Doğrusal Programlama ve Input-Output Analizi

maliyetini minimum kılan bir problem haline getirilebilmekte ve her iki problemin amaç fonksiyonlarının aynı değere sahip olmaları şeklinde aralarında sıkı bir bağlantı ortaya çıkmaktadır.

/

bir mal, bir veya çok faaliyetle üretilebilir; aynı zamanda bir faa-liyetle birden fazla mal üretme olanağı vardır. Görülüyor ki bu ana-lizde, bir malın farklı üretim yöntemleri, ayrı faaliyetler olarak dü-şünülmektedir. Bu bakımdan input-output modelinin sektör veya endüstri kavramı, doğrusal programlamada belli malın üretildiği faaliyetler takımı şekline dönüşmüştür.

(iv) Bunun yanında input-output modelinin diğer temel varsa-yımları doğrusal programlamada da aynen kabul edilmektedir. Bun-lardan biri doğrusallık varsayımıdır. Buna göre, input-output mode-linde bir sektör, doğrusal programlamada da bir faaliyet tarafın-dan kullanılan inputlar, o sektör veya faaliyetin doğrusal bir fonk-siyonu olmaktadır. Bu ilişki = a^ Xj olarak ifade edilir. Aynı şe-kilde, her iki modelde de, sektörlerarası alış veriş dışında kalan

«dışsal tasarruf ve kayıplar» şeklindeki ilişkiler model dışında bıra-kılmışlardır.

v) Input-Output modelinde faktörler arasında ikamenin olma-dığı, başka bir deyişle, her sektör için tek bir faktör bileşiminin söz konusu olabileceği varsayılmıştır. Oysa doğrusal programlamada inputlar arasında ikame mümkündür. Çünkü her faaliyet ayrı bir input bileşimini içerdiği için, faaliyetler arasında seçim yapmaya olanak veren doğrusal programlamada, inputlar arası ikame zaten sağlanıyor demektir.

vi) Doğrusal programlama ile input-output modeli arasında şekil yönünden de bir takım farklar vardır. Bir kere, doğrusal prog-ramlamada bir amaç fonksiyonu açık olarak sistemde yer alır.

İkinci olarak, doğrusal programlama modeli, bir malın alternatif üretim yöntemlerini ayrı faaliyetler olarak bünyesinde bulundurdu-ğu için faaliyet sayısı mal sayısından fazladır. Daha açık bir deyiş-le, bilinmiyen sayısı denklem sayısından çoktur. Bunun sonucu ola-rak birden fazla kabul edilebilir çözüm vardır ve bu çözümlerden biri optimum çözümü verecektir. Oysa input-output modelinde denk-lem sayısı bilinmiyen sayısına eşittir ve modelin tek bir çözümü var-dır. Üçüncü olarak, doğrusal programlamada denklemler, eşitlikler yerine eşitsizliklerle ifade edilir ve çözüm simpleks yöntemi ile sağ-lanır. Denklemlerin eşitsizlikler şeklindeki ifadesi, «kullanmama faaliyetleri» dediğimiz değişkenlerin modele ithalini gerekli kılar.

Denklemlerin eşitsizlikler şeklindeki ifadesi kaynaklarla ilgili sınır-lamaların açık bir şekilde modelin bünyesinde yer almış olmasının

bir sonucudur. Dolayısı ile kullanmama faaliyeti ile ifadesini bulan düşük kaynak kullanımı hâli, doğrusal programlamada açıkça orta-ya konmaktadır.

vii) Doğrusal programlama ekonomide bir denge fiyatları se-tinin bulunmasına olanak sağlar. Bu fiyatlar gölge fiyatları olup, ikili problemin çözümünden elde edilirler. Bu fiyatların açık .ola-rak modelde yer alması doğrusal programlamanın input-outputa olan üstünlüğünün bir ifadesidir.

viii) Nihayet input-output sisteminin, hiç bir kaynak sınırla-masının olmadığı ve her malın tek bir faaliyetle üretildiği doğrusal programlamanın özel bir şekli olduğunu söylemek mümkündür.

