Propusemos uma seqüência didática, embasada na Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Guy Brousseau (1986) e nos trabalhos com Demonstrações de Raymond Duval (1993).
O objetivo da TSD é analisar as interferências que ocorrem no ensino da Matemática e, posteriormente, modelar estratégias vencedoras, considerando as relações entre professor, aluno e o saber almejado. O papel inicial do professor é a elaboração de uma situação em que o aluno, considerando seus conhecimentos anteriores, consiga elaborar estratégias de resolução, a partir de sua ação com um meio propício ao processo de ensino e aprendizagem, denominado milieu24.
Assim, o aluno deve assumir a responsabilidade de seu aprendizado, devendo se comprometer com a tentativa de criar alternativas de resolução à situação proposta, cabendo ao professor explicitar essa devolução ao aprendiz. “O professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a solução ótima e passível de ser descoberta para os problemas colocados”. (BROUSSEAU, 1986, p.38)
A TSD sugere quatro fases distintas para o processo de ensino e aprendizagem:
1. Situação de Ação
Momento em que se espera que o aluno se articule, individualmente ou em grupo, na tentativa de solucionar um problema proposto. Agindo com o
milieu, o aluno deve buscar uma solução, provocando uma aprendizagem por
adaptação. Nessa fase, o professor deve observar o desenvolvimento das estratégias elaboradas, sem intervir.
2. Situação de Formulação
24 Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito, sendo o milieu
adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao sujeito, que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua reflexão a respeito de suas ações e sua aprendizagem. Ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem. (ALMOULOUD, 2007, p.35).
Nesta situação o aluno deve formular suas estratégias de resolução, socializando-as com o grupo, justificando as soluções propostas na busca do resultado correto. Nessa fase, o aluno deve identificar os conhecimentos adquiridos que poderão contribuir na descoberta da solução.
3. Situação de Validação
Momento quando o aluno utiliza mecanismos de provas para a solução de um problema, divulgando suas descobertas. O professor deve mediar as apresentações para valorizar as estratégias vencedoras e uniformizar os avanços conquistados pelos alunos.
4. Situação de Institucionalização
Após a exploração da situação proposta, o professor finalmente deverá expor o conteúdo pretendido, o que terá muito mais significado ao aluno, que então poderá utilizar esse saber na resolução de outras situações.
Entendemos que a TSD pode ser utilizada em nossa proposta didática, que contempla momentos presenciais e tarefas a serem realizadas fora do ambiente escolar, inseridas em uma página da Internet.
A dialética da ação propicia ao aluno momentos individuais de investigação, nos quais o professor não deverá interferir. As formulações podem ser validadas pelos alunos pelo confronto de suas respostas com as soluções que foram disponibilizadas e também pelos fóruns e discussões propostos. Além da disponibilização das respostas, esperamos que a institucionalização seja complementada após a análise dos questionamentos dos alunos e da entrega dos exercícios que, nesse momento, terá o papel de apresentar quais os tópicos que ainda não foram entendidos pelos alunos. No decorrer da experimentação, esperamos que tais indícios possam nos orientar no sentido de, eventualmente, propor outras situações de investigação que proporcionem o aprendizado por parte do aprendiz.
Devemos considerar também que os conhecimentos anteriores que se espera que o aluno já tenha apreendido, no caso a Geometria Absoluta e
noções de demonstrações, foram incluídos em nossa página. Dessa forma, pretendemos munir o sujeito do material necessário para que possa pesquisar, apreender e, finalmente, avançar em seus conhecimentos.
Raymond Duval (1993) publicou vários textos sobre a importância da demonstração no ensino da Matemática, em particular na Geometria e defende que, cognitivamente, a demonstração requer uma maneira de raciocinar específica.
