Teorema 2.5.10. Se A(·) é o atrator cociclo para o nds (ϕ,θ )(X,Σ) uniformemente equi-atrai
limitados de X e ∪σ ∈ΣA(σ ) é precompacto em X, então o conjunto A associado a A(·), dado por
A= [
σ ∈Σ
A(σ ) × {σ}
é o atrator global para o semifluxo skew-product π(·) em X.
Teorema 2.5.11. Suponhamos que o nds(ϕ, θ )(X,Σ)seja uniformemente assintoticamente com-
pacto, então existe um atrator uniforme A e um atrator cociclo {A(σ) : σ ∈ Σ} e vale
[ σ ∈Σ
A(σ ) = A . (2.5.6)
Vamos agora rapidamente relacionar o semifluxo cociclo de um sistema dinâmico não autônomo com processos de evolução.
Dado um σ em Σ construímos um processo de evolução da seguinte maneira: para t≥ s ∈ R, defina
Sσ(t, s) = ϕ(t − s,θ(s)σ). (2.5.7)
Se {A(σ) : σ ∈ Σ} é o atrator cociclo para o nds (ϕ,θ)(X,Σ), então o conjunto não
autônomo {A(θ(t)σ) : t ∈ R)} é o atrator pullback do processo definido em (2.5.7).
2.6
Espaços uniformemente locais
Nesta seção vamos explorar os espaços conhecidos como uniformemente locais e geração de semigrupos por operadores elípticos nos mesmos. As referências para esta seção são os trabalhos (ARRIETA et al.,2004;ARRIETA et al.,2007;ARRIETA et al.,2004;CHOLEWA; RODRÍGUEZ-BERNAL,2009;MIELKE,1997;WANG,1999) e (ZELIK,2003).
Para 1 ≤ p < ∞ defina Lp U(R n ) = {u ∈ Llocp (R n ) : sup x∈Rn‖u‖L p(B(x,1))< ∞, }, onde B(x,1)
denota a bola de centro em x e raio 1, com norma ‖u‖LUp(Rn)= sup
x∈Rn‖u‖L
p(B(x,1)). (2.6.1)
Para p = ∞ a definição análoga seria: u ∈ L∞
U(Rn) se, e somente se, sup x∈Rn‖u‖L
∞(B(x,1))< ∞ e isto
implica que sup
x∈Rn|u(x)| < ∞, isto é, L ∞ U(Rn) = L∞(Rn). Observamos que Lp U(Rn) contém L ∞(Rn), Lq(Rn) e Lq U(Rn), sempre que q ≥ p. Na definição de Lp
U(Rn) o fato de tomarmos a bola de raio 1 em x é puramente instru-
mental. Tomando o raio r > 0 geraríamos os mesmos espaços com normas equivalentes, com constantes que dependem apenas de n e não de p.
Considere o grupo das translações {τy: y ∈ Rn}, τyu(x) = u(x − y), para y ∈ Rn. Deno-
tamos por ˙Lp
U(Rn) o subespaço das funções de L p
U(Rn) que são contínuas por translações com
respeito à norma ‖ · ‖LUp(Rn). Isto é,
‖τyu− u‖Lp U(Rn)→ 0, quando ‖y‖ → 0. Note que C∞ 0(Rn) ⊂ ˙LUp(Rn) e portanto Lp(Rn) ⊂ ˙L p U(Rn), para 1 ≤ p < ∞. Se p = ∞ temos ˙L∞
U(Rn) = BUC(Rn) = {u: Rn→ R : u é uniformemente contínua e limitada}. Observa-
mos também que BUC(Rn) ⊂ ˙Lp
U(Rn), para 1 ≤ p < ∞.
Quando Ω ⊂ Rn é um domínio ilimitado arbitrário, a definição de Lp
U(Ω) também faz
sentido e geram espaços diferentes dos Lp
(Ω) usuais, tomando B(x, 1) ∩ Ω, x ∈ Ω, no supremo em (2.6.1) anterior.
A seguir daremos outra caracterização dos espaços uniformemente locais. Ambas as definições se mostram importantes para entendimento de diferentes propriedades, a anterior, na opinião do autor, sendo mais intuitiva e a seguinte tendo muita importância analítica. Para tal vamos utilizar funções peso e espaços Lpcom peso.