Bu ilişki şu şekilde açıklanabilir:

Daha önce ZjaijXj = Yi şeklinde sunduğumuz input-output sis-teminde (ki bu eşitlikte outputlara ilişkin katsayılar pozitif, input-lara ilişkin katsayılar negatif değerlidir), nihai talepler (Yi) sınır kabul edilir ve ayrıca mevcut faktör arzları da (Fh) kaynak sınırla-ması olarak alınırsa, sistem

Ejay Xj > Yi i = 1, , m

—Zjfhj Xj > — F^h h = m + 1 , , m + Z haline dönecektir.Burada birinci eşitsizlik, nihai mallara ait denk-lemleri göstermektedir. Eşitsizliğin yönüne baktığımzıda belli bir malın asgari ihtiyaçtan fazla üretildiği, ya da başka bir deyişle, bir malın toplam üretiminin en az ara malı ve nihai talep ihtiyacını karşılaması gerektiği sonucuna varırız. Dolayısı ile bu eşitsizliğe, her malın asgari ihtiyaçtan fazla üretimini gösteren kullanamama faaliyetlerini (Di) ekleyerek sistemi eşitlik haline getirebiliriz. Öte yandan yukardaki ikinci eşitsizlik kaynak sınırlamalarını göster-mektedir. Fh, h üretim kaynağı miktarını, fy bir birim j malı üreti-mindeki h kaynak miktarını, fhj Xj ise, her maldan X kadar üret-mek için gerek duyulan h faktörü miktarını gösterir. Şu halde bu eşitsizliklere eklenecek Dh değişkeni, kullanılmayan kaynak mikta-rını verecektir. Bu eklemelerle doğrusal programlama problemi,

Zj Sij Xj — Di — Yj ....

—Zj fhj Xj — Dh = — Fh

(23) (24) halini alır²⁴. Dolayısı ile (23) ve (24) no. lu denklemler sisteminin oluşturduğu endüstrilerarası programlama modelinde (24) no. lu sınırlama mevcut değilse ve her mal tek bir faaliyetle ifade ediliyor-sa, (23) no. lu denklemler sistemi, Di = 0 olmak üzere, input-output sisteminin özel bir şekli olacaktır.

Görülüyor ki ekonominin bütününü kapsayan endüstrilerarası analizlerde, input-output ve doğrusal programlama metodları, (23) ve (24) no. lu denklemler sistemi ile gösterildiği gibi, ortak bir analiz çerçevesi içinde kullanılabilmektedir. Bu nedenle

input-out-2 4 Bu sistemde yapılan iki değişikliğe dikkati çekelim. Birincisi, mallara ait input katsayıları ( an) ile üretim faktörlerine ait katsayılar (fh i) farklı notasyonla gösterilmiştir. Mallarla faktörler arasında hiçbir ayrım yapılma-dığı takdirde (23) ve (24) no.lu denklemler

şeklinde (B; nihai talep ve faktör arzı sınırlamasını göstermek üzere) bir-leştirilebilir. İkinci olarak, faktör kayıtlamalarına ilişkin denklemlerde yer alan katsayılar negatif değerlidir. Bunda şaşırtıcı bir durum yoktur. Çünkü bu denklemler sistemi (—) ile çarpıldığında, (21) no.lu eşitlikte verdiğimiz, genel doğrusal programlama probleminin sınır koşullarına varıldığı görüle-cektir. Burada (—) işaretlerin verilmesi her faaliyet içindeki mal-faktör ay-rımım yapmak içindir. Gerçekten (23) ve (24) no.lu denklemler sistemine göre bir j faaliyeti,

olarak ifade edilebilir. Burada a^, j malına ait pozitif katsayı (—a2j ,..., — am j) katsayıları ara malı input katsayıları ( — fm + 1 ) j ,..., — fm + l j) katsayıları da te-mel üretim faktörlerine ait input katsayılarıdır.

2. aü X, -D, = Bj

A, -ami m+l.i m+2.i

184

/

put modeli, endüstrilerarası analizlerde doğrusal programlamanın bir alternatifi olmaktan çok tamamlayıcısı durumundadır. (23) ve (24) no. lu denklemler, input-output sisteminin bir doğrusal prog-ramlama modeline ne şekilde dönüştürüleceğini açık olarak ortaya koymaktadır. Ancak bu modele eklenmesi gereken unsur, kuşku-suz, bir amaç fonksiyonu olacaktır. Bu amaç, nihai malların değe-rini maksimum kılan bir fonksiyon olabileceği gibi, toplam serma-yenin (veya döviz gibi diğer kıt bir faktörün) kullanımını minimum kılan bir fonksiyon da olabilir.

Şimdi her iki modelin birarada endüstrilerarası analizde ne şe-kilde kullanılabileceğini sayısal bir örnek yardımı ile inceleyelim.

Ekonomide iki sektör olduğunu ve iki mal (Xı ve X2) üretildi-ğini varsayalım. Dolayısı ile her sektörün tek bir mal ürettiği şek-lindeki input-output varsayımı ile modele başlamaktayız. Doğrusal programlama formülasyonunda bu sektörler, faaliyet sözcüğü ile değiştirilecek ve ekonomide bu iki malın iki faaliyetle üretileceği kabul edilecektir. Ayrıca modelde işgücü ve sermaye kayıtlamaları-nın bulunduğu ve bu kayıtlamalar altında iki sektörlü ekonomide nihai malların toplam değerini (yani gayrı safi milli hasılayı) mak-simum yapan sektörel üretimlerin (faaliyet seviyeleri) ne olacağı hesaplanmaya çalışılacaktır. Sınır değerlerinin ve katsayıların aşa-ğıdakiler olduğunu varsayarak, şu modeli kurabiliriz:

1.0 Xı — 0.6 X2 = Yi

—0.4 X, + 1.0 X2 = Y2

—1.0 X, _ 2.0 X² > —60

—5.0 X, — 4.0 X² > —200 kayıtlamaları altında

Z⁰ = 0.75 Yı + 0.50 Y² (25)

fonksiyonu maksimum kılınmak istenmektedir. Yukarda yer alan ilk iki denklem input-output modeli tipindeki üretim faaliyetleri-ni, son iki denklem ise kaynak kayıtlamalarına ilişkin sınırlamala-rı göstermektedir. Input-Output denklemlerinde yer alan nihai ta-lepler saptanmamış olup nihai çözümden elde olunacaktır. Bu iki denklemde kullanmama faaliyetlerinin olmadığı varsayılmıştır. Son

iki denkleme kullanmama faaliyetlerinin eklenmesi ile model, (23) ve (24) no. lu denklemler sistemi ile de ortaya konduğu gibi,

1.0 X, — 0.6 X² — Yı = 0

—0.4 Xı + 1.0 X2 — Y2 = 0

—1.0 X! — 2.0 X2 — X3 = _ 6 0

—5.0 Xı — 4.0 X2 — X4 = —200

şekline dönüşür. Nihai mal fiyatlarının birinci mal için 0.75 ve ikin-ci mal için 0.5 olduğu kabul edilmiştir. Bu varsayımlara göre prob-lemde 6 bilinmiyen (Yı Y2 Xı X2 x3 X4 faaliyet düzeyleri) ve 4 denk-lem vardır. Sistem, daha önce hesaplama işdenk-lemini gördüğümüz simp-leks metodu ile kolaylıkla çözümlenebilir. Ancak burada, farklı çö-zümler arasında uygun olan ve olmayan çöçö-zümleri açık olarak gö-rebilmek amacı ile grafikle çözümün daha yararlı olacağı kanısın-dayız.

Daha önce de belirtildiği gibi, grafik analizde Xı ve X2 üretim faaliyetlerini eksen olarak kabul etmek uygundur. İşgücü sınırla-masını içeren denklem, 60 birimden fazla işgücü kullanmayan X()

X² ve X³ faaliyetlerinin muhtemel bileşimlerini göstermektedir.

Kullanılmayan işgücü (X³) sıfır kabul edilerek, X² değişkeninin çe-şitli değerlerine göre Xı değişkeninin alacağı değerler saptanarak bu denklem grafik üzerine çizilebilir ve buna göre uygun olan ve olmayan çözüm sınırları belirlenebilir. Aynı işlemi sermaye denkle-mi için de yapmak gerekir. Bu denklem de, 200 birimden fazla ser-maye kullanmayan Xı, X2 ve X4 faaliyetlerinin muhtemel bileşimle-rini göstermektedir. Kullanılmayan sermaye değişkeni, (X4) sıfır kabul edilerek X2'nin belli değerlerine göre Xı'in alabileceği değer-ler saptanarak grafik üzerinde uygun olan ve olmayan çözümdeğer-ler işaretlenebilir. Aşağıdaki grafikte gölgeli kısım, iki kaynak sınırla-masına ilişkin uygun çözümleri vermektedir. Öte yandan ilk iki denklemin de, uygun çözümlerin sınırını belirlemek üzere grafik üzerinde gösterilmesi gereklidir. Bunun için Yı değişkeni (birinci malın nihai kullanımı) sıfıra eşitlenerek birinci denklemin; Y² de-ğişkeni (ikinci malın nihai kullanımı) sıfıra eşitlenerek ikinci denk-lemin ifade ettiği sınır grafik üzerine çizilebilir.

Grafikte oabc ile gösterilen alan «uygun çözüm alanı» olmakta-dır. Bu alan içindeki her nokta uygun bir çözümdür. Örneğin k noktası da oabc alanı içinde olduğu için uygun bir çözüm

olmak-tadır. Ancak bu nokta optimum çözüm değildir. Çünkü bu noktanın belirlediği mal miktarları kaynak sınırlarından oldukça uzakta bu-lunmaktadır. Mevcut kaynaklarla her iki maldan k noktasının gös-terdiği üretimden daha fazla mal üretmek olanağı vardır. Bu ba-kımdan optimum üretim abc doğruları üzerinde olmak gerekecek-tir. Bu doğrular işgücü ve sermayenin tam kullanımını içermekte-dir. abc doğrusuna ekonominin üretim olanakları eğrisi de denir.

