Na Geometria Euclidiana, uma vez que os axiomas e os postulados eram auto-evidentes e, portanto, aceitos por todos, as proposições decorrentes deles (teoremas) só poderiam ser verdadeiras. Mas com as outras geometrias, não era possível essa garantia a priori, pois os novos postulados, em substituição ao V de Euclides, não eram evidentes nem tinham significado físico.
A elaboração de um modelo, ou seja, uma representação gráfica, tornou-se necessária, isto é, uma interpretação dos termos primitivos de forma que os axiomas fossem reconhecidos como verdadeiros. Trudeau (2004) define modelo de um sistema axiomático formal “toda interpretação (significado) dos termos primitivos tais que os axiomas tornem-se enunciados verdadeiros”. (TRUDEAU, 2004, p.254, tradução nossa original em italiano)
Segundo Bergamini et al (2003)
Modelos construídos mostram também uma outra vantagem: por meio deles foi possível visualizar os entes do plano não-euclidiano com entes particulares do plano euclidiano, o que tornou claro, ao menos em parte, a natureza altamente não intuitiva da Geometria de Lobachewsky. (BERGAMINI et al., 2003, p.25, tradução nossa do original italiano).
O primeiro a elaborar um modelo para a Geometria Hiperbólica foi Beltrami, seguido de Klein e Poincaré, cujas idéias principais apresentaremos a seguir.
• Eugenio Beltrami (1835-1900) – Modelo: Pseudo-esfera (1868)
Em sua obra Saggio de interpretazione della geometria non-euclidea de 1868, Beltrami desenvolveu um modelo que, depois, verificou-se ser somente válido localmente, conforme trabalhos de Helmholtz (1870), Klein (1871), Genocchi (1877) e Hilbert (1901), que não é mais utilizado como modelo da Geometria Hiperbólica. Segundo Laffi (1999),
O modelo e Beltrami, não sendo um modelo rigoroso, é importante do ponto de vista histórico, pois foi o primeiro de vários modelos que possibilitaram a queda da oposição preconceituosa dos novos sistemas axiomáticos e forneceu a chave para interpretar as novas geometrias não-euclidianas (LAFFI, 1999).
Figura 1.6: Modelo de Beltrami16
A superfície da pseudo-esfera é uma superfície de revolução, ilimitada, obtida pela rotação de uma tractriz17 (LAFFI, 1999).
Características do Plano:
Quadro 1.1: Características do Modelo de Beltrami Elementos Modelo hiperbólico Ponto B-Ponto: pontos da pseudo-esfera.
Reta B-Reta: geodésia (arco de círculo máximo) Plano B-Plano: Pseudo-esfera
• Félix Klein (1849-1925) – Modelo: Disco de Klein (1871)
16 Extraído de: http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/Tract/Tract4c.html
17 “A tractriz foi imaginada por um médico francês, Claudio Perrault (1613-1688), que a
apresentou sob a forma de um problema: qual seria a curva descrita por um ponto pesado preso ao extremo de um fio, supondo que o outro extremo desse fio percorresse uma reta fixa ? Essa curva não pode ser construída com régua e compasso, mas Huyghens descobriu várias formas mecânicas para desenhá-la. Pois bem, imaginem esta curva girando ao redor de suas assíntotas. No fim da rotação completa ela vai gerar uma superfície de revolução, ilimitada, conhecida pelo nome de pseudo-esfera.(BRITO, 1995, p.138)
Klein sugeriu um modelo plano que utiliza a Geometria Projetiva. Retas e e f são paralelas limites à d por M.
Retas b e d são secantes
Retas g e h são hiperparalelas à d por M.
P e Q são pontos ideais, pois se localizam na circunferência limite. Figura 1.7: Modelo de Klein18
Características do Plano:
Quadro 1.2: Características do Modelo de Klein
Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Disco de Klein: círculo euclidiano C de raio r=1 e centro O.
Ponto K-Ponto: pontos do plano euclidiano do interior de C. Os pontos da circunferência são os pontos ideais (ou do infinito) e não pertencem ao plano hiperbólico.
Reta K-Reta: Cordas abertas de C e diâmetros abertos
Plano K-Plano: conjunto de pontos do interior de C. Distância entre dois pontos (A e
B). Os pontos P e Q pertencem à circunferência C e a reta que passa por AB
18 Extraído de: http://www-
1 . ( , ) ln 2 . k AP BQ d A B BP AQ =
• Jules Henri Poincaré – (1854-1912) – Modelo: Disco de Poincaré
Poincaré criou um modelo que utiliza transformações elementares.
Retas AB e FE são paralelas à CD
por M
Reta IJ é secante à CD RetaGH é hiperparalela à CD Figura 1.8: Modelo de Poincaré19
Características do Plano:
Quadro 1.3: Características do Modelo de Poincaré Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Disco de Poincaré: circunferência euclidiana C de raio r e centro em O.
Ponto P-Ponto: pontos do plano euclidiano do interior de C. Os pontos da circunferência
são os pontos do infinito.
Reta P-Reta: arcos de circunferências abertos20, ortogonais a C; e cordas abertas que passam pelo centro O de C (diâmetros abertos).
Plano P-Plano: conjunto de pontos do interior de C. Distância entre dois pontos (A e
B). Os pontos P e Q pertencem à circunferência C e a reta que passa por AB . ( , ) ln . P AP BQ d A B BP AQ = Características e Propriedades:
a. é definida por cada par de pontos internos ao disco de Poincaré.
b. é sempre positiva ou nula (se A coincide com B) c. possui a propriedade aditiva, graças à propriedade do logaritmo: se A, B e C pertencem ao mesmo segmento e B está entre A e C, então, o comprimento de AC é: med AB( )+med BC( )=med AC( )
d. O comprimento de AB tenderá ao infinito se o
ponto B tender a Q ou se o ponto A tender a P. e. med AB( )=med BA( )
f. o comprimento da reta hiperbólica é ∞.
• Jules Henri Poincaré – (1854-1912) – Modelo: Semiplano Superior de Poincaré
Poincaré criou outro modelo, com as características abaixo descritas:
O modelo é um semiplano superior.
Figura 1.9: Modelo do Semiplano de Poincaré21
Características do Plano:
Quadro 1.4: Características do Modelo do Semiplano de Poincaré Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Semiplano Superior: semiplano euclidiano, determinado pelo eixo x e pelos pontos que se encontram acima do eixo x (chamado horizonte), de ordenada positiva.
Ponto P1-Ponto: pontos do interior de semiplano. Reta P1-Reta: semicircunferências no semiplano com
centro no eixo x; e semi-retas de origem em pontos do eixo x e ortogonais a ele.
Plano P1-Plano: conjunto de pontos do interior do semiplano.
Optamos por representar a Geometria Hiperbólica no primeiro modelo apresentado por Poincaré, por ser o mais freqüentemente utilizado e estar disponível no software Cinderella. A demonstração da coerência dos axiomas de Hilbert no modelo de Poincaré pode ser consultada em Terdiman (1989).
Introduzimos uma apresentação da distância entre dois pontos no modelo de Poincaré, pois exploramos esse conceito em nosso material didático, com a ferramenta disponibilizada no Cinderella.
Construímos uma circunferência euclidiana de centro O e raio igual a um e os pontos P e Q situados na circunferência e sendo extremos de um diâmetro qualquer. Podemos considerá-la a circunferência limite do modelo de Poincaré. Tomemos dois pontos quaisquer A e B, desse diâmetro para cálculo da distância entre eles.
Note que P e Q não pertencem ao modelo.
Segundo a definição dada, e utilizando as medidas euclidianas fornecidas pelo software, podemos calcular a distância hiperbólica entre os pontos A e B, segundo Klein, em cm:
Figura 1.10: Distância hiperbólica entre dois pontos
Segundo Cabariti (2004, p.37), podemos ainda considerar a circunferência em um eixo cartesiano em que o centro O da circunferência seja o ponto O (0,0).
Os pontos P e Q são determinados por P (-1, 0) e Q (1,0).
Podemos escrever as coordenadas dos pontos A e B como A (t, 0) e B(u, 0), com t e u positivos.
Nessas condições, podemos considerar a distância entre os pontos A e B, em cm.
Figura 1.11: Distância hiperbólica entre dois pontos, representada no eixo cartesiano
No modelo hiperbólico do Cinderella, podemos verificar, que a distância entre os pontos A e B é 0,65812 cm.
Observamos também que a distância entre o centro O e Q é infinito.
Podemos calcular o limite de d(A,B) quando A tender a P ou ainda quando B tender a Q. Pela propriedade dos logaritmos, obteremos o infinito como resultado.
CAPÍTULO II
ASPECTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS
Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que enseñas. (José Ortega e Gasset, apud FERNÁNDEZ, 2004, p.127).
2.1 Introdução
O capítulo II destina-se a apresentação de nossa questão de pesquisa e das hipóteses levantadas, que motivaram e guiaram na execução deste estudo. Posteriormente, descrevemos os princípios de uma Engenharia Didática, que foi a metodologia que escolhemos.
Finalmente, apresentamos as teorias da Educação Matemática de Brousseau (1986) e Duval (1993), que buscamos seguir na elaboração da presente seqüência didática.