Seja ρ : Rn → (0,∞) uma função peso. Denotamos como o espaço com peso, para
1 ≤ p < ∞, Lρp(Rn) = u∈ Llocp (Rn) : Z Rn|u(x)| pρ(x)dx < ∞ (2.6.2) com a norma dada por ‖u‖Lρp(Rn)= (
R
Rn|u(x)|pρ(x)dx)1/p.
Consideramos os pesos transladados ρy(x) := τyρ(x) = ρ(x − y), x ∈ Rn, e o espaço com
peso correspondente Lp τyρ(R
n) = Lp ρy(R
n).
Desse modo, definimos o espaço uniformemente local Llup(Rn) = ( u∈ Llocp (Rn); sup y∈Rn‖u‖L p ρy(Rn)< ∞ ) , (2.6.3)
com a norma dada por ‖u‖Llup(Rn)= supy∈Rn‖u‖Lp ρy(Rn).
Primeiramente, observamos que se ρ ∈ L1(Rn) ∩ L∞(Rn), então Lp(Rn), L∞(Rn) ⊂
Llup(Rn) ⊂ Lp ρ(Rn).
Consideramos também o subespaço ˙Lp lu(R
n) das funções contínuas por translação com
respeito à norma ‖ · ‖Llup(Rn). Isto é,
˙Lp lu(R n) =n u∈ Llup(Rn) : ‖τyu− u‖Lp lu(Rn)→ 0, quando ‖y‖ → 0 o .
Os espaços definidos acima dependem da função peso que escolhida, contudo este detalhe é comumente omitido da notação. Definiremos uma classe de funções peso para as quais os espaços Lp
lu(Rn) coincidem. Na literatura comumente fixa-se um peso que faz parte desta classe,
2.6. Espaços uniformemente locais 43
Definição 2.6.1. A classe I consiste dos pesos contínuos, estritamente positivosρ que satisfa- zem as seguintes propriedades:
(i) ρ ∈ L1(Rn),
(ii) existem constantes λ ,c > 0 e r ≥ 0 tais que, para qualquer ξ ∈ Rn, com |ξ| ≥ r
ρ(ξ ) ≤ c min |x−ξ |≤λρ(x). (2.6.4) Observamos que: 1. Se ρ ∈ I , então ρ ∈ L∞(Rn) e sup x∈Rnρ(x) ≤ c V(λ ) Z Rnρ(x)dx, (2.6.5)
onde V (λ ) = V (1)λndenota o volume da bola n-dimensional de raio λ .
2. Se ρ ∈ I , então ρα
∈ I desde que α ≥ 1.
3. A condição (ii) é equivalente ao seguinte: “para todo λ > 0, existe c = c(λ ) > 0 tal que ρ(ξ ) ≤ c min
|x−ξ |≤λρ(x), para qualquer ξ ∈ R n”.
Em particular, se ρ ∈ I , então para qualquer ε > 0, o peso ρε(x) = ρ(εx) ∈ I e os
espaços Lp ρε(R
n) e Lp
ρ(Rn) coincidem com normas equivalentes.
Proposição 2.6.2. Assuma que ρ : Rn → (0,∞) é uma função peso contínua e estritamente positiva. Então Llup(Rn) ⊂ Lp
U(Rn) com inclusão contínua. O mesmo é válido para ˙L p
lu(Rn) e
˙Lp U(Rn).
Se, em adição, ρ ∈ I , então os espaços Lp lu(R
n) e Lp
U(Rn) coincidem algébrica e topolo-
gicamente. O mesmo vale para ˙Lp
lu(Rn) e ˙L p U(Rn).
Lembramos que Wlock,p(Rn) é o espaço de todas as funções u ∈ Lp
loc(Rn) cujas derivadas
distribucionais Dσuestão em Lp
loc(Rn), para todo σ multi-índice com |σ| ≤ k.
Definiremos agora os espaços de Sobolev uniformemente locais. Para 1 ≤ p ≤ ∞ defini- mos: 1. u ∈ Wρk,p(Rn) se e só se u ∈ Wlock,p(Rn) e ‖u‖Wk,p ρ (Rn)=
∑
|σ|≤k ‖Dσu‖Lp ρ(Rn)< ∞.2. u ∈ Wluk,p(R n) se e só se u ∈ Wk,p loc(R n) e ‖u‖Wk,p lu (Rn) =
∑
|σ|≤k ‖Dσu‖Lp lu(Rn)< ∞.Também consideramos o subespaço das funções contínuas por translações na norma ‖ · ‖Wk,p
lu (Rn)
, denotado, como antes, por ˙Wluk,p(Rn).
3. u ∈ WUk,p(Rn) se e só se u ∈ W k,p loc(Rn) e ‖u‖Wk,p U (Rn) =
∑
|σ|≤k ‖Dσu‖Lp U(Rn)< ∞, ou, equivalentemente, ‖u‖Wk,p U (Rn) = sup x∈Rn‖u‖W k,p(B(x,1))< ∞.De maneira completamente análoga definimos o subespaço das funções contínuas por translações denotado por ˙WUk,p(Rn).
Para todo x ∈ Rn e h ∈ B
Rn(0; 1), se u ∈ W1,p(B(x, 2)) então podemos escrever u(x +
h) − u(x) =R01∇u(x + sh) · hds e, dessa maneira,
Z B1(x)|u(x + h) − u(x)| p dx≤ Z B1(x) Z 1 0 ‖∇u(x + sh)‖ p ‖h‖pdsdx portanto ‖u(· + h) − u‖Lp(B(x,1))≤ c‖h‖ (2.6.6)
em que c = ‖∇u‖Lp(B(x,2)). Isto é, Wk+1,p
U (Rn) ⊂ ˙W k,p
U (Rn), para todo k ∈ N.
É importante considerarmos espaços intermediários em adição aos que definimos acima. Para isto considere ((·,·))θ qualquer functor de interpolação.
Definição 2.6.3. Para 1 ≤ p < ∞, k ∈ Z+ e s ∈ (k,k + 1) ponha θ ∈ (0,1) dado por s = θ(k +
1) + (1 − θ)k, Isto é, θ = s − k. Definimos os espaços intermediários:
(i) Para Ω = B(y,1), y ∈ Rn, ou qualquer domínio suave em Rn, definimos
Ws,p(Ω) = Wk+1,p(Ω),Wk,p(Ω) θ, Ws,p(Rn) = Wk+1,p(Rn),Wk,p(Rn) θ e Wρs,p(Rn) = Wρk+1,p(Rn),Wρk,p(Rn) θ. (ii) Wlus,p(Rn) = Wluk+1,p(Rn),Wluk,p(Rn) θ e ˙ Wlus,p(Rn) = W˙luk+1,p(Rn), ˙Wluk,p(Rn) θ.
2.6. Espaços uniformemente locais 45
(iii) Alternativamente, podemos definir o espaço AWs,p
lu (Rn), o espaço das funções tais que
sup
y∈Rn‖u‖W s,p
ρy (Rn)< ∞,
com norma dada por
‖u‖AWk,p lu (Rn) = sup y∈Rn‖u‖W s,p ρy (Rn).
E, considerando os elementos contínuos por translações, temos AW˙s,p lu (R n). (iv) WUs,p(Rn) = WUk+1,p(Rn),WUk,p(Rn) θ e ˙ WUs,p(Rn) = W˙Uk+1,p(Rn), ˙WUk,p(Rn) θ.
(v) Como anteriormente, podemos definir o espaço AWs,p
U (Rn) como o espaço das funções
tais que
sup
y∈Rn‖u‖W
s,p(B(y,1))< ∞
com norma dada por
‖u‖AWs,p
U (Rn)= sup
y∈Rn‖u‖W
s,p(B(y,1)).
E considerando os elementos que são contínuos por translações temos o subespaço
AW˙ s,p U (Rn).
As famílias de espaços definidos acima dependem do functor de interpolação e são decrescentes à medida em que aumentamos s e/ou p.
Lema 2.6.4. Os elementos de ˙WUs,p(Rn) e ˙Wlus,p(Rn) são contínuos por translação na norma de cada espaço respectivamente.
Em adição aos resultados anteriores, para qualquer functor de interpolação ·,·θ, θ ∈ (0,1):
Proposição 2.6.5. Sejaρ : Rn→ (0,∞) uma função peso contínua e estritamente positiva. Para
1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ Z+, θ ∈ [0,1) e pondo s = k + θ temos (1) para cada y ∈ Rn Wlus,p(Rn) ⊂ AWs,p lu (Rn) ⊂ W s,p ρy (R n) ∩ ∩ ∩ WUs,p(Rn) ⊂ AWUs,p(Rn) ⊂ Ws,p(B(y, 1))
(2) Assuma que ρ ∈ I , então os espaços WUs,p(Rn) e W s,p
lu (Rn) coincidem algébrica e topolo-
gicamente. O mesmo vale para os espaços ˙WUs,p(Rn) e ˙Ws,p lu (Rn).
Vamos estender a desigualdade de Nirenberg-Gagliardo e as imersões de Sobolev para os espaços uniformemente locais definidos acima.
Vamos, primeiro, fixar algumas notações. Se k ∈ Z+denotamos por Ck
bd(Rn) o espaço das
funções com todas derivadas parciais contínuas e limitadas até a ordem k, C∞ bd =
T∞
k=0Cbdk (R n) e
BUCk(Rn) ⊂ Cbdk (Rn) é o subespaço das funções com todas derivadas parciais uniformemente contínuas e limitadas até a ordem k.
Para k ∈ N e µ ∈ (0,1), Ck+µ(Rn) denota o espaço de Banach das funções u ∈ BUCk(Rn)
uniformemente Hölder contínuas em Rnjuntamente com suas derivadas até ordem k, embutido
com a norma ‖u‖Ck+µ(Rn)=
∑
|σ|≤k sup x∈Rn|D σu (x)| +∑
|σ|=k sup 0<|x−y|<1 |Dσu(x) − Dσu(y)| |x − y|µ .Observamos que as seguintes inclusões Ck+µ(Rn
) ⊂ BUCk(Rn) ⊂ Cbdk (Rn) ⊂ BUCk−1(Rn) são válidas.
Para obtermos melhores resultados devemos considerar o functor de interpolação na definição dos espaços acima como sendo o functor de interpolação complexa, usualmente denotado por [·,·]θ, θ ∈ (0,1). A interpolação complexa dos espaços de Sobolev de ordem
inteira resulta nos chamados espaços de potenciais de Bessel. Lema 2.6.6. (i) Se s1≥ s2≥ 0, 1 ≤ p1≤ p2< ∞ e s1− pn1 ≥ s2−pn2, então AWs1,p1 U (R n ) ⊂ AWUs2,p2(Rn)
e se s1> s2 e p1≤ p2as inclusões são localmente compactas, Isto é, para qualquer Ω ⊂ Rn
limitado e suave as inclusões
A
WUs1,p1(Rn) ⊂ Ws2,p2(Ω)
são compactas. Mais ainda, ‖u‖AWs,p U (Rn)≤ C‖u‖ θ AWs1,p1 U (Rn)‖u‖ 1−θ AWs2,p2 U (Rn) , onde θ ∈ [0,1], 1p≤ θ p1+ 1−θ p2 , 1 < p, p1, p2< ∞ e s−n p ≤ θ s1− n p1 + (1 − θ) s2− n p2 .
(ii) Se 1 ≤ p < ∞ e s ≥ 0, seja k = [s−n/p], a parte inteira de s−n/p, e 0 < µ < s−n/p−k < 1, então a inclusão
AWs,p
U (R
n
2.6. Espaços uniformemente locais 47
é contínua e localmente compacta. Mais ainda, ‖u‖Ck+µ(Rn)≤ C‖u‖θAWs,p U (Rn)‖u‖ 1−θ LqU(Rn) com 0 < µ < 1, θ ∈ [0,1] e 1 < p,q < ∞ e, ainda, k+ µ ≤ θ s−n p + (1 − θ )nq. (iii) Se ρ ∈ I , a inclusão AWs1,p1 U (Rn) ⊂ W s2,p2
ρ (Rn) é compacta, desde que s2∈ N, s1> s2,
1 < p1≤ p2< ∞ e s1−pn1 > s2− pn2.
A parte (iii) do Lema2.6.6é verdadeiro para os espaços WUs,p(Rn) com s ∈ N, contudo
podemos estendê-lo para os espaços intermediários pela interpolação.
Sobre a densidade de espaços de funções nos uniformemente locais enunciamos o seguinte lema. Lema 2.6.7. Se ρ ∈ I e 1 ≤ p < ∞, então C∞bd(Rn) ⊂ \ k∈N ˙ WUk,p(Rn) é um subconjunto denso de ˙WUs,p(Rn), para cada s ≥ 0.
Vamos terminar esta seção apresentando alguns resultados que garantem que operadores de segunda ordem elípticos geram semigrupos analíticos tanto em espaços com peso quanto em espaços uniformemente locais. Os resultados foram extraídos de (ARRIETA et al.,2004).
Seja A:= − n
∑
k,l=1 akl(x)∂k∂l+ n∑
j=1 bj(x)∂j+ c(x), (2.6.7)um operador diferencial de ordem dois com coeficientes a valores complexos satisfazendo fracas condições de regularidade.
Considere as diferenciações parciais Dj= −i∂j e, renomeando as funções coeficientes
em (2.6.7) teremos A= n
∑
k,l=1 akl(x)DkDl+ n∑
j=1 bj(x)Dj+ c(x) (2.6.8)Dizemos que um operador A como em (2.6.8) é elíptico se satisfaz a condição: Definição 2.6.8 (Condição de elipticidade uniforme(M, θ0)). Denotemos por
A0(x, ξ ) = n
∑
k,l=1
akl(x)ξkξl, x, ξ ∈ Rn,
o termo principal de A. Assumimos que os coeficientes akl são limitados e que exitem constantes
M> 0 e θ0∈ (0,π/2) tais que para todo x,ξ ∈ Rncom |ξ| = 1 valem:
A0(x, ξ ) ≥ 1
|arg(A0(x, ξ ))| ≤ θ0. (2.6.10)
Definição 2.6.9 (Operador setorial). Sejam K ≥ 1, a ∈ R e θ ∈ (0,π/2). Dizemos que um operador linear Λ : D(Λ) ⊂ Y → Y é (K,θ,a)−setorial no espaço de Banach Y se o resolvente de Λ contém o setor Sa,θ = {z ∈ C;θ ≤ |arg(z − a)| ≤ π} ∪ {a} do plano complexo e para todo
λ ∈ Sa,θ
‖(λ − Λ)−1‖L(Y )≤
K 1 + |λ − a|.
Note que D(Λ) não precisa ser denso em Y , mas Λ é necessariamente fechado.
Se Λ é setorial, então −Λ gera um semigrupo analítico, contínuo até t = 0 se o domínio de Λ for denso em Y .
Vamos definir uma segunda classe de pesos que será utilizada nos resultados do final da seção.
Definição 2.6.10. Dizemos que uma função peso ρ : Rn→ (0,∞) está na classe R = Rρ0,ρ1 se:
(i) ρ ∈ C2(Rn);
(ii) |∂jρ(x)| ≤ ρ0ρ(x), para todo x ∈ Rne j = 1,...,n, onde ρ0> 0 é uma constante;
(iii) |∂j∂kρ(x)| ≤ ρ1ρ(x), para todo x ∈ Rne j,k = 1,...,n, onde ρ1> 0 é uma constante.
Observe que se ρ ∈ R então |∇ρ(x −ty)| ρ(x −ty) ≤
√
nρ0, o que leva a estimativa
ρ(x) ≤ ρ(x − y)e√nρ0|y|, x,y ∈ Rn. (2.6.11)
Particularmente, se ρ ∈ R, então
ρ(x) ≤ c min
|y−x|≤λρ(y),
com λ ,c > 0 para |x| ≥ r e algum r > 0. E, dessa maneira, se ρ ∈ L1(Rn) ∩ R, então ρ ∈ I .
Teorema 2.6.11. Sejam 1< p < ∞, M > 0, θ0∈ (0,π/2), θ ∈ (θ0, π/2) e ρ0, ρ1> 0 dados.