Uma demonstração apresenta uma estrutura ternária, devendo contemplar uma premissa (hipótese), regras de inferência (axiomas, teoremas, definições) que permitem concluir uma afirmação (tese). Podemos esquematizar na figura 2.1:
Regras de Inferência Verificação das
condições
Premissa Inferência Conclusão
Figura 2.1: Estrutura Ternária de um passo da demonstração
As condições da premissa são verificadas utilizando uma determinada regra de inferência e, somente então será possível inferir para se chegar a uma conclusão, ou seja, esta é obtida pela implicação da regra de inferência. A estrutura (premissa, regra de inferência e conclusão) terá um “estatuto operatório”, definido no interior de uma demonstração e, à medida que o encadeamento de inferências é feito, seu papel poderá se alterar. Exemplificando, o que foi uma conclusão em um passo da demonstração (em uma estrutura ternária) poderá se tornar uma premissa no passo seguinte.
Duval (1993) propõe que somente com base no entendimento de tal encadeamento é que o aluno se apropria desse conhecimento, a partir do qual a demonstração passa a ser compreendida como um encadeamento de passos válidos.
O autor defende que, nas séries iniciais, o aluno sente dificuldades para perceber as diferenças entre demonstração e argumentação. Demonstrar não é uma atitude natural do sujeito e, portanto, requer uma didática explícita.
D’Amore (1999, p. 351, tradução nossa do original italiano) esboça as principais diferenças apontadas por Duval:
Quadro 2.1: Argumentação x Demonstração
Argumentação Demonstração
Passagem de
uma
proposição a
outra
Usam-se regras implícitas que dependem da estrutura lingüística e da representação escolhida; entram em jogo a metalinguagem e o significado das proposições isoladas; estamos, portanto em plena fase semântica.
Usam-se regras de derivação que devem (deveriam) ter sido explicitadas em precedência ou acordadas; as preposições não veiculam conteúdos semânticos particulares, mas intervêm para o seu papel (ex. premissa, conseqüência) passo por passo, no curso da demonstração.
Papel da
proposição Cada proposição apresenta um papel diferente de seu conteúdo retórico.
Muda ou pode mudar a segunda situação, e isto depende do quadro teórico. Papel dos conectivos que ligam as proposições Os conectivos são os mesmos da linguagem natural, e a sua função é manifestar a reação entre proposições (ex. uma proposição é conseqüência de outra ou a justifica, ou a contradiz, ou a se opõe).
Os conectivos são sempre traços da língua natural, mas são somente os operatórios que agem sobre as preposições não tanto pelo que veiculam do ponto de vista semântico, mas pelo seu estado operatório, podem, às vezes, ser omitidos e subentendidos. Modalidade da concatenação (encadeamento) entre proposições
Ocorre por conexão extrínseca, por acumulação, unem-se umas as outras.
Ocorre por substituição, como em um cálculo, aplicando regras as novas proposições substituem as precedentes.
Para Duval (1993), os passos do raciocínio apresentam naturezas diferentes:
• Passagem direta ou pela referência a uma regra, das premissas à conclusão.
Podemos exemplificar como passagem direta a que é feita em língua natural e considerando-se o conteúdo das premissas. A passagem pela
referência a uma regra é feita quando as premissas fornecem condições para aplicarmos um teorema, uma definição, um axioma ou uma lei lógica.
Neste caso, o passo de raciocínio tem uma estrutura ternária e as proposições não são mais tomadas em função de seu conteúdo, como na passagem direta, mas em função de seu estatuto operatório. (DUVAL, 1993, p.197, tradução nossa do original francês)
• Passagem feita a partir de uma única premissa ou a partir de várias.
O aumento do número de premissas necessárias requer uma maior complexidade cognitiva, exigindo uma apreensão sinóptica, ou seja, uma visão geral do todo.
