˙I s t a n b u l K ¨u l t ¨u r U n i v e r s i t e s i¨ Matematik -Bilgisayar B¨ol¨um¨u
MB5002 - N ¨UMER˙IK ANAL˙IZ
25 Aralık 2013
Final Sınavı
O˘¨grenci Numarası: ——————————————————
Adı Soyadı: ——————————————————————-
– Sınav s¨uresi 90 dakikadır. ˙Ilk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, be- lirtilen puanlandırmaya sahip altı sorudan olu¸smaktadır. Tam puan almak i¸cin yaptı˘gınız i¸slemleri sınav kˆa˘gıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav s¨uresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını i¸ceren herhangi bir aracın sınav s¨uresince kullanılması yasaktır. Trigono- metrik ifadelerle ilgili hesap makinasında i¸slem yaparken radyan modunu kul- lanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedik¸ce 5-ondalık dijit yuvarlama aritmeti˘gi kullanarak hesaplamalarınızı yapınız.
Ba¸sarılar. Yrd. Do¸c. Dr. Emel Yavuz Duman
Soru 1. Soru 4.
Soru 2. Soru 5.
Soru 3. Soru 6
15 puan f (0) = 1, f (0.5) = 2.5, f (1) = 2 ve f (0.25) = f (0.75) = α olarak verilsin. Bile¸sik Yamuk kuralı n = 4 i¸cin kullanılarak 1
0 f (x)dx integraline bir yakla¸sım yapıldı˘gında sonu¸c 1.75 olarak bulundu˘guna g¨ore α de˘gerini tespit ediniz.
Cevap.
MB5002 2 Final Sınavı
b 17 puan
a f (x)dx integraline n alt aralık i¸cin Bile¸sik Orta Nokta kuralı kullanılarak bir yakla¸sım yapıldı˘gında olu¸san yuvarlama hatasını analiz ediniz.
Cevap.
MB5002 3 Final Sınavı
2 15 puan
0 f (x)dx integraline Yamuk kuralı kullanılarak yapılan yakla¸sım sonucunda 5, Orta Nokta kuralı kullanılarak yapılan yakla¸sımın sonucunda ise 4 de˘gerleri elde edildi˘gine g¨ore Simpson kuralı kullanılarak yapılacak yakla¸sımın sonucunu hesaplayınız.
Cevap.
MB5002 4 Final Sınavı
10 + 10 puan (a) n = 3 i¸cin A¸cık Newton-Cotes form¨ul¨un¨u kullanılarak
1.2
0.2
1
x5 + ln x + cos x
dx
integral de˘gerine bir yakla¸sımda bulununuz.
(b) (a) ¸sıkkında yapılan yakla¸sımda olu¸san hata i¸cin bir ¨ust sınır belirleyiniz.
Cevap.
MB5002 5 Final Sınavı
15 puan 4-dijit yuvarlama aritmeti˘gi ile a¸sa˘gıdaki tablo de˘gerleri verilsin:
xi −0.20 0.00 0.10 0.12 0.30 0.40 0.60 0.90 1.00 1.20 f (xi) 1.799 2.000 2.100 2.120 2.305 2.413 2.647 3.081 3.258 3.682 Buna g¨ore f(0.0), f(0.6) ve f(1.0) de˘gerlerine en iyi yakla¸sımları yapınız.
Cevap.
MB5002 6 Final Sınavı
18 puan j = 0, 1, 2, 3 i¸cin xj = j ve
P0,1(x) = x + 1, P1,2(x) = 3x − 1 ve P1,2,3(1.5) = 4 olarak verildi˘gine g¨ore P0,1,2,3(1.5) de˘gerini hesaplayınız.
Cevap.
MB5002 7 Final Sınavı
Newton Geri Fark Form¨ul¨u:
Pn(x) = f(xn) +n
k=1
(−1)k−s k
∇kf (xn)
Fark Form¨ul¨u:
f(x0) = f(x0+ h) − f(x0)
h −h
2f(ξ) U¸c-Nokta U¸c Nokta Form¨ul¨u:¨
f(x0) = 1
2h[−3f(x0) + 4f(x0+ h) − f(x0+ 2h)] +h2 3 f(ξ) U¸c-Nokta Orta Nokta Form¨ul¨u:¨
f(x0) = 1
2h[f(x0+ h) − f(x0− h)] −h2 6 f(ξ) Be¸s-Nokta Orta Nokta Form¨ul¨u:
f(x0) = 1
12h[f(x0− 2h) − 8f(x0− h) + 8f(x0+ h) − f(x0+ 2h)] +h4 30f(v)(ξ) Be¸s-Nokta U¸c Nokta Form¨ul¨u:
f(x0) = 1
12h[−25f(x0) + 48f(x0+ h) − 36f(x0+ 2h) + 16f(x0+ 3h) − 3f(x0+ 4h)] +h4 5 f(v)(ξ)
˙Ikinci T¨urev i¸cin Orta Nokta Form¨ul¨u:
f(x0) = 1
h2[f (x0− h) − 2f (x0) + f (x0+ h)] −h2 12f(iv)(ξ) Kapalı Newton-Cotes Form¨ulleri.
n = 1: Yamuk Kuralı x1
x0
f (x) dx =h
2[f (x0) + f (x1)] −h2 12f(ξ) n = 2: Simpson Kuralı x2
x0
f (x) dx =h
3[f (x0) + 4f (x1) + f(x2)] −h5 90f(iv)(ξ) n = 3: Simpson 38 Kuralı
x3
x0
f (x) dx =3h
8 [f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f(x3)] −3h5 80f(iv)(ξ)
n = 4: x4
x0
f (x) dx =2h
45[7f (x0) + 32f (x1) + 12f (x2) + 32f (x3) + 7f (x4)] −8h7 945f(vi)(ξ) A¸cık Newton-Cotes Form¨ulleri.
n = 0: Orta Nokta Kuralı x1
x−1
f (x) dx = 2hf (x0) + h3 3 f(ξ)
n = 1: x2
x−1f (x) dx =3h
2[f(x0) + f(x1)] +3h3 4 f(ξ)
n = 2: x3
x−1
f (x) dx =4h
3 [2f(x0) − f (x1) + 2f(x2)] +14h5 45 f(iv)(ξ)
n = 3: x4
x−1f (x) dx =5h
24[11f(x0) + f (x1) + f (x2) + 11f(x3)] +95h5 144 f(iv)(ξ) Bile¸sik ˙Integrasyon.
Bile¸sik Simpson Kuralı:
b
a f (x) dx =h 3
f (a) + 2
(n/2)−1
j=1
f (x2j) + 4
n/2
j=1
f (x2j−1) + f(b)
−b − a
180 h4f(iv)(ξ) Bile¸sik Yamuk Kuralı:
b
a f (x) dx =h 2
⎡
⎣f (a) + 2n−1
j=1
f (xj) + f(b)
⎤
⎦ − b − a 12 h2f(ξ) Bile¸sik Orta Nokta Kuralı:
b
a f (x) dx = 2h
n/2
j=0
f (x2j) + b − a 6 h2f(ξ)
MB5002 8 Final Sınavı
