s›ra numaras› (10+1)/2=5,50’dir.

Bu s›ra numaras›n›n anlam›, küçükten büyü¤e dizili serideki beflinci ve alt›nc› rimlerin de¤erlerinin aritmetik ortalamas›n›n medyan olaca¤›d›r. Seride beflinci te-rim de¤eri 80 ve alt›nc› tete-rim de¤eri 84 oldu¤undan bu yeni serinin medyan de¤e-ri (80+84)/2= 82 olur.

Afla¤›da verilen frekans serisi için medyan de¤eri kaçt›r?

Medyan L c

f

n f

m

= +  − k









2 

Uzunluk (mm) Frekans

10 1

30 4

50 6

70 3

90 2

Toplam 16

Ö R N E K 3 . 3

Ö R N E K 3 . 4

Bu veri setinde terim say›s› 16, çift say›d›r. Medyan terimi s›ra numaras›

(16+1)/2=8,50 olur. Küçükten büyü¤e s›ral› olan bu seride sekizinci ve dokuzun-cu terimlerin de¤erlerini bulmak gerekir. Bu terimleri tespit etmek için tabloya kü-mülatif frekans de¤erleri eklenir. Afla¤›da kükü-mülatif frekanslar verilmifltir.

Kümülatif frekanslara göre ilk 5 terim 10 veya 30 de¤erini almaktad›r. 6. Terim-den, 11. terime kadar olan terimler ise 50 de¤erini almaktad›r. 8 ve 9’uncu terim-ler bu aral›kta yer ald›¤›ndan medyan de¤eri de 50 olacakt›r.

Afla¤›da verilen grupland›r›lm›fl frekans serisi için medyan de¤erini hesaplay›n›z.

Öncelikle medyan s›n›f› belirlenir. Toplam 34 adet hasta oldu¤una göre 34/2=17 olarak bulunur. Dolay›s›yla grupland›r›lm›fl frekans serisinde yer alan 17’inci teri-min yer ald›¤› s›n›f medyan s›n›f› olacakt›r. Kümülatif frekanslar yard›m›yla ilk 9 gözlemin ilk iki s›n›fta yer ald›¤› gözlemlenmektedir. 10’uncu terimden 23’üncü te-rime kadar olan terimler ise 8 - 10 s›n›f›nda yer almaktad›r. 17’de bu aral›kta yer ald›¤›ndan medyan s›n›f›, 8 - 10 s›n›f›d›r. Grupland›r›lm›fl frekans serilerinde med-yan hesab› için verilen eflitlikte bilinmeyen de¤erleri tablo yard›m›yla tespit ederek yerine koyarsak, ilgilenilen bu grupland›r›lm›fl frekans serisinde medyan de¤eri,

eflitli¤i yard›m›yla,

olarak hesaplan›r.

Medyan = +  − ,









=

8 2

14 34

2 9 9 143

Medyan L c

f

n f

m

= +  − k









2 

Hemoglobin (g/dl) Hasta Say›s› Kümülatif Frekans

4 - 6 2 2

6 - 8 7 9

8 - 10 14 23

10 -12 6 29

12 - 14 5 34

Toplam 34

Uzunluk (mm) Frekans Kümülatif Frekans

10 1 1

30 4 5

50 6 11

70 3 14

90 2 16

Toplam 16

Ö R N E K 3 . 5

Mod

Bir seride en çok tekrarlanan terimin de¤erine mod denir. Hesaplanmas› en kolay ortalama türüdür. Bir seride 2 adet en çok tekrarlanan terim söz konusu ise bu tür seriye çift modlu seri denir. 2’den daha fazla terimin en çok tekrar say›s›na sahip olmas› durumunda ise bu seride modun temsili bir ortalama olmayaca¤› belirtile-rek uygun bir di¤er ortalama hesaplan›r. Grupland›r›lm›fl fbelirtile-rekans serilerinde mod bir tek gözlem de¤erine karfl›l›k gelmez. Bunun yerine bir s›n›fa karfl›l›k gelir. En yüksek frekansa sahip s›n›f mod s›n›f› olarak adland›r›l›r. Daha sonra mod s›n›f›

yard›m›yla grupland›r›lm›fl frekans serisinin mod de¤eri hesaplan›r. Grupland›r›l-m›fl frekans serisinde mod hesab› için,

eflitli¤i kullan›l›r. Eflitlikte

• S_alt; Mod s›n›f›n›n alt limitini,

• f_m-1; Mod s›n›f›n›n frekans› ile bu s›n›ftan önceki s›n›f›n frekans› aras›ndaki mutlak fark›,

• f_m+1; Mod s›n›f›n›n frekans› ile bu s›n›ftan sonraki s›n›f›n frekans› aras›nda-ki mutlak fark›,

• c; s›n›f aral›¤›n›

temsil etmektedir.

Bir araflt›rmada ilgilenilen de¤iflkenin ald›¤› 10 de¤er 7, 9, 11, 11, 11, 14, 14, 16, 16, 17 olarak ortaya ç›km›flt›r. Bu basit seride en çok tekrar say›s›na 3 tekrar ile 11 de¤eri sahip oldu¤undan bu basit serinin modu 11’dir. Bu araflt›rmada daha faz-la gözlemin elde edildi¤i ve affaz-la¤›daki grupfaz-land›r›lm›fl frekans serisinin oluflturul-du¤u varsay›ls›n. Mod de¤erini tekrar hesaplayal›m. Yeni veriler ile haz›rlanan grupland›r›lm›fl frekans serisi afla¤›da verilmifltir.

En yüksek frekans 12 -16 s›n›f› içindir. Mod s›n›f› bu s›n›f olarak al›nmal›d›r. ‹s-tenen mod de¤eri eflitlik yard›m›yla,

olur.

Belgede TC. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 1932 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 1013 B YO STAT ST K (sayfa 45-51)