İkilik Problemi

Doğrusal programlama problemi, yukarda olduğu gibi maksi-mumlaştırma şeklinde formüle edilebileceği gibi, toplam maliyet-lerin minimum kılınması biçiminde de düşünülebilir. Ancak bu gi-bi problemlerde de simpleks hesaplama yöntemi yine yukarda veri-len aşamalarla yapılacaktır.

malın fiyatı q belli iken, toplam üretim maliyetini minimum kılan P^; değerlerinin bulunması anlamını taşır.

Dikkat edilecek olursa, problemin amaç fonksiyonu toplam ma-liyetin minimum kılınması şeklinde formüle edilmiştir. Bu fonksi-yonda bj katsayıları faktör miktarlarını gösterdiklerine göre, Pi de-ğerleri bu faktörlerin fiyatlarından başka bir şey değildir.

Şimdi de eşitsizliklerin anlamını daha yakından görmeye çalı-şalım. Eşitsizlikler Ijay Pi > q şeklinde formüle edilmiştir. Bu eşit-sizlik sisteminin birinci sırası,

an Pı + a2ı ?2 + + amı Pm > Cı

şeklinde yazılacaktır. Eşitsizliğin sol tarafında m tane üretim fak-törüne ait bilinmiyen P, fiyat değişkeni ile bir üretim faaliyetine ait input katsayıları görülmektedir. Örneğin birinci maldan bir birim üretmek için gerekli birinci üretim faktörü miktarı an ve bu üretim faktörünün fiyatı Pı ise, birinci maldan bir birim üretmek için ge-reken üretim maliyeti an Pı olur. Aynı şekilde birinci maldan bir birim üretmek için gerekli ikinci üretim faktörünün maliyeti a2 i P2

ve nihayet birinci maldan bir birim üretildiğinde m inci faktörün maliyeti am ! Pm olacaktır. Bu maliyetler toplandığında, bir birim bi-rinci malın faktör fiyatları ile ifade edilen maliyetine ulaşılmış olur.

Dikkat edilirse ikili problemde bilinmiyen değişkenlerle çarpılan in-put katsaydarı, orijinal problemdeki katsayıların dönüştürülmüş şekli olmaktadır. Eşitsizliğin sağ tarafında malın satış fiyatı yer al-maktadır. Eşitsizliğin yönüne baktığımızda, bir birim birinci malın üretiminde kullanılan kaynakların toplam maliyetinin en az malın satış fiyatına eşit olacağını görmekteyiz. Başka bir deyişle, birinci malın satış fiyatı onun maliyetinden büyük olamaz veya en çok ona eşit olabilir.

Üretim faktörlerinin fiyat değişkenleri olarak sistemde yer alan P^; değerleri, aslında kaynakların «alternatif maliyetleri» veya «göl-ge» fiyatlarıdır. İkili problemin çözümünden çıkan gölge fiyatlarla, iktisat teorisi arasındaki sıkı ilişkiye kısaca değinelim.

Gölge fiyatları, kitabın birinci bölümünde de değinildiği gibi, tam rekabet koşullarında arz-talep dengesinin oluşturduğu fiyatlar-dır. Bu fiyatlar faktörlerin marjinal verimlerini yansıtırlar. Oysa piyasada fiilen ortaya çıkmış bulunan fiyatlar gölge fiyatlardan farklı olabilir. Bunun nedeni, ekonominin tam rekabet

koşullarm-dan uzaklaşması ve fiyat mekanizmasının işleyişindeki aksaklıklar-dır. Gölge fiyatlar, iktisat politikası ve iktisadi planlama bakımın-dan büyük önem taşır. Doğrusal programlama probleminin kavram alanı genişletilip bütün ekonomiyi içine alan bir planlama modeli şekline dönüştürüldüğünde, model çözümünden gölge fiyatları elde etmek mümkün olur. Bu fiyatlar optimal kaynak dağılımının gös-tergesi olduğu için, piyasa fiyatlarının gölge fiyatlardan ne ölçüde saptığını ve bu sapmayı önlemek için ne gibi politika önlemlerine başvurulabileceği açık bir şekilde ortaya konmuş olur.

