Soru 1)

(1)

Soru 1)

Şekilde verilen N = 2 ile periyodik x[n] sinyalini Fourier serisine açınız.

Çözüm:    

o N

2 olmak üzere

 





 

 ¹

0 1

0

] [

k

k k

k

k k

n

N j n j

e

c

c n

x ^^o ^

Fourier serisidir. Sadece periyot kadar (N = 2 adet) terimi vardır.

Katsayılar şöyle bulunur:









  



 ¹

0 1

0

] 2 [

] 1 1 [

n

n N j

n

j

e

x n

n N x

c_k ^k^^o ^k^

Ortalama değer: ₀ ⁰ x x c₀

n N x

c

N n

n j _o

e

      







^



 2

2 ) 2 ( 6 2

] 1 [ ] 0 ] [

1 ¹ [

0 1





 ^

1 1

1

2 4 ) 2 ( 6 2

] 1 [ ] 0 [ 2

] 1 [ ]

0 ] [

2 [ ] 1

1 [ ¹ ⁰ ¹

0 1

0

x c x x

n x x n

N x c

j j

n

n N j

n

j

e e

e

^o           









 

















  

 1 ¹ ¹

1

Tüm katsayıları Fourier serisinde yerine yazalım:





 





^c

^e

^j ⁿ ^c

^e

^j ⁿ ^c

^e

^j ⁿ

n

x ^ ⁰^ ¹^

k

1 0

k 1

0

]

[ x[n]24

e

^j^ⁿ

(Açıklama yapıldığı için çözüm uzun gibi görünüyor. N = 2 için aslında 1-2 satırla çözüm de yapılabilir. Görebilen önce basitçe x[n]24(1)ⁿ yazıp sonra (1)ⁿ yerine

e

^j^ⁿ yazarak yukarıdaki ifadeyi yazsa da olur.)

Soru 2)

Çözüm:    

o N

2 olmak üzere ^j ⁿ

N j n

e

c c

c n

x ^^o ₀ ₁ ^

1 0

]

[ 



^  

k

k

Fourier serisidir. Sadece periyot kadar (N = 2 adet) terimi vardır.

Katsayılar şöyle bulunur:









  



 ¹

0 1

0

] 2 [

] 1 1 [

n

n N j

n

j

e

x n

n N x

c_k ^k^^o ^k^

Ortalama değer: ₀

1

2 4 0 8 2

] 1 [ ] 0 ] [

1 ¹ [

0

x c n x

N x c

N n

n j _o

e

  

 









^



 



 ⁰^

0

1 1

1

2 4 0 8 2

] 1 [ ] 0 [ 2

] 1 [ ]

0 ] [

2 [

1 ¹ ⁰ ¹

0

x c x x

n x x c

j j

n

j

e e

e

       























  

 ¹ ¹

1





 





^c

^e

^j ⁿ ^c

^e

^j ⁿ ^c

^e

^j ⁿ

n

x _k ^ ⁰^ ¹^

k

1 0

1

0

]

[ x[n]44

e

^j^ⁿ

(Açıklama yapıldığı için çözüm uzun gibi görünüyor. N = 2 için aslında 1-2 satırla çözüm de yapılabilir. Görebilen önce basitçe x[n]44(1)ⁿ yazıp sonra (1)ⁿ yerine

e

^j^ⁿ yazarak yukarıdaki ifadeyi yazsa da olur.)

(2)

Soru 3) Şekilde verilen N = 3 ile periyodik y[n] sinyalini Fourier serisine açınız.

Çözüm:𝜔₀ = 2𝜋 𝑁⁄ = 2𝜋 3⁄ olmak üzere, 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑐_𝐤𝑒^𝑗𝐤𝜔⁰^𝑛

𝑁−1

𝐤=0

= ∑ 𝑐_𝐤𝑒^{𝑗𝐤2𝜋𝑛 3}^⁄

2

𝐤=0

Fourier serisidir. Sadece periyot kadar (N = 3 adet) terimi vardır. Katsayılar şöyