Belirli bir özelli¤i tafl›yan/tafl›mayan birimlerin belirlenmesi ve say›s›n›n belirlen-mesi gereken durumlarda kulan›l›r. Örne¤in üretim hatt›ndan al›nan bir ürün iyi ya da kötü olarak s›n›flanabilir, insanlar hasta veya sa¤l›kl› olarak s›n›flanabilir. Bun-lara benzer flekilde sonuçlar› iki kategoride toplanan de¤iflkenler ile çal›fl›l›rken Bi-nom da¤›l›m›ndan faydalan›l›r. Araflt›rmada ilgilenilen de¤iflkende ortaya ç›kan bu ikili sonuçlar, sayma yoluyla belirlenerek edilerek, oranlar fleklinde ifade edilirler.
De¤iflkenin alabilece¤i en fazla iki adet sonuç oldu¤u için bu oranlar›n toplam› 1’e eflit olur. Araflt›rmada de¤iflkenin ilgilenilen sonucunun ortaya ç›kma olas›l›¤› p,
di-¤er sonucun ortaya ç›kma olas›l›¤› ise q (q= 1 - p) ile ifade edilir. n adet ölçüm so-nucunda x adet istenen durum ortaya ç›kmas› olas›l›¤›n› hesaplayabilmek için, Bi-nom da¤›l›m›n›n olas›l›k fonksiyonu kullan›l›r. Buna göre, bir X rassal de¤iflkeni Binom da¤›l›m›na sahip ise, bu de¤iflken için olas›l›k fonksiyonu;
P(x)= nCxPxqn-x , x= 0,1,2,...,n
= 0 , di¤er x de¤erleri için olarak verilir.
Eflitlikte;
n: Deneme say›s›,
p: Tek bir denemede istenen durumun ortaya ç›kma olas›l›¤›,
q= 1-p: Tek bir denemede istenmeyen durumun ortaya ç›kma olas›l›¤›, x: n denemede istenen durumun görülme say›s›d›r. Bu fonksiyon yard›m›yla, il-gilendi¤imiz X de¤iflkeninin sonuçlar›n›n ortaya ç›kma olas›l›klar›n› hesaplamak mümkün olur. Burada, n denemedeki istenen durum say›s›, n ve p parametreleriy-le Binom da¤›l›m›na sahip bir rassal de¤iflkendir.
‹lgilenilen araflt›rma de¤iflkenin anakütle oran› Π ile gösterilir. Çekilen örnek-lem oran›n›n bu ana kütle oran› ile ayn› olup olmad›¤›n› belirörnek-lemek için hipotez testi yürütülmesi gerekir. Araflt›rma da beklenti p=Π olmas›d›r. p ile Π aras›nda ortaya ç›kan fark›n istatistiksel olarak anlaml› bir fark olup olmad›¤›n›n testi hipo-tez testi yard›m›yla yürütülür. Baz› durumlar da p=q=0,50 olabilir, bu tür durum-larda örneklem büyüklü¤üne göre iki farkl› yöntem izlenmektedir.
D( , ) ,
, 0 05 1 36
3366
0 024
= =
S O R U
D ‹ K K A T SIRA S‹ZDE
DÜfiÜNEL‹M
SIRA S‹ZDE
S O R U
DÜfiÜNEL‹M
D ‹ K K A T
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T
1
Pazartesi Sal› Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Toplam
Gözlemlenen
Sat›fl 165 170 160 165 163 145 138 1.106
Tablo 9.3.
Haftan›n Günlerine Göre Müflteri Da¤›l›m›
n ≤ 25 ‹çin Binom Testi
Araflt›rmada elde edilen örneklem büyüklü¤ü 25 ya da daha az gözlemden oluflu-yor ise ve ilgilenilen de¤iflken sonucu olas›l›¤› 0,50 ise ünite sonunda yer alan bi-nom da¤›l›m› tablosu yard›m›yla olaylar›n ortaya ç›k›fl olas›l›klar› hesaplanabilir.
E¤er bir araflt›rmada 12 gözlem var ve ilgilenilen de¤iflken sonucundan 4 veya da-ha az gözlenme olas›l›¤›n›n bulunmas› isteniyor ise x’in 0,1,2,3,4 için ald›¤› de¤er-ler Binom olas›l›k fonksiyonu yard›m›yla hesaplanarak toplanacakt›r. Bu zaman al›c› bir ifllemdir. Bu hesaplamalar›n yerine n ≤ 25 oldu¤u durumlar için olas›l›k
de-¤erleri hesaplanarak ünite sonunda yer alan Binom da¤›l›m› tablosunda sunulmak-tad›r. Tablodaki olas›l›klar yard›m›yla hipotez testi yap›labilir. ‹lgilenilen de¤iflken üzerinde herhangi bir faktörün etkisinin olup olmad›¤› hipotez testi Binom da¤›l›-m› yard›da¤›l›-m›yla yap›labilir. Araflt›rma probleminden elde edilen olas›l›k de¤eri arafl-t›rmac› taraf›ndan belirlenen anlam düzeyi (α) ile karfl›laflt›r›l›r. Anlam düzeyi problem için hesaplanan olas›l›ktan küçük ise ilgilenilen faktörün etkisinin olma-d›¤›, anlam düzeyi problem için belirlenen olas›l›¤a eflit veya daha büyük ise ilgi-lenilen faktörün etkili oldu¤u karar›na var›l›r.