Segundo Duval (1993) existem quatro tipos de raciocínio que dependem da maneira como é feita a passagem das premissas à conclusão, bem como do número de proposições dadas:
1. Diretamente a partir de uma premissa (inferência semântica – passo do tipo 1): é a inferência imediata de uma proposição à outra, como na compreensão da linguagem natural. Podemos inferir, por exemplo, a partir da premissa “Ele não fuma mais”, que “ele fumou”. Duval (1993a, p.239-245) argumenta que no raciocínio do tipo 1, os tratamentos por negação, ou seja, que combinam duas operações elementares de oposição, para passar de uma proposição à sua contradição, são também inferências semânticas. Desta forma, na elaboração de uma demonstração pela negação da tese, o passo da demonstração (contra-tese) que nega a tese apresentada, é considerado como sendo um passo do tipo 1.
2. Em referência a uma regra, a partir de uma premissa (passo do tipo 2): é a conversão lógica das proposições como, por exemplo, o silogismo aristotélico. O autor segrega o silogismo da dedução, pois considera que o funcionamento dos passos do raciocínio, da passagem das premissas à conclusão é diferente em dois pontos: no silogismo clássico, essa passagem se faz diretamente e não por enunciados
intermediários (resultados dos passos de uma demonstração) e que as premissas não podem ser independentes umas das outras, apresentando sempre um termo comum, que permite a realização do passo do raciocínio. Considerando como premissas, por exemplo, “Todos os pássaros são animais” e “Todas as gralhas são pássaros” podemos concluir que “Todas as gralhas são animais” (Duval, 1983, p. 240). Observa-se que o termo comum é a palavra pássaros. Em razão do tipo de funcionamento, o silogismo aproxima-se mais das inferências semânticas do que de um passo de dedução e se reduz a um único passo de raciocínio.
3. Diretamente a partir de pelo menos duas premissas (inferências discursivas - passo do tipo 3): estas utilizam os enunciados intermediários, não pertencentes a um quadro teórico25. Eles podem ser “uma declaração, um acordo ligado a um contexto particular, um princípio que se impõe como uma norma no meio social” e nesse contexto as inferências são realizadas.
4. Em referência a uma regra, a partir de pelo menos duas premissas (dedução modus ponens - passo do tipo 4): na dedução Matemática, todas as proposições novas derivam como conseqüência de um grupo de axiomas, teoremas e definições, regras, assumidos ou demonstrados em precedência. Um enunciado intermediário comporta duas partes funcionalmente distintas: as proposições antecedentes, a serem consideradas, e a proposição conseqüente que é destacada, devendo ser provada como conclusão. Esse processo de substituição cessa quando se valida a tese.
25 “Um quadro teórico caracteriza-se por um conjunto de estatutos teóricos que determinam sua
organização e as possibilidades de seu desenvolvimento: definições, axiomas, regras, hipóteses, etc. Uma proposição não pode ser enunciada em um quadro teórico sem considerar um desses estatutos”. (DUVAL, 1993, p. 224). Os Elementos, de Euclides, é exemplo de um quadro teórico.
Do ponto de vista lógico, entre os passos dos tipos 2 e 4 não existe diferença, mas devemos considerar as diferenças cognitivas envolvidas.
A sucessão dos passos que objetivam, no caso de uma demonstração, validar um teorema ou no caso de uma argumentação refutá-la, ou aceitá-la, pode ocorrer de duas formas:
• Os passos sucessivos estão explicitamente conectados: quando cada novo passo tem, entre suas premissas, a conclusão do passo precedente, ou seja, há a substituição sucessiva de conclusões até a conclusão final.
• Os passos sucessivos estão extrinsecamente conectados: quando ela não tem essa reciclagem, e a ligação lógica é feita por meio de um conectivo: “então”, “mas”, entre outros.
Embora somente os passos dos tipos 2 e 4 sejam dados em uma dedução, listamos os passos dos tipos 1 e 3 que, além de serem utilizados em uma argumentação, são também empregados em uma demonstração por absurdo, que freqüentemente utilizamos para demonstrar os teoremas da Geometria Hiperbólica.
O raciocínio por absurdo contém passos explicitamente conectados, dos tipos 2 e 4, mas também passos extrinsecamente conectados, dos tipos 1 e 3.
