Vamos exemplificar a teoria exibida acima com a clássica equação de Chafee-Infante no domínio um-dimensional [0,π]
(
ut− uxx= λ u − u3,
2.8. A equação autônoma de Chafee-Infante 57
Observamos que f (s) := s − s3satisfaz propriedades de crescimento comuns, como s f (s) < 0, para s > 1. Então a equação (2.8.1) gera um semigrupo em H1
0(0, π) e o funcional L(u) = 1 2‖∇u‖L2− Z ΩF(u(x))dx, com F(s) = Z s 0 f(r)dr, (2.8.2) é contínua de H1
0(0, π) em R, não crescente ao longo de trajetórias e se L (u(t)) é constante u(t)
também será constante. Isto é, L é um funcional de Lyapunov para o semigrupo das soluções de (2.8.1) e este é um sistema gradiente, o que significa que entenderemos a estrutura do atrator global se entendermos seu conjunto de equilíbrios.
Um equilíbrio de (2.8.1) deve ser uma solução da equação elíptica (
−uxx= λ u − u3
u(0,t) = u(π,t) (2.8.3)
e somos capazes de achar soluções para a equação acima considerando soluções da equação diferencial ordinária de dimensão dois
(
ux= v
vx= −λ u + u3.
(2.8.4) Utilizaremos o plano de fase para estudarmos a equação acima, considerando x como uma variável de tempo. Primeiro observamos que
E(u, v) :=v 2 2 + λ u 2 −u 4 4 (2.8.5)
é constante ao longo de qualquer solução. O retrato de fase de (2.8.4) é mostrado na Figura3, são trajetórias fechadas enquanto 0 ≤ E(u,v) < λ2/2.
Devemos achar uma solução de (2.8.4) que satisfaça as condições de fronteira de (2.8.3), ou seja, precisamos de trajetórias que comecem com u = 0 (isto é, no eixo v) em x = 0 e que retornem ao eixo v quando x = π. Para um dado valor de energia E a velocidade na coordenada ué dada por
ux= v =
r
2E − λu2+u4
2
e uma solução começando com u = 0 e v =√2E move-se no sentido horário até atingir o eixo u em u = u0, em que E = λu 2 0 2 − u40 4 .
O ‘tempo’ x(E) que a solução leva para atingir este ponto é dado por x(E) = Z u0 0 1 q 2E − λu2+u4 2 du. (2.8.6)
u v
Figura 3 – Retrato de fase de (2.8.4)
1. x(E) → ∞, quando E → λ2 4;
2. x(E) → π
2√λ, quando E → 0
+;
3. x(E) é uma função estriamente crescente em E. Em particular, segue que para E ∈ (0,λ2
4 )
π
2√λ < x(E) < ∞.
Para obter uma solução de (2.8.3) através de uma solução de (2.8.4), precisamos de uma solução com 2nx(E) = π, para algum inteiro n: circulamos ao redor da origen n/2 vezes, terminando a trajetória de volta no eixo v. Para encontrar o número de pontos fixos da equação (2.8.1), devemos então encontrar o número de distintos E para os quais 2nx(E) = π.
Primeiramente, se λ < 1, então √π
λ > π, portanto a única solução que satisfaz os critérios
é a origem. Isto corresponde ao equilíbrio u ≡ 0, o qual será denotado por φ0.
Se 1 < λ < 22, então os valores de x(E) são limitados por baixo por π/4 mas incluem o valor π/2. Logo existem dois novos pontos fixos, correspondentes a órbitas que fazem meia volta. Denominamos tais soluções por φ±
1 . Similarmente, se 22< λ < 32, então também temos órbitas
que dão 3/2 voltas em torno da origem, pois uma das órbitas possui x(E) = π/6, chamamos estas soluções de φ±
2 e temos cinco equilíbrios ao todo.
Continuamos esse processo e temos uma descrição completa dos pontos de equilíbrios do sistema.
2.8. A equação autônoma de Chafee-Infante 59
Teorema 2.8.1. Se n2 < λ ≤ (n + 1)2, então existem 2n + 1 equilíbrios para a equação de Chafee-Infante (2.8.1), φ0e os n pares φ±j , j = 1,...,n. A função φ±j tem j zeros em (0,π).
Como vimos que o sistema gerado pela equação de Chafee-Infante é gradiente, podemos afirmar então que seu atrator global, A , é dado por
A =
n [ j=0
Wu(φ±j ),
com a convenção de que φ± 0 = 0.
61
CAPÍTULO
3
EQUI-ATRAÇÃO E CONTINUIDADE DE
SEMIFLUXOS SKEW-PRODUCT
No trabalho (BORTOLAN; CARVALHO; LANGA, 2014) os autores dão hipóteses que garantem a existência de atratores globais para semifluxos skew-product e relacionam tais atratores com as demais características assintóticas existentes no sistema, os atratores uniformes e atratores cociclo, por exemplo. No mesmo trabalho os autores também demonstram existência de estruturas do atrator global do semifluxo skew-product e dão condições para que estas estruturas sejam estáveis. Neste capítulo, alternativamente, demonstramos como obter estabilidade dos atratores globais do semifluxo skew-product através do conceito de equi-atração, o qual generalizamos para semifluxos skew-product, e comparamos a continuidade dos atratores para o semifluxo skew-product com a continuidade dos atratores uniformes e atratores de cociclo.
Na Seção3.1apresentamos uma definição de equi-atração para semifluxos skew-product e demonstramos a equivalência entre continuidade de atratores globais, incluindo resultados sobre taxas de convergência de atratores, na Subseção3.1.2. Na Seção3.2desenvolvemos a definição de equi-atração em outros contextos de atratores não autônomos, na Subseção 3.2.1apresen- tamos e demonstramos a relação entre equi-atração e continuidade para atratores uniformes, já na Subseção3.2.2tratamos dos atratores cociclo, que muito lembram os atratores pullback. Finalmente, na Seção 3.3comparamos a continuidade das diferentes formas de estabilidade assintótica apresentada nas seções anteriores.
Começamos fixando a notação e hipóteses assumidas durante o capítulo. Sejam X um espaço de Banach e (C ,ρ) um espaço métrico completo em que atua um grupo {θ(t) : t ∈ R}. Em C tomamos uma família de elementos, os quais denotamos por {ση ∈ C : η ∈ [0,1]}, que
satisfaz
θ (t)ση → θ(t)σ0, quando η → 0+, uniformemente para t ∈ R. (3.0.1)
fecho de Γη. Assumimos que
Σ:= [
η∈[0,1]
Ση é compacto em C . (3.0.2)
De (3.0.1) é fácil ver que a família de fechados {Γη : η ∈ [0,1]} é contínua em η = 0
em C , isto é,
distH(Γη, Γ0) → 0, quando η → 0.
Suponhamos então que {(ϕη, σ )(X,Ση): η ∈ [0,1]} seja uma família de sistemas dinâmi-
cos não-autônomos e definamos o semifluxo skew-product em Xη := X × Ση, πη(t) : Xη → Xη
como usual
πη(t)(x, σ ) = (ϕη(t, σ )x, θ (t)σ ).
Para cada η ∈ [0,1] assumimos que existe atrator global Aη para o semifluxo skew-
product correspondente. Consequentemente existe um atrator uniforme Aη = ΠXAη, em que
ΠX: X × Σ → X denota a projeção na primeira coordenada, para o sistema dinâmico não autônomo (ϕη, θ )(X,Ση) em X.
Também podemos expressar o atrator global do semifluxo skew-product Aη no espaço
cartesiano Xη por meio dos atratores cociclo. Para cada η ∈ [0,1], sabemos que Aη ⊂ Aη× Ση,
contudo a igualdade em geral não é verdadeira. Suponhamos que exista atrator cociclo o para o sistema dinâmico não autônomo (ϕη, θ )(X,Ση), o qual é denotado por {Aη(σ ) : σ ∈ Ση}, então
(veja Teoremas2.5.10e2.5.11ou (CARABALLO et al.,2013, Theorem 3.4) ou (KLOEDEN; RASMUSSEN,2011, Propositions 3.30 e 3.31))
Aη = [
σ ∈Ση
Aη(σ ) × {σ}.