ŞEKİL IV. 2

Optimum çözüme ulaşmak için amaç fonksiyonunun da grafik üzerinde belirtilmesi gereklidir. Bu fonksiyon Zı = 0.75 Yı+0.50 Y2

olarak nihai mallar (Yı ve Y2) cinsinden ifade edilmiştir. Oysa grafikte eksenler gayrı safi üretimleri (Xı ve X2) gösterdiğine göre, amaç fonksiyonunu da dönüştürmek gerekecektir. Bu işlem,

Y, = 1.0 X, — 0.6 X2

Y² = —0.4 Xı + 1.0 X2

değerleri, amaç fonksiyonunda yerine konarak yapılabilir. Buna gö-re amaç fonksiyonu, Xı ve X2 cinsinden,

Z⁰ = 0.55 X, + 0.5 X² (26)

halini alacaktır. Amaç fonksiyonundaki katsayılar, Xı ve X² değiş-kenlerine ait katma değer katsayılarını ifade eder. Bu denklem yar-dımı ile amaç fonksiyonunun grafik üzerinde gösterilmesi mümkün-dür. Şekilde birbirine paralel kırık çizgiler, Z⁰ için çeşitli değerler verilerek çizilmiş amaç fonksiyonlarıdır. Hatırlanacağı üzere opti-mum çözüm uygun çözüm alanının köşelerinden her hangi biri olu-yordu. Grafikten de görüleceği gibi, en yüksek değerli amaç fonk-siyonu c köşe noktasından geçtiği için, bu noktanın belirlediği mal bileşimi optimum çözümü ifade edecektir.

Grafikte a ve b köşe noktalarının niçin optimum çözümü vere-miyeceklerinıi şu şekilde de açıklamak mümkündür: a noktasından b noktasına gidildikçe vaz geçilen bir birim X2 yerine ikame edile-cek Xı, amaç fonksiyonunun değerini arttırmaktadır. Çünkü Xı ma-lının katma değer katsayısı X2 malının katma değer katsayısından büyüktür. Bu sonucu, amaç fonksiyonunu gösteren doğru ile işgücü sınırını belirleyen doğrunun eğimlerini karşılaştırarak da çıkarma-mız mümkündür. Şu halde b noktası a noktasına oranla daha iyi bir çözümdür. Kaldı ki, a noktasında sermaye eksik kullanıldığı hal-de b noktasında her iki kaynak da tam olarak kullanılmakta ve sonuç olarak Z0 değeri a noktasında 8.9 iken, b noktasında 15.4 de-ğerine ulaşmaktadır. Ancak b noktası da optimum çözüm olmaya-caktır. Çünkü b den c noktasına hareket edildiğinde, yine bir birim X2 kaybına karşılık ikame edilecek Xı malının, amaç fonksiyonu-nun değerini arttıracağı açıktır, c noktasından geçen amaç fonksi-yonunun eğimi bc doğrusunun eğiminden büyüktür. Şu halde ama-cı maksimum kılan nokta c noktası olmaktadır. Bu nokta sermaye

sınırı üzerinde olduğu için s e r i n l e n i n tam kullanımı sağlanmakta, buna karşılık işgücü sınırını ifade eden doğrudan uzakta bulundu-ğu için optimum sonuç, noksan istihdam pahasına gerçekleşmiş ol-maktadır.

Optimum sonucun elde edildiği c noktasında Xı ve X² malının üretim miktarları, sırası ile, 30.3 ve 12.1 birimdir. Bu sonuçlar amaç fonksiyonunda yerine konursa, gayrı safi milli hasıla, Z⁰ = 17.3 ola-rak bulunur. Sektörel nihai output değerleri (Yı ve Y²) ise, sınır ko-şullarını belirleyen ilk iki denklemden kolaylıkla bulunabilir. Buna göre Yı = 23, y2 = 0 elde edilecektir. Görülüyor ki ikinci sektör sadece birinci sektör için üretimde bulunmakta, nihai kullanım için üretim yapmamaktadır. Bu durum, grafikte c noktasının (1.0 Xı — 0.4 X2, = 0) doğrusu üzerinde olması ile de açıkça görülmektedir.

Sektörel nihai output değerleri (25) no. lu denklemde yerine kon-duğunda, yine Z0 = 17.3 sonucuna varılacaktır. Öte yandan kaynak kayıtlamalarına baktığımızda, sermayenin tam kullanımına karşı-lık, işgücünün tamamının kullanılmadığı, 15.5 birim kullanılmayan işgücü bulunduğu görülecektir.