O seu passo inicial consiste em supor verdadeira a proposição contrária a que se deseja demonstrar; o seu passo final parte da contradição entre uma conseqüência desta suposição e uma premissa, para rejeitar a suposição e tomar a proposição a ser demonstrada como o único caso possível. Estes dois passos são do tipo 1 e 3, como em uma argumentação, porque descansam sobre as relações de oposição e não são estritamente separáveis de um conteúdo semântico....Entre o passo inicial e o passo final, pode haver uma simples inferência ou um raciocínio dedutivo e, por conseguinte unicamente passos do tipo 2 ou 4 explicitamente conectados. Este raciocínio dedutivo é desenvolvido até o momento em que produz uma conclusão incompatível com uma das premissas. A dificuldade desse raciocínio está nos passos de diferentes naturezas: uns fundados sobre relações de oposição e outros sobre a aplicação de uma regra de substituição. (Duval, 1993, p. 200)
Os dados do quadro abaixo consolidam a idéia do autor. (Duval, 1983, p.200, tradução nossa do original francês).
Quadro 2.2: Raciocínio Dedutivo x Argumentação x Raciocínio por Absurdo
Raciocínio Dedutivo
Argumentação Raciocínio por Absurdo
Tipo de passo Referência a uma regra (tipo 2 ou 4) Passagem direta (tipo 1 ou 3) 1,2,3,4 Tipo de sucessão entre os passos Explicitamente conectados Neutro Explicitamente conectados e conexão externa Estatuto operatório das proposições Sim, determinado pelo valor epistemológico
Não Sim, no âmbito de uma
demonstração
Redução ao Absurdo (RAA)
Considerando que grande parte dos teoremas da Geometria Hiperbólica é demonstrada pela negação da tese, exploramos essa forma de raciocínio para posterior exemplificação dos tipos de passos definidos por Duval.
A negação da tese é uma forma de raciocínio lógico que consiste em negar a tese apresentada. O passo seguinte consiste em, utilizando a negação da tese e também as premissas apresentadas na hipótese (ou em passos anteriores), derivar uma contradição. Dessa forma, pela lei do terceiro excluído, é possível concluir que a tese é verdadeira.
Com tal raciocínio, supondo a hipótese como p, assumimos ~p (negação da tese) e derivamos uma contradição26, o que nos permite assumir p.
Há vários esquemas de raciocínio por absurdo27, mas limitar-nos- emos a apresentar um deles, utilizado nas demonstrações geométricas desde Euclides.
Aplicando a tabela verdade das proposições simples, determinamos o valor28 das proposições compostas. Na verificação da proposição ((( ^ ~ )p q →~ p)→(p→q)), utilizamos, portanto, a tabela verdade das proposições simples (Quadro 2.3):
Quadro 2.3: Tabela Verdade
∧ ∨ ∨ → ⇔
Aplicando a tabela verdade teremos (Quadro 2.4): Quadro 2.4: Verificação do método de RAA
p q ((( ^ ~ )p q →~ p)→(p→q))
27 1. RAA Clássico
(~ p→~ )q →((~ p→~ )q → p);
2. RAA Clássico – forma alternativa: ( ^ (( ^ ~ )p p q →r) ^ (( ^ ~ )p q →~ )))r →q); 3. RAA Intuicionista: (p→q)→((p→~ )q →~ p);
4. Princípio de Saccheri: (~ p→ p)→ p; 5.RAA Forma Simples: (p→~ p)→~ p . (COSTA e KRAUSE, 2004, p.39)
Verificamos que esse método de raciocínio é uma tautologia29, ou seja, para qualquer valor de p e q o valor da proposição
((( ^ ~ )p q →~ p)→(p→q)) é sempre verdade.
Para exemplificar, demonstraremos a proposição XXVII dos
Elementos.
Proposição: se duas retas de um plano e uma transversal formam ângulos alternos internos congruentes, então as duas retas são paralelas.
