Nesta seção vamos apresentar a decomposição de Morse e mostrar que se um sistema dinâmico admite decomposição de Morse então seu atrator global possui uma dinâmica gradiente e existe um funcional de Lyapunov associado.
Este resultado foi um grande avanço para a área de sistemas dinâmicos não lineares, uma vez em sistemas gradientes são contínuos por perturbações, mas, no geral, é uma tarefa difícil encontrar um funcional de Lyapunov associado. Contudo, demonstrar que o atrator global possui uma dinâmica gradiente pode ser mais simples e, com os resultados que apresentaremos nesta seção, veremos que dinâmica gradiente e existência do funcional de Lyapunov são equivalentes. O que implica diretamente que sistemas dinamicamente gradientes são estáveis por perturbação e, desse modo, uma classe bem ampla de sistemas possui tal propriedade. As referências para esta seção são os trabalhos (ARAGÃO-COSTA et al.,2011;ARAGÃO-COSTA et al.,2012;
ARAGÃO-COSTA et al.,2013;CARVALHO; LANGA; ROBINSON,2012;CONLEY,1978;
2.3. Dinâmica gradiente e decomposição de Morse 29
Os resultados aqui apresentados também são verificados em processos de evolução, porém nossa aplicação para semifluxos multívocos é feita a partir da teoria de semigrupos, portanto apresentaremos os resultados mais simples.
Fixemos (X,‖·‖) um espaço de Banach e um semigrupo T(·) em X, o qual possui atrator global A . Usaremos a notação Oε(B) = {x ∈ X : d(x,B) < ε} para a ε-vizinhança de B em X,
mais precisamente
Oε(B) = {z ∈ X : ‖z − b‖ < ε para algum b ∈ B} = [
b∈B
B(b, ε), onde B(b,ε) é a bola centrada em b e raio ε.
Definição 2.3.1. Dizemos que M = {M1, . . . , Mn} é uma família de invariantes isolados (para
T(·)) se existe um δ > 0 para o qual
Oδ(Mj) ∩ Oδ(Mk) = /0, 1 ≤ j < k ≤ n, e Mj é o invariante maximal (com respeito a T (·)) de Oδ(Mj).
Definição 2.3.2. Dizemos que T (·) com atrator global A e família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn} é um semigrupo gradiente com respeito a M se existe uma aplicação contínua L : X → R tal que
1. a aplicação t ↦→ L (T(t)x) é uma função não-crescente em t ≥ 0 para cada x ∈ X; 2. L é constante em cada Mj; e
3. L (T (t)x) = L (x) para todo t ≥ 0 se, e só se, x ∈Sn j=1Mj.
Um função L com tais propriedades é dito uma funcional de Lyapunov para T (·) com respeito a M .
Definiremos agora o que seria uma dinâmica gradiente. Para tal, vamos definir formal- mente o que seria uma estrutura homoclínica.
Definição 2.3.3. Sejam T(·) um semigrupo e M = {M1, . . . , Mn} uma família de invariantes
isolados. Uma estrutura homoclínia em M é uma coleção não vazia {Ml1, . . . , Mlk} de M ,
juntamente com uma coleção de soluções globais {ξl1, . . . , ξlk}, tais que
lim
t→−∞dist(ξlj(t), Mlj) = 0 e limt→∞dist(ξlj(t), Mlj+1) = 0, 1 ≤ j ≤ k,
em que El1 = Elk+1.
Definição 2.3.4. Um semigrupo T(·) com atrator global A é dinamicamente gradiente com res- peito a família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn}, se satisfaz as seguintes propriedades:
G1. Dada solução globalξ : R → X em A , existem j,k ∈ {1,...,n} para os quais lim
t→−∞dist(ξ (t),Ej) = 0 e limt→∞dist(ξ (t),Mk) = 0.
G2. A família M não possui estruturas homoclínicas.
Podemos então caracterizar os semigrupos gradientes.
Teorema 2.3.5. Um semigrupo T(·) é gradiente com respeito a uma família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn} se, e somente se, é dinamicamente gradiente com respeito a M .
Apresentaremos a noção de par atrator-repulsor.
Definição 2.3.6. Diremos que um subconjunto não vazio A de A é um atrator local se existe ε > 0 tal que ω(Oε(A)) = A. O repulsor A*associado ao atrator local A é o conjunto definido
por
A*= {x ∈ A : ω(x) ∩ A = /0}. (2.3.1) O par (A,A*) é chamado um par atrator-repulsor para T (·).
Não é difícil ver que se (A,A*) é um par atrator-repulsor então A*é fechado, invariante e
disjunto de A.
Observamos que A é um atrator local se, e somente se, é compacto invariante e atrai uma ε-vizinhança de si mesmo, para algum ε > 0. Notamos também que a definição de atrator local pedimos que A atraia uma vizinhança de A em X, mas isto equivale a atrair uma vizinhança de A em A , como veremos nos lemas a seguir, em que supomos que T (·) é um semigrupo em X com atrator global A .
Lema 2.3.7. Se A é compacto e invariante por T (·) e existe ε > 0 tal que A atrai Oε(A)∩A então
dado δ > 0 existe δ′> 0 tal que γ+(O
δ′(A)) ⊂ Oδ(A), onde γ+(Oδ′(A)) =Sx∈O δ ′(A)
S
t≥0T(t)x,
a órbita positiva da vizinhança.
Lema 2.3.8. Seja S(t) := T (t)|A. Claramente S(·) é um semigrupo no espaço métrico A . Se A
é um atrator local para S(·) no espaço métrico A e K é um compacto de A tal que K ∩ A*= /0,
então A atrai K. Além disso, A é um atrator local para T (·) em X.
Com a noção de atrator local podemos definir a decomposição de morse de um atrator global A .
Definição 2.3.9. Dada uma família crescente /0 = A0⊂ A1⊂ ... ⊂ An= A de atratores locais,
para j = 1,...,n defina Mj:= Aj∩ A*j−1. A n-upla ordenada M := (M1, . . . , Mn) é chamada uma
2.3. Dinâmica gradiente e decomposição de Morse 31
Lema 2.3.10. Seja T(·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn}. Então existe um 1 ≤ k ≤ n tal que Mk é um atrator local
para T (·) em X.
Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn} e assumamos que M1seja um atrator local para T (·). Segue que
cada Mj, com j > 1, está contido em M1*, o repulsor associado a M1.
Considerando a restrição T1(·) de T (·) a M1,0* := M1*, então T1(·) é um semigrupo dina-
micamente gradiente em M*
1 relativo à família de invariantes isolados {M2, . . . , Mn}. Podemos
assumir, sem perda de generalidade, que M2é um atrator local para T1(·) em M1*. Se M2,1* é o
repulsor associado ao conjunto invariante isolado M2 de T1(·) em M1* podemos prosseguir e
considerar a restrição T2(·) do semigrupo T1(·) a M2,1* e T2(·) será um semigrupo dinamicamente
grandiente com respeito à família de invariantes isolados {M3, . . . , Mn}.
Repetindo o processo, após um número finito de passos, obtemos uma reordenação de M de modo que Mjé um atrator local para a restrição de T (·) a M*
j, j−1.
Nestas condições, defina A0= /0, A1= M1e para j = 2,3,...,n
Aj= Aj−1∪Wu(Mj) = j [ k=1
Wu(Mk), (2.3.2)
em que Wu(M) = {x ∈ A : existe solução global limitada ξ : R → A com ξ (0) = x e α(ξ ) ⊂
M}, a variedade instável do subconjunto invariante M de A e α(ξ ) = {z ∈ X : existe uma sequência tn
n→∞
−→ ∞ tal que z = limn→∞ξ (−tn)},
denota o α-limite de uma solução global ξ . Fica claro que An= A .
Teorema 2.3.11. Seja T(·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn} reordenada de maneira que Mjé um atrator local para a
restrição de T (·) a M*
j−1, j−2. Então a família Ajdefinida em (2.3.2) é um atrator local para T (·)
em X,
Mj= Aj∩ A*j−1
e M é uma decomposição de Morse de A .
Proposição 2.3.12. Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à famí- lia de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn} reordenados de maneira que constituam uma
decomposição de Morse do atrator global A . Então
n \ j=0 (Aj∪ A*j) = n [ j=1 Mj. (2.3.3)
A fim de fecharmos o ciclo de equivalências, devemos construir uma função de Lyapunov a partir de uma decomposição de Morse.
Lema 2.3.13. Se T(·) é um semigrupo com atrator global A , a função h: X → R definida por h(x) = sup
t≥0
d(T (t), A ) (2.3.4)
para x ∈ X, está bem definida, é contínua e a aplicação [0,∞) ∋ t ↦→ h(T(t)x) ∈ R é não crescente para cada x ∈ X. Ainda mais, h−1(0) = A .
Lema 2.3.14. Sejam T(·) um semigrupo com atrator global A e (A,A*) um par atrator-repulsor em A . Existe uma função contínua f : X → R satisfazendo:
1. [0,∞) ∋ t ↦→ f (T(t)x) ∈ R é descrescente para cada x ∈ X. 2. f−1(0) = A e f−1(1) = A*.
3. Dado x ∈ X, se f (T(t)x) = f (x) para todo t ≥ 0, então x ∈ A ∪ A*.
Os lemas anteriores são uma inspiração para a construção do funcional de Lyapunov. Teorema 2.3.15. Sejam T(·) um semigrupo com atrator global A e uma família de invariantes isolados M = {M1, . . . , Mn}. Se existe uma família crescente de atratores globais /0 = A0 ⊂
A1⊂ ... ⊂ An= A que constitui uma decomposição de Morse de A , então o semigrupo T (·)
é gradiente relativamente a M . Isto é, existe um funcional de Lyapunov relativo à família M. Ainda mais, o funcional L : X → R pode ser escolhido de modo que L (Mj) = j − 1,
j= 1, . . . , n.