Existem constantes C,K ≥ 1 e µ > 0 tais que dado qualquer operador elíptico A ∈ E (M,θ0, p)
define um operador (K,θ ,−µ)−setorial no espaço X = Lp
ρ(Rn), para qualquer ρ ∈ Rρ0,ρ1, com
domínio DX(A) = Wρ2,p(Rn). Ainda mais, Aµ:= µI + A é um isomorfismo linear de DX(A) em
X e
‖Aµ‖L(DX(A),X)+ ‖A
−1
2.6. Espaços uniformemente locais 49
Teorema 2.6.12. Sejam 1< p < ∞, M > 0, θ0∈ (0,π/2), θ ∈ (θ0, π/2) e ρ0, ρ1> 0 dados.
Existem constantes C,K ≥ 1 e µ > 0 para os quais qualquer operador elíptico A ∈ E (M,θ0, p)
define um operador (K,θ ,−µ)-setorial no espaço X = Lp
U(Rn) com domínio DX(A) = W 2,p U (Rn).
Ainda mais, Aµ := µI + A é um isomorfismo linear de seu domínio, DX(A) em X e vale
(2.6.12).
Além disso, para λ ∈ S−µ,θ∪ {−µ},
‖λ I − A‖L(WU2,p(Rn),Lp U(Rn))+ ‖(λ I − A) −1‖ L(LUp(Rn),W2,p U (Rn))≤ C(λ , µ,K). (2.6.13) Então −A gera um semigrupo analítico {S(t);t ≥ 0} em LUp(Rn) e a equação linear
(
ut+ ∑nk,l=1akl(x)DkDlu+ ∑nj=1bj(x)Dju+ c(x)u = 0
u(0) = u0∈ LUp(Rn).
tem uma única solução u(t) = S(t)u0, para t ≥ 0.
Note que o Teorema2.6.12é verdadeiro assumindo apenas que ρ ∈ R - podendo assim
assumir pesos que crescem no infito. Neste caso, devemos substituir, no enunciado do teorema, os espaços WUs,p(Rn) pelos espaços Ws,p
lu (Rn).
Lema 2.6.13. Seja{S(t);t ≥ 0} um semigrupo analítico no espaço de Banach X. Suponhamos que para algum espaço de Banach Y e para t > 0 a aplicação
S(t) : X → Y
seja contínua. Então, para cada u0∈ X, a curva do semigrupo (0,∞) ∋ t ↦→ S(t)u0é analítica em
Y. Mais ainda, para cada t0o raio de convergência da série de Taylor em Y não é menor do que
em X.
Em particular, se Y ⊂ X com imersão contínua, então {S(t);t ≥ 0} define um semigrupo analítico em Y .
Corolário 2.6.14. Assuma que A é um operador diferencial como em (2.6.8) com coeficientes akl ∈ BUC(Rn), bj∈ L pj U(Rn) e c ∈ L p0 U (Rn) onde pj> n e p0> n
2. Então, para qualquer 1 <
r≤ ∞ e qualquer u0∈ LUr (Rn), existe uma única solução da equação linear
(
ut+ ∑nk,l=1akl(x)DkDlu+ ∑nj=1bj(x)Dju+ c(x)u = 0
u(0) = u0∈ LUr (Rn)
dada por u(t) = S(t)u0, t ≥ 0, que satisfaz
(0, ∞) ∋ t ↦→ S(t)u0∈ BUC(Rn)
é analítica.
Ainda mais, existem constantes µ,K e α ≥ 0 tais que vale a estimativa ‖S(t)u0‖BUC(Rn)≤ K
eµt
Teorema 2.6.15. Sejam, como no Teorema 2.6.12, 1 < p < ∞, M > 0, θ0 ∈ (0,π/2), θ ∈
(θ0, π/2), ρ0, ρ1> 0 dados e assuma as condições de regularidade mais fortes bj∈ ˙L pj U(Rn) e c∈ ˙LUp0(Rn), onde p j, j = 0,1,...,n, satisfazem as relações: pj= p, se p > n, pj> n, caso contrário. (2.6.15) e p0= p, se p > n/2, p0> n, caso contrário. (2.6.16) Então −A, com domínio D(A) = ˙WU2,p(Rn), gera um semigrupo analítico fortemente contínuo em ˙Lp
U(Rn).