Assumimos também que para a família {ση : η ∈ [0,1]} temos, para cada η ∈ [0,1]
Aη = [
τ∈R
Aη(θ (τ)ση) × {θ (τ)ση}. (3.0.3)
Observamos que a identidade (3.0.3) não precisa necessariamente ser satisfeita, pois não temos um controle sobre como se comportam elementos de Γη nem os atratores cociclo
correspondentes. Contudo, o Lema abaixo nos dá uma condição suficiente para (3.0.3).
Lema 3.0.1. Com a nomenclatura acima, assumamos que (3.0.1) e (3.0.2) são satisfeitas e, ainda mais,
lim
t→∞sup τ∈R
dist(ϕη(t, θ (τ −t)ση)B, Aη(θ (τ)ση)) = 0, (3.0.4)
para qualquer limitado B em X. Então, o atrator global para o semifluxo skew-product é dado por Aη = [
τ∈R
63
Demonstração. Uma das inclusões é trivial, uma vez que Aη(θ (τ)ση) × {θ (τ)ση} ⊂ Aη, para
todo τ ∈ R e Aη é fechado em X × Ση.
Reciprocamente, fixemos (x,σ) ∈ Aη. Note que, da definição de Ση, existe uma sequên-
cia τk ∈ R tal que θτkση → σ em Ση. Devemos mostrar, então, que existe uma sequência
xk∈ Aη(θτkση) de forma que xk→ x em X quando k → ∞.
De fato, se {Sησ(t, s) : t ≥ s} denota o processo de evolução definido em (2.5.7), sabemos
que x ∈ Aη(σ ), que é o atrator pullback para o processo de evolução Sησ(·,·), no tempo t = 0,
portanto existe uma solução global γ : R → X para {Sησ(t, s) : t ≥ s} tal que γ(t) ∈ Aη(θ (t)σ ),
para todo t ∈ R, γ(0) = x e
Sησ(t, s)γ(s) = γ(t), para qualquer t ≥ s. (3.0.5)
Observe que Γ :=St∈Rγ(t) é limitado. Logo de (3.0.4) lim
t→∞τ∈Rsupdist (ϕη(t, θ (−t)θ(τ)ση)Γ, Aη(θ (τ)ση)) = 0.
Assim, dado ε > 0, existe t0= t0(Γ, ε) > 0 tal que para t ≥ t0
sup τ∈R sup r∈R dist ϕη(t, θ (−t)θ(τ)ση)γ(r), Aη(θ (τ)ση)<ε 2. Então, para todo r ∈ R, existe xk
r ∈ Aη(θ (τk)ση) com ϕη(t0, θ (−t0)θ (τk)ση)γ(r) − xrk < ε2. (3.0.6) Como θ (τk)ση → σ em Ση e para cada η ∈ [0,1] o sistema dinâmico não autônomo
(ϕη, θ )(X,Ση) é uniformemente contínuo em compactos de X, obtemos
ϕη(t0, θ (−t0)θ (τk)ση)γ(r)k−→ ϕ→∞ η(t0, θ (−t0)σ )γ(r)
uniformemente em r ∈ R. Consequentemente, existe k0∈ N tal que, para k ≥ k0,
sup
r∈R
ϕη(t0, θ (−t0)θ (τk)ση)γ(r) − ϕη(t0, θ (−t0)σ )γ(r) < ε
2. (3.0.7) Unindo (3.0.6) e (3.0.7), escolhemos r = −t0 e tomamos xk := xk−t0 ∈ Aη(θ (τk)ση),
obtendo
‖ϕη(t0, θ (−t0)σ )γ(−t0) − xk‖ < ε. (3.0.8)
Enfim, de (3.0.5), observando que x = Sησ(0, −t0)γ(−t0) = ϕη(t0, θ (−t0)σ )γ(−t0), subs-