Ba¤›ml› de¤iflkenin daha iyi tahmin edilmesi ya da aç›klanabilmesi için birden da-ha fazla ba¤›ms›z de¤iflken tan›mlanabilir. Bir ba¤›ml› ve birden dada-ha fazla ba¤›m-s›z de¤iflkenin bulundu¤u regresyon analizi problemlerine çoklu regresyon anali-zi ad› verilir. Bu ünite de çoklu do¤rusal regresyon analianali-zi detaya inilmeden genel hatlar› ile incelenecektir. Ayr›nt›l› bilgiler için ileri regresyon analizi kitaplar›na (Myers (1986) vb.) baflvurulmal›d›r.
n adet gözleme sahip bir veri setinde y ba¤›ml› de¤iflken ve k adet ba¤›ms›z
de-¤iflken olmak üzere ölçüm sonuçlar› yer alabilir. Ölçüm sonuçlar› Tablo 8.8.’de gösterildi¤i gibi bir araya getirilebilirler.
R y
Regresyon 1 264,35 264,35
F=3,09
Hata 48 4102,30 85,46
Toplam 49 4366,65
Regresyon 1 4,4278 4,4278
F = 4 4278 = 0 1103, 40 14
, ,
Hata 10-2=8 0,8825 0,1103
Toplam 10-1=9 5,3103
SIRA S‹ZDE SIRA S‹ZDE
AMAÇLARIMIZ
Veri dizininin her bir sat›r› bir gözlem de¤erine karfl›l›k gelmektedir. E¤er yürü-tülen araflt›rmada x’ler ile y de¤iflkeni aras›nda do¤rusal bir ilfliki araflt›r›l›yor ise çoklu do¤rusal regresyon modeli,
yi= β0+ β1x1i+ β2x2i+ ... + βkxki+ εi (i = 1,2,...,n; n ≥ k + 1)
eflitli¤i yard›m›yla tan›mlan›r. Model dikkatlice incelenirse β0 katsay›s›n›n basit do¤rusal regresyon modelinde α ile gösterildi¤i görülebilir. Çoklu do¤rusal regres-yon modelinde do¤rusall›k özelli¤i parametrelerden gelmektedir. Araflt›rmac› ister-se farkl› parametreler için ayn› de¤iflkenin farkl› kuvvetleri (kendisi, karesi, kübü, vb) ile de ifllem yapabilir. Çoklu do¤rusal regresyon modeli parametre tahminleri için basit do¤rusal regresyon analizinde oldu¤u gibi en küçük kareler tekni¤i ku-lan›labilir. En küçük kareler tekni¤ine göre parametre tahminlerini bulmak için modelin öncelikle matris gösteriminde sunulmas› gerekir. Matris gösteriminde çok-lu do¤rusal regresyon modeli,
y = Xβ + ε
olacakt›r. Modelin bileflenleri matris gösteriminde,
fleklinde ifade edilirler. Regresyon katsay›lar› vektörü β’n›n en küçük kareler tah-mincisi b,
b = (X'X)-1X'y
matris ifllemi ile hesaplan›r.
Basit do¤rusal regresyon analizinde oldu¤u gibi çoklu do¤rusal regresyon ana-lizinde de β’n›n anlaml›l›k testi yürütülür. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, çoklu do¤rusal regresyon modelinde β vektörü için ifllem yap›lmaktad›r. Modelde yer alan tüm terimlerin tek tek anlaml›l›k testleri yürütülür ve anlaml› bulunmayan katsay›lara ait de¤iflkenler analizden ç›kart›larak yeni bir model oluflturulur. Yine basit do¤rusal regresyon analizinde oldu¤u gibi modelin anlaml›l›¤›n› test etmek amac› ile varyans analizi tablosu oluflturulur. Daha sonra varyans analizi tablosu kullan›larak modelin belirlilik katsay›s› da hesaplan›r.
y = = X
Bir grup insanbilimci (antropolog) çevresel faktörlerdeki de¤iflimin uzun dönemde kan bas›nc› üzerindeki etkisini araflt›rmaktad›r. Bu amaçla Peru Ant da¤lar›nda çok ilkel koflullarda yaflarken çok daha düflük irtifada yer alan modern Peru top-lumuna göç etmifl bir grup yerlinin kan bas›nç de¤erleri kay›t alt›na al›nm›flt›r. Af-rika’da daha önce yap›lan benzer bir çal›flma “‹lkel toplumdan modern topluma göç, bafllang›çta kan bas›nc›n›n yükselmesine yol açarken zaman geçtikçe kan ba-s›nc› normale dönme e¤ilimindedir.” önermesini belirtmektedir. ‹nsanbilimciler Peru göçmenlerinin boy (mm.), a¤›rl›k (kg.), yafl, dakikada kalp at›fl say›s›, mo-dern hayatta yaflad›klar› süre (ay olarak), sistolik kan bas›nc› ve diastolik kan ba-s›nc› de¤erlerini kay›t etmifltir. Sistolik kan baba-s›nc› de¤erleri için kurulan regresyon modeli için hesaplanan varyans analizi tablosu Tablo 8.9.’daki gibidir. Modelin anlaml›l›¤› ve belirlilik katsay›s› hakk›nda yorum yap›n›z.
Öncelikle modelin anlaml›l›k testi için hesaplanan F de¤erinin 5 ve 34 serbest-lik dereceleri için F tablosundan tespit edilen teorik kritik de¤er ile karfl›laflt›r›lma-s› gerekmektedir. Anlaml›l›k düzeyi %5 olarak al›n›rsa istenen teorik kritik de¤er tablodan 2,45 olarak tespit edilir. Varyans analizi tablosunda hesaplanan F de¤eri 1,52 tablodan tespit edilen kritik de¤er 2,45’den küçük oldu¤u için modelin anlam-l› olmad›¤› söylenir. Dolay›s›yla insanbilimcilerin modelde yer alan de¤iflkenlerden hangilerinin anlaml› hangilerinin anlams›z oldu¤unu test etmeleri ve modellerini tekrar tahmin etmelidirler. Verilen varyans analizi tablosu yard›m›yla model belir-lilik katsay›s› da (4684,7 / 25674,1) =0,18 olarak bulunur. Görüldü¤ü gibi bu mo-del yard›m›yla sistolik kan bas›nc›ndaki toplam de¤iflkenli¤in ancak %18’i momo-del- model-de yer alan model-de¤iflkenler ile aç›klanabilmektedir. Ssitolik kan bas›nc›ndaki model- de¤ifl-kenli¤in aç›klanamayan oran› 1-0,18=0,82 oldu¤u için modelde yer almas› bekle-nen baflka de¤iflkenler olabilece¤i söylenir.
De¤iflkenlik Kayna¤›
Serbestlik Derecesi
Kareler Toplam›
Kareler Ortalamas›
F
‹statisti¤i
Regresyon 5 4.684,7 936,9
F=1,52
Hata 34 20.989,4 617,3
Toplam 39 25.674,1
Ö R N E K 8 . 6
Tablo 8.9 Peru Göçmenleri Sistolik Kan Bas›nc›
‹çin Regresyon Modeli Varyans Analizi Tablosu
De¤iflkenler aras›ndaki iliflkinin derecesini tespit etmek.
Ço¤unlukla araflt›rmac›lar ele ald›klar› iki de¤ifl-ken artas›ndaki iliflkinin nas›l oldu¤unu araflt›r-mak istemektedir. Örne¤in “‹lgilenilen a de¤ifl-kenindeki de¤iflim b de¤iflkeninde de ayn› etkiyi gösterecek mi?”, “a de¤iflkeninin de¤eri artarsa b de¤iflkeninin de de¤eri artar m›?” ve benzeri so-rular üzerinde durulabilir. Böyle durumlarda iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin yönünü ve derece-sini belirtebilmek için Pearson korelasyon katsa-y›s›n› hesaplayabilirsiniz.
‹ki de¤iflken aras›nda do¤rusal bir model kurmak.
De¤iflkenler aras›nda gözlemlenen korelasyon iliflkisi d›fl›nda bir de¤iflkenin bir baflka de¤iflken kullan›larak tahmin edilmesi istenebilir. Örne¤in ö¤rencilerin s›nav baflar›s›n› s›nava haz›rl›k süre-leri ile iliflkilendirmek isteyebilirsiniz. Bu tür du-rumlarda iliflkinin do¤rusal oldu¤u düflünülüyor ise basit do¤rusal regresyon analizi yürütülebilir.
Önerilen modelin anlaml›l›k testini yapabilir ve model yard›m›yla ba¤›ml› ve ba¤›ms›z de¤iflke-nin farkl› de¤erleri için tahminler oluflturabilirsi-niz. Ayr›ca model de yer alan ba¤›ms›z de¤iflke-nin ba¤›ml› de¤iflkende meydana gelen de¤ifli-min ne kadarl›k bir oran›n› aç›klayabildi¤ini de belirlilik katsay›s› yard›m›yla hesaplayabilirsiniz.
Birden fazla ba¤›ms›z de¤iflken ile do¤rusal mo-del kurmak.
Bir de¤iflkende meydana gelen de¤iflkenlik bir tek ba¤›ms›z de¤iflken yerine birden fazla ba¤›m-s›z de¤iflken kullan›larak aç›klanmak istenebilir.
Örne¤in ö¤renci s›nav baflar›s›nda s›nava haz›rl›k süresi d›fl›nda, ö¤rencinin öncekli s›nav puanla-r›, ödevlerini tamamlay›p tamamlamamas› gibi de¤iflkenlerinde etkisi araflt›r›labilir. Çoklu do¤-rusal regresyon analizi yard›m›yla bir model olufl-turularak ö¤rencinin s›nav baflar›s› modellenir.
Özet
N
A M A Ç1N
A M A Ç2N
A M A Ç31. Bir araflt›rma da ilgilenilen de¤iflkenlerden birinin de¤eri artarken di¤erinin de de¤eri artmaktad›r. Bu ça-l›flma da korelasyon katsay›s› hesaplan›rsa sonuç afla¤›-daki seçeneklerden hangisi olabilir?
a. -1 b. -0,9 c. -0,5 d. 0 e. 0,9
2. Afla¤›daki grafiklerden hangisinde korelasyon katsa-y›s› -1’e eflittir?
3. y=17+4,50x olarak verilen basit do¤rusal regresyon denkleminde regresyon do¤rusunun e¤imi kaça eflittir?
a. 17 b. 4,5 c. 17/4,5 d. 4,5/17 e. 0,1
4. y=17+4,50x olarak verilen basit do¤rusal regresyon denkleminde regresyon do¤rusunun y eksenini kesti¤i nokta afla¤›dakilerden hangisidir?
5. Bir araflt›rmada basit do¤rusal regresyon denklemi y=7,41-12x olarak tespit edilmifltir. Buna göre, x’in
de-¤eri 1,25 olursa y kaça eflittir?
a. 15 b. 12 c. 7,41 d. -4,59 e. -7,59
6. Bir araflt›rmada basit do¤rusal regresyon denklemi y=-15+4,50x olarak tespit edilmifltir. Buna göre, y’in
de-¤eri 8,55 olursa x kaça eflittir?
a. 23,55
7. Bir basit do¤rusal regresyon probleminden elde edilen varyans analizi tablosu afla¤›da verilmifltir.
Bu tabloya göre belirlilik katsay›s› kaçt›r?
a. 0,18 b. 0,824 c. 1,799 d. 26,125 e. 47
8. Bir basit do¤rusal regresyon probleminden elde edilen varyans analizi tablosu afla¤›da verilmifltir.
Bu tabloya göre tahminin standart hatas› kaçt›r?
a. 6 b. 10 c. 12,50 d. 18,18 e. 200
9. Bir regresyon probleminde aç›klay›c› de¤iflken ya da de¤iflkenlerin ba¤›ml› de¤iflkendeki de¤iflkenli¤i ne kadar›n› aç›klad›¤›n› hesaplamak için afla¤›dakilerden hangisi kullan›l›r?
10. Basit do¤rusal regresyon analizinde, katsay›lar›n tahmininde kullan›lan teknik afla¤›dakilerden hangisidir?
a. Korelasyon analizi b. En küçük kareler c. Varyans analizi d. Hipotez testi e. Belirlilik katsay›s›
Darpito (1999) çevresel temizli¤in insanlar ve çevre ara-s›ndaki karmafl›k etkileflimlerin sonucu olarak ortaya ç›-karak insan sa¤l›¤›n› etkiledi¤ini belirtmektedir. Çal›fl-mas›nda Endonezya örne¤ini ele alarak fakirlik ile çev-re temizli¤i aras›ndaki koçev-relasyonu, hijyene bak›fl aç›s›
ile çevre temizli¤i aras›ndaki iliflki ve son olarak insan-lar›n bulunduklar› co¤rafya ile çevre temizli¤i aras›nda-ki iliflaras›nda-ki araflt›r›lm›flt›r. Çal›flma bütün olarak korelasyon çal›flmas› olarak ele al›nm›flt›r. Veri toplama sahada ya-p›lm›fl ve bir çok veri gözleme dayal› olarak elde edil-mifltir. Fakirlik ve çevresel temizlik aras›ndaki iliflki ba-sit do¤rusal regresyon yard›m›yla modellenmifl ve -0,83 korelasyon de¤eri hesaplanm›flt›r. Hijyene bak›fl aç›s›
ve çevre temizli¤i aras›ndaki iliflki içinde basit do¤rusal regresyon modeli kurulmufl, korelasyon de¤eri 0,38 ola-rak hesaplanm›flt›r. Her iki modelinde istatistiksel an-laml›l›¤› %5 anlam düzeyi kullan›larak test edilerek mo-deller istatistiksel olarak %95 güvenle anlaml›d›r karar›-na var›lm›flt›r. Çal›flma elde edilen bu sonuçlar›n Endo-nezya için anlam›n›n de¤erlendirilmesi ve sorunlar›n çözümünde paydafllara düflen ifllemler için öneriler ile sonland›r›lm›flt›r.
Kaynak:Darpito, H. (1997). Sanitation, hygienic at-titude and poverty, 23rd WEDC Conference, Water and Sanitation for All: Partnerships and Innovations, Durban, South Africa.
Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›
1. e Korelasyon analizi konusunu tekrar ediniz.
2. b Korelasyon analizi konusunu tekrar ediniz.
3. b Üniteyi tekrar ediniz.
4. a Üniteyi tekrar ediniz.
5. e Üniteyi tekrar ediniz.
6. b Basit do¤rusal regresyon analizi konusunu ye-niden inceleyiniz.
7. a Üniteyi tekrar ediniz.
8. c Tahminin standart hatas›n› gözden geçiriniz.
9. c Korelasyon analizi konusunu tekrar ediniz.
10. b Üniteyi tekrar ediniz.
De¤iflkenlik
Regresyon 1 47 47
F=1,799
Hata 8 209 26,125
Toplam 9 256
Regresyon 1 75 75
F=6
Hata 10 125 12,50
Toplam 11 200
Yaflam›n ‹çinden
”
“
S›ra Sizde 1
Öncelikle de¤iflkenlerin ortalama ve standart sapmalar›
hesaplan›r. Bu hesaplamalar yap›lmadan önce Ünite 3’ün tekrar edilmesi faydal› olacakt›r. ‹lgilenilen de¤ifl-kenlerin ortalama ve standart sapmalar›,
olarak hesaplan›r. Örnek 8.1.’de korelasyon katsay›s›
0,201 olarak hesaplanm›flt›r. fiimdi bu de¤eri ortalama ve standart sapmalar yard›m›yla tekrar hesaplayal›m.
Bu hesaplamayla ilgili afla¤›daki tablo haz›rlanm›flt›r.
Korelasyon katsay›s›,
olarak hesaplan›r.
S›ra Sizde 2
Problem de verilen varyans analizi afla¤›daki tabloda görülmektedir.
Belirlilik katsay›s› (264,35)/(4366,65)=0,06 olarak bulunur.
Bowerman, B.L. ve O’Connell, R.T. (1990). Linear Statistical Models An Applied Approach, Second Edition, Thomson Learning.
Cook, R.D. ve Weisberg S. (1999). Applied Regression Including Computing and Graphics, Wiley Inter-Science.
Erar, A. (1985). Ba¤lan›m (Regresyon) Çözümlemesi, Ders Notlar›, Ankara.
Freund, J.E. (1992). Mathematical Statistics, Prentice Hall International.
Govil, A.K. (1984). Definitions and Formulae in Statistics, The Macmillan Press Ltd.
Harnett, D.L. (1982). Statistical Methods, Third Edition, aAddison Wesley.
Kanji, G.P. (1993). 100 Statistical Tests, Sage Publications.
Lindeman. R.H., Merenda, P.F. ve Gold, R.Z. (1980).
Introduction to Bivariate and Multivariate Analysis, Scott, Foresman and Company.
McDonald, J.H. (2008). Handbook of Biological Statistics, Sparky House Publishing.
Myers, R.H. (1986). Classical and Modern Regression with Applications, Duxbury Press.
Rousseeuw, P.J. ve Leroy, A.M. (1987). Robust Regression and Outlier Detection, John Wiley &
Sons.
fi›klar, E. ‹. (2000). Regresyon Analizine Girifl, Ana-dolu Üniversitesi Yay›nlar›.
S›ra Sizde Yan›t Anahtar› Yararlan›lan Kaynaklar
Pazarlamac›
Toplam 360 405 195
De¤iflkenlik
Regresyon 1 264,35 264,35
F=3,09
Hata 48 4.102,30 85,46
Toplam 49 4.366,65
Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;
Parametrik test varsay›mlar›na uyulmad›¤›nda hangi teste baflvurulaca¤›n›
ö¤renebilecek,
Veri setine iyi uyum testi yapabilecek,
Medyan de¤erindeki de¤iflikli¤i tespit edebilecek,
Sistemlerde meydana gelen de¤iflimin önceki duruma göre sistemin de¤ifli-mine etkisini tespit edebileceksiniz.
‹çerik Haritas›
• Parametrik Olmayan ‹statistik
• ‹yi Uyum Testleri
• Ki-Kare ‹yi Uyum Testi
• Kolmogorov-Smirnov ‹yi Uyum Testi
• Binom Testi
• ‹flaret Testi
• Mann-Whitney U Testi
• Kruskall-Wallis H Testi
• McNemar Testi
Anahtar Kavramlar Amaçlar›m›z
N N N N
Biyoistatistik Parametrik Olmayan ‹statistik
• PARAMETR‹K OLMAYAN
‹STAT‹ST‹K
• ‹Y‹ UYUM TESTLER‹
• B‹NOM TEST‹
• ‹fiARET TEST‹
• MANN-WHITNEY U TEST‹
• KRUSKALL-WALLIS H TEST‹
• MCNEMAR TEST‹