İkili problemdeki eşitsizlikler orijinal problemde olduğu gibi, birer değişken eklenmesi ile, eşitlikler haline getirilebilir. Buna gö-re denklemler sistemi, S; eşitleyici değişkeni göstermek üzere,

Si aij Pi Sı = Cj

haline gelecektir. Bu değişkenler, bir çeşit «nisbî kayıp» olarak dü-şünülmek gerekecektir. Çünkü eşitliğin solunda yer alan aij Pj, bir j malının üretiminde kullanılan bütün inputlarm maliyeti; j malının fiyatı olduğuna göre, farkı belirleyen Si değişkeni j malının birim maliyetinin fiyattan fazla olan kısmını gösterecektir. Bu ne-denle problemin nihai çözümünde Si değişkenlerinden her hangi biri pozitif değer alırsa, o mal için nisbî bir zarar söz konusu olacağın-dan malın üretilmemesi gerekecektir. Öte yanolacağın-dan, orijinal problem-de yer alan belirtisiz problem-değişkenler problem-de kullanmama faaliyetlerini (D^;) gösterdiklerine göre, bu değişkenlerden her hangi biri nihai çözüm-de yer alırsa, yani üretim esnasında kullanılmayan kaynak fazlası varsa, bu kaynağa ait gölge fiyatın ikili problemin çözümünde sıfır olması gerekecektir. İkilik teoreminin bu önemli ilişkisi şu şekilde ortaya konabilir:

Xj Sj = 0 Her j malı için Pi Di = 0 Her i kaynağı için

Birinci ilişki bir j malı için üretim düzeyi iile nisbî kayıp çarpı-mının sıfır olacağını belirlemektedir. Gerçekten eğer ikili problemin nihai çözümünde pozitif değerli bir S değişkeni yer alıyorsa, j ma-lının üretilmemesi gerekecek, yani Xj değişkeni orijinal problemin nihai çözümünde sıfır değerini alacaktır. Ya da, eğer orijinal prob-lemin çözümünde j malı belli bir düzeyde üretiliyorsa, bu mala ait bir nisbî kaybın söz konusu olmaması gerekecek, Sj sıfır olacaktır.

Böylece her iki halde de birinci eşitlik sağlanmış olacaktır.

İkinci eşitlik ise, bir i üretim faktörü açısından ele alınmakta-dır. Buna göre, eğer orijinal problemin nihai çözümünde kullanıl-mayan bir üretim kaynağı varsa, buna ait gölge fiyat sıfır olacak ve eşitlik sağlanacaktır. Ya da esas problemin optimal çözümünde tüm üretim kaynakları kullanılıyor ve ihtiyaçtan fazla kaynak bulunmu-yorsa (D; = 0), gölge fiyatlar pozitif bir değer alacak ve yine ikinci eşitlik sağlanmış olacaktır. Görülüyor ki ihtiyaca oranla kıt olan üretim faktörlerinin gölge fiyatları belli bir pozitif değere sa-hiptir. Buna karşılık ihtiyaçtan fazla olan kaynakların fiyatları sı-fırdır.

İkili problem, yine genel çözüm yöntemi olan simpleks çözüm tekniği kullanılarak çözümlenebilir. Bununla beraber, ikili proble-min bilinmiyen değişkenleri, Pi, istenirse, orijinal probleproble-min nihai çözüm tablosundan da elde edilebilir. Başka bir deyişle, orijinal problemin nihai çözümü, ikili problem için de yeterli olabilir ve ayrıca ikili problem için çözüm tabloları hazırlamaya gerek kalmaz.

Yapılacak şey, orijinal problemin nihai çözüm tablosundaki Zj — Cj sırasına bakmak ve ilgili kaynakların gölge fiyatlarını bu sıradan bulmaktır. Bu ilişkiyi görebilmek için tekrar sayısal örneğimize dönelim.