Quadro 2.5: Demonstração da Proposição XXVII - Elementos
Hipótese: Sejam as retas ABe CD
intersectadas pela transversal ,EF tal
que A E F^ ≡E F D^ .
Tese: As retas AB e CD são paralelas ( AB CD ).
Demonstração: No do
Passo
Passo Justificativa
01 Sejam as retas AB e CD intersectadas pela transversal EF, tal que
^ ^
A E F ≡E F D.
Hipótese
02 AB não é paralela a CD Negação da Tese 03 AB e CD concorrem em um ponto G
(que pode estar no semiplano esquerdo determinado por EF )
02, definição de paralelas
04 Considerando o triângulo EFG e o ângulo externo A E F^ , temos que
^ ^
A E F >E F D
03, teorema do ângulo externo
05 Absurdo, pois pela hipótese
^ ^
A E F ≡E F D
01; 04
06 Logo AB CD 01-05
07 Prova-se o mesmo considerando que AB e CD concorrem em um ponto H
01-06
Considerando a Hipótese (A E F^ ≡E F D^ ) como p e a Tese (AB CD) como q, podemos elaborar o seguinte esquema (quadro 2.6):
Quadro 2.6: Esquema de RAA No do
Passo
Passo Justificativa
01 p Hipótese
02 ~ q Negação da Tese (passo do
tipo 1)
03 , 04 ~ p Por deduções (passos do tipo 4)
05 (p ^ ~p) , que é absurdo Contradição entre 01 e 04
(passo do tipo 3) 06 Logo (p→q) RAA (passo do tipo 4)
Ao observar os dados do Quadro 2.5, segundo Duval, o passo 2 é considerado do Tipo 1 (negação da hipótese) e o passo 5 do Tipo 3. Este último é de conexão externa, pois reporta-se à lei do terceiro excluído. Os passos 03, 04 e 06 são referentes ao raciocínio dedutivo do Tipo 4, sendo explicitamente conectados e, finalmente, o passo 5 é de conexão externa.
Nas demonstrações elaboradas em nossa seqüência didática, preocupamo-nos em explicitar a regra de inferência utilizada. Empenhamo-nos também pela indicação explícita de todas as premissas consideradas para se concluir uma passagem. No caso das demonstrações por absurdo, explicitamos os passos contraditórios que nos permitiram a conclusão final. Nossas escolhas foram feitas para sanar eventuais dúvidas e também possibilitar que o sujeito possa apreender essa forma de raciocínio.
Optamos não inserir no material alternativas de múltipla escolha, mesmo que justificadas, pois pretendíamos identificar as passagens de uma demonstração que o aprendiz não realizou e quais dificuldades foram superadas. Tivemos a intenção de analisar o desempenho apresentado nos passos dados de diferentes tipos.
CAPÍTULO III
ELABORAÇÃO DA PÁGINA DA INTERNET
Hoje, faz-se geometria com o mouse, o que é completamente diferente de fazer geometria com o papel e o lápis, ou com o giz e o quadro-negro. Tudo é hoje muito diferente e tudo isso faz com que as representações do espaço, que é ponto de partida para a geometria, sejam diferentes. A geometria nasce de representarmos um fato e trabalharmos sobre essa representação. Essa representação hoje se faz de outra maneira. O mouse não é lápis nem giz. Possibilita outras formas de trabalhar. Essa tecnologia traz utilidades que não existiam antes, e devemos utilizá-las. Se as soluções tecnológicas facilitam nossa vida em vários setores da sociedade, porque não também no ato de aprender? (D’Ambrósio, 2000, p.3)
3.1 Introdução
A construção de nossa página foi embasada nas orientações expostas nos estudos preliminares apresentados no capítulo I. Nesse capítulo, descrevemos as escolhas feitas na elaboração do material na tentativa de maximizar seu potencial de aprendizagem.
Expomos também os quadros que consolidam essa proposta, que foram inseridos na apresentação do curso, presente na página da Internet (anexo XVI).