Geometria Hiperbólica
A geometria dinâmica12 é uma das ferramentas que apareceram nos últimos anos, afetando diretamente o ensino de Geometria, que permite uma construção geométrica seguida da movimentação de seus elementos, sem que as construções (propriedades geométricas) sejam desrespeitadas. As figuras geométricas de estáticas passam a adquirir movimento e podemos citar alguns benefícios como a exploração de situações, interatividade, visualização, rapidez e uma nova possibilidade do estudo das transformações e dos lugares geométricos.
Vemos emergir uma nova forma de ensinar e aprender Geometria; a partir de exploração experimental viável somente em ambientes informatizados, os alunos conjecturam e, com o feedback constante oferecido pela máquina, refinam ou corrigem suas conjecturas, chegando a resultados que resistem ao “desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de argumentação e demonstração Matemática. (GRAVINA, 1996, p.1)
Relatamos os principais softwares não gratuitos que existem no mercado que possibilitam o estudo da Geometria Hiperbólica e suas principais características, que serviram de base para a escolha do programa utilizado no desenvolvimento desta proposta.
1. O Cabri-Géomètre13 II é dinâmico, foi criado na França, na Universidade Joseph Fourier, em Grenoble, por Yves Baulac, Frank Bellemain e Jean-Marie Laborde (Laborde & Bellemain,
12 A denominação Geometria Dinâmica (dynamic geometry) é marca registrada da Key
Curriculum Press.
13 A denominação Cabri é originada do francês Cahier de Brouillon Informatique (caderno de
1994), é disponível em seis línguas e compatível com várias plataformas. Tem o CabriJava como ferramenta de exportação das construções para a Web que possibilita construções prévias que podem ser inseridas nos menus e utilizadas em outras construções (macro construções). Existem também menus para o estudo de outras geometrias. Em especial, para a Geometria Hiperbólica o menu pode ser
extraído do site http://www-
cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm. É o software mais conhecido no Brasil, foi distribuído gratuitamente para a rede estadual de ensino.
Figura 1.1: construção geométrica com o software Cabri-Géomètry
2. O Cinderella foi criado na Alemanha por Jϋrgen Richter- Gebert e Ulrick Kortenkamp (Gerbet & Kortenkamp; 1996- 2003), é dinâmico e escrito na linguagem JAVA (Sum Microsystems – 1992). Seu principal diferencial é a exploração da mesma construção em diferentes geometrias (Euclidiana, Hiperbólica e Esférica) e a facilidade para salvar
as construções como página HTML para disponibilização na Internet. O modelo hiperbólico (disco de Poincaré) faz parte do software (suporte nativo), não sendo necessária sua construção. Permite a elaboração de exercícios interativos com sugestões e posterior verificação automática da solução. Este software foi distribuído às escolas de Portugal e é mais utilizado na Europa.
Figura 1.2: construção geométrica com o software Cinderella
3. The Geometer’s Sketchpad (Jackin, 1990) ou GSP é dinâmico, foi desenvolvido por Nicolas Jackiw nos Estados Unidos da América (USA), sendo comercializado pela Key Curriculum Press e é semelhante ao Cabri. Possui possibilidade de estudo da Geometria Hiperbólica no modelo de Poincaré. Converte as construções para HTML, utilizando o JavaSktchpad, como ferramenta de exportação para a Web.
Figura 1.3: construção geométrica com o software Sketchpad14
4. NonEuclid é um software “estático” criado por J. Castellanos (1994-2002) permite o estudo da Geometria Hiperbólica nos dois modelos de Poincaré: o disco e o semiplano. Apresenta uma versão em espanhol e outra em italiano.
Figura 1.4: construção geométrica com o software NonEuclid
14 Extraído de: http://toledo.pcc.usp.br/pdf/graphica2000_software.pdf. Acesso em 21 dez.
Existem também alguns softwares estáticos específicos para o estudo da Geometria Hiperbólica, pouco divulgados no Brasil, entre eles, o Poincaré Disc, (George D. Parker) e o PoincaréDraw, (Robert L. Foote, 1998), freqüentemente, empregados na construção de tesselações.
Poincaré Disc PoincaréDraw
Figura 1.5: construções geométricas com os softwares Poincaré Disc e PoincaréDraw15
Educadores experientes refletem sobre o uso dessas tecnologias em sala de aula, apresentam preferências em relação aos softwares, classificando- os segundo a faixa etária dos alunos, a interatividade, o conteúdo matemático e a contribuição no ensino.
[...] os programas de geometria dinâmica contribuem para que o ensino da geometria constitua uma verdadeira experiência Matemática para os alunos... não se pode querer melhor renovação para o ensino do que esta! [...] Quanto ao Cinderella, acho que nesta versão inicial a sua utilização preferencial deva ser feita de acordo com aquilo que o distingue positivamente dos outros dois programas [Cabri, GSP], ou seja, a facilidade de trabalho em geometrias não- euclidianas. (VELOSO, 2002, p.5)
15 A tela do software Poicaré Disc foi extraída de
http://homepages.gac.edu/~hvidsten/explorer/projects/nonEuclidExample/index.html e a tela do
software PoincaréDraw foi extraída de
Balcewicz (2003) idealizou um estudo de caso com o software Cinderella para analisar o ensino de desenho em ambiente virtual e concluiu que 80% das respostas foram positivas:
[...] o que possibilita inferir que o software Cinderella ora avaliado é “muito bom” e apropriado para a mediação do ensino de desenho. Considerando os resultados apresentados nesta pesquisa, pode-se afirmar que os recursos disponibilizados no software Cinderella são adequados como instrumento de mediação para o processo de ensino-aprendizagem do desenho, analisados na interface pedagógica, recomendando-se este como recurso didático para as disciplinas de desenho geométrico, desenho técnico e geometria descritiva. (BALCEWICZ , 2003, p. 87)
Reis (2006, p.18) em sua dissertação trabalhou com o software Cinderella no estudo da Geometria Esférica. Cita seu diferencial em relação aos outros softwares, que é o fato de permitir construções geométricas no plano euclidiano, hiperbólico e elíptico, mostrando as projeções das figuras de um plano em outro. A autora relata também suas deficiências, como a falta do recurso de construção de “macros”, presente na versão 2.0 do software, problemas em colorir totalmente as tesselações esféricas e ainda a impossibilidade de se “construir retas com ângulos fixos passando por um ponto predeterminado na Geometria Elíptica” (REIS, 2006, p.24).
Dentre os softwares dinâmicos listados, optamos pelo Cinderella, considerando ser a divulgação de um software pouco conhecido, e sobretudo por três fatores:
• A facilidade de salvar as figuras em html;
• A possibilidade de incluirmos instruções, passo a passo, nos exercícios de construções geométricas, fato que permite ao aluno a validação de suas construções; e
• Pelo modelo de Poincaré ser nativo, o que permite o recurso de exploração de uma mesma figura nas duas geometrias: Euclidiana e Hiperbólica.