Sayısal örneğimizdeki orijinal problemin ikilisi, Z = 150 Pi + 40 P2

amaç fonksiyonunun

3 P, + 0.5 P2 > 1 5 P, + 2 P² > 0.5

ve P1)2 > 0

koşulları ile minimum kılınması şeklinde formüle edilecektir. Eşit-leyici değişkenlerin eklenmesi ile denklemler sistemi,

3 Pı + 0.5 Pı — S, = 1 5 Pı + 2 P, — S2 = 0.5 haline dönüşür.

Bu şekilde formüle edilen problem simpleks yöntemine göre çözülerek Pi ve P² değerleri bulunabilir. Ancak sermaye ve işgücü-nün gölge fiyatlarını (sırası ile Pı ve P2) daha kolay bir şekilde

ori-jinal problemin nihai çözüm tablosunun son sırasında da görmek mümkündür, ikinci çözüm tablosu başlığmı taşıyan tablonun Zj — cj sırasına baktığımızda, A³ ve A⁴ kullanmama faaliyetleri için simp-leks kriterinin, sırası ile 1/3 ve 0 değerini aldığını görmekteyiz. Bu-na göre sermayenin gölge fiyatının 1/3 ve işgücünün gölge fiyatının da 0 olduğunu söyleyebiliriz. Bu sonuçlara göre, yukarda söz konu-su edilen Pj D, = 0 eşitliği de sağlanmış olmaktadır. Gerçekten ori-jinal problemin nihai çözümünde sermaye bütünüyle kullanılmak-ta ve bu nedenle (A3) faaliyeti temelde yer almaktadır (yani Dı = 0 dır). Sermayenin gölge fiyatı 1/3 olarak bulunduğuna göre, (1/3).

(0) = 0 olacak ve eşitlik sağlanacaktır. Aynı şekilde, işgücü için de bu eşitliğin sağlandığını görmek mümkündür. İkinci çözüm tab-losunda, kullanılmayan işgücü faaliyeti (A4) pozitif değerle temelde yer almaktadır. Oysa gölge fiyat, yani işsizlerin marjinal verimi sı-fır olduğuna göre ,(15). (0) = 0 olarak eşitlik sağlanmaktadır.

Öte yandan, yukarda, Xj Sj = 0 şeklinde, her mal için söz konu-su eşitliğin de gerçekleştiği kolaylıkla görülebilir. İkinci çözüm tablosunda Aı ve A2 faaliyetlerinin simpleks kriteri, sırası ile, 0 ve 7/6 dır. Bu değerler, bu malların üretimindeki nisbî kayıpları (Sı ve S²) gösterirler. Optimal çözümde ^xı = 50 olarak bulunmuştur.

Bu mala ait nisbî kayıp (Sı) ise, yine aynı tabloda sıfır olarak gö-rülmektedir. Şu,halde (0). (50) = 0 olmakta ve eşitlik sağlanmak-tadır. İkinci malda ise, bir nisbî kayıp vardır. Çünkü A2 faaliyetine ilişkin simpleks kriteri 7/6 dır. 0 halde bu malın üretilmemesi ge-rekecektir. Gerçekten de, A2 faaliyeti temel çözümde yer almamakta, yani X2 nin üretimi sıfır olmaktadır. Buna göre (0). (7/6) = 0 ola rak eşitlik yine sağlanmış olmaktadır.

Şimdi de amaç fonksiyonunun değerine bakalım. Pı = 1/3 ve P2 = 0 olarak, orijinal problemin nihai çözüm tablosundan buluna-bildiğine göre,

1

Z = (150) — - + (40) .0 = 50

olacaktır. Dikkat edilirse, bu değer orijinal problemin değerine eşit olmaktadır. İşte bu nokta da, önemli bir teoreme işaret etmeliyiz.

Bu teoreme göre, bir doğrusal programlama probleminde orijinal problemin maksimum değeri, ikili problemin minimum değerine her zaman eşittir. Şu halde belli kaynaklarla yaratılacak toplam üretim değerini maksimum kılan bir problem ters dönüştürülerek, kaynak

180

maliyetini minimum kılan bir problem haline getirilebilmekte ve her iki problemin amaç fonksiyonlarının aynı değere sahip olmaları şeklinde aralarında sıkı bir bağlantı ortaya çıkmaktadır.