Bir çikolata fabrikas› yeni üretmeye bafllad›¤› çikolata paketlerinin rengini belirle-mek istebelirle-mektedir. Bu amaçla bir ilkö¤retim okulundan 15 ö¤renci rassal olarak belirlenmifltir. Yöneticiler ö¤rencilerin k›rm›z› renkli paketleri tercih edece¤ini dü-flünmektedir. K›rm›z› ve mavi renkli iki paket haz›rlat›larak ö¤rencilere gösteril-mifltir. Ö¤rencilerden 9 tanesi k›rm›z› renkli paketi seçerken 6 tanesi mavi paketi seçmifltir. Buna göre mavi renkli paket seçimi oran› k›rm›z› renkli paket seçimi oran›ndan küçük müdür? %5 anlam düzeyinde istatistiksel karar› veriniz.
Bu problemde mavi ve k›rm›z› renkli paketler olmak üzere 2 sonuç
bulundu-¤undan Binom testi ile aranan sonuç araflt›r›l›r. Çözüm için hipotez testi izleyen ad›mlarla yürütülür.
Ad›m 1. Hipotezlerin ifade edilmesi:
H0: Paket rengi ö¤rencilerin tercihini etkilememektedir.
H1: Mavi renkli paket seçim oran› (p) k›rm›z› renkli paket seçim oran›ndan (q) küçüktür. Aradaki fark ö¤rencilerin renk tercihi ile aç›klanabilir.
Ad›m 2. ‹statistiksel test: Araflt›rmadaki veriler sayma yolu ile elde edilmifl ve iki grupta toplanm›flt›r. Binom da¤›l›m›na uygun da¤›l›m göstermektedir.
Ad›m 3. Anlaml›l›k düzeyi: Anlaml›l›k düzeyi α=0.05 olarak verilmifltir, ayr›ca n=15 olarak belirlenmifltir.
Ad›m 4. Örnekleme da¤›l›m›: Her ne kadar olas›l›k de¤erleri Binom da¤›l›m›
fonksiyonu yard›m›yla hesaplanabilirse de burada Binom da¤›l›m› tablosu kullan›-larak hesaplanacakt›r.
Ad›m 5. Red bölgesi: Bu problemde tek tarafl› bir red bölgesi söz konusudur.
Ad›m 6. ‹fllem ve karar. Binom da¤›l›m› tablosunda örneklemde yer alan birim say›s› olan n=15 ile mavi renkli paket say›s› olan x=6 de¤erlerinin kesiflim nokta-s›nda yer alan de¤er, ilgilenilen olas›l›k de¤eridir. Tablo yard›m›yla bu de¤er p=0,3036 olarak bulunur.
Tablo de¤eri p=0,3036 > α=0.05 oldu¤undan H0hipotezi kabul edilir. Bunun iflletme için anlam›, paket renginin ö¤rencilerin seçimi üzerinde bir etkisinin olma-d›¤›d›r. Bu karar›n (α=0.05 oldu¤undan) %95 güven ile verildi¤i söylenir.
Ö R N E K 9 . 3
n > 25 için Binom Testi
Örneklemde yer alan birim say›s› 25’den daha fazla oldu¤unda Binom da¤›l›m›
tablosu yeterli gelmeyecektir. Bu tür durumlarda Binom da¤›l›m› ile Normal da¤›-l›m aras›ndaki iliflkiden faydalan›larak hesaplamalar yürütülür. Örneklemdeki bi-rim say›s› artt›kça Binom da¤›l›m›, Normal da¤›l›ma yaklafl›r. Binom testi yürütü-lürken Normal da¤›l›m tablosu da iki da¤›l›m aras›ndaki iliflkiden dolay› kulan›la-bilir. E¤er yürütülen araflt›rmada p ve q birbirine çok yak›n, örneklem birim say›-s› 25’den büyük ve n.p.q ≥ 9 koflulu sa¤lan›yor ise Binom da¤›l›m› olasay›-s›l›klar› ye-rine Normal da¤›l›mdan elde edilen olas›l›klar yard›m›yla hipotez testi gerçeklefl-tirilebilir. Normal da¤›l›mdan faydalanabilmek için Normal da¤›l›m ifllemlerinde kullan›lacak ortalama ve varyans de¤erleri s›ras›yla ortalama = n.p ve varyans = n.p.q eflitlikleri ile hesaplan›r. Daha sonra standartlaflt›rma ifllemi yap›l›r. Standart-laflt›rma ifllemi,
eflitli¤i yard›m›yla yürütülür. Burada hat›rlan›lmas› gereken önemli bir nokta Bi-nom da¤›l›m›n›n kesikli de¤iflkenler, Normal da¤›l›m›n ise sürekli de¤iflkenler için tan›ml› olmas›d›r. ‹ki da¤›l›m aras›ndaki iliflkiyi kullan›rken bir süreklilik düzeltme-si yap›lmas› gerekir. Bu süreklilik düzeltmedüzeltme-sine göre standartlaflt›rma eflitli¤i,
ile gerçeklefltirilir. Eflitlikte x’e 0,50 eklenip ya da ç›kart›lmas› karar›n›n verilmesi gereklidir. E¤er x de¤eri n.p’den küçük ise x de¤erine 0,50 eklenirken x de¤eri n.p’den büyük ise x de¤erinden 0,50 ç›kart›l›r. Son aflamada hesaplanan standart-laflt›r›lm›fl de¤er ile anlaml›l›k düzeyine göre Ek 1’deki Normal da¤›l›m tablosun-dan belirlenen kritik de¤er karfl›laflt›r›larak karar verilir.
Örnek 9.3.’de örneklemde yer alan ö¤renci say›s›n›n 110 ö¤renciye ç›kar›ld›¤› var-say›ls›n. Bu ö¤rencilerden 51 tanesi mavi paketi geriye kalan 59 tanesi de k›rm›z›
paketi seçerse mavi renkli paket seçimi oran› k›rm›z› renkli paket seçimi oran›n-dan küçük müdür? %5 anlam düzeyinde istatistiksel karar› veriniz.
Ad›m 1. Hipotezlerin ifade edilmesi:
H0: Paket rengi ö¤rencilerin tercihini etkilememektedir.
H1: Mavi renkli paket seçim oran› (p) k›rm›z› renkli paket seçim oran›ndan (q) küçüktür. Aradaki fark ö¤rencilerin renk tercihi ile aç›klanabilir.
Ad›m 2. ‹statistiksel test:
Araflt›rmadaki veriler sayma yolu ile elde edilmifl ve iki grupta toplanm›flt›r. Bi-nom da¤›l›m›na uygun da¤›l›m göstermektedir. Ancak birim say›s› 25’den büyük-tür. Dolay›s›yla Normal da¤›l›m yaklafl›m› kullan›l›r.
Ad›m 3. Anlaml›l›k düzeyi:
Anlaml›l›k düzeyi α=0.05 olarak verilmifltir, ayr›ca n=110 olarak belirlenmifltir.
z x x np
x npq
= −
= −
µ σ
z x np
npq
=( ∓ 0 50, )−
Ö R N E K 9 . 4
∝
Ad›m 4. Örnekleme da¤›l›m›:
Normal e¤ri alt›nda kalan alan olas›l›k tablosu yard›m›yla hesaplan›r.
Ad›m 5. Red bölgesi:
Bu problemde tek tarafl› bir red bölgesi söz konusudur.
Ad›m 6. ‹fllem ve karar:
Burada öncelikle ö¤rencilerin herhangi bir renkteki paketi seçmeleri beklen-mektedir. Ö¤rencilerin renk tercihlerinin olmad›¤› ön bilgisi Örnek 9.1’de küçük bir örneklem yard›m›yla gösterilmifltir. Dolay›s›yla p=q=0,50 olarak al›nabilir.
n=110, p=q=0,50 iken 51 adet mavi paket gözlemlenmesi durumunda x’in 51 ve daha az gözlemlenmesinde dair standartlaflt›r›lm›fl de¤er (np=110(0,50)=55 > x= 51 oldu¤undan),
olarak hesaplan›r. Daha sonra bu z de¤erine karfl›l›k gelen olas›l›k de¤eri Normal da¤›l›m tablosundan elde edilir. Normal da¤›l›m tablosuna göre z’nin -0,67 ya da daha düflük bir de¤er alma olas›l›¤›, 0,50-0,2486=0,2514 olur. Hesaplanan bu ola-s›l›k de¤eri anlaml›l›k düzeyi %5’den daha büyük oldu¤u için paket renginin ö¤-rencilerin tercihini etkilemedi¤ini belirten H0 hipotezi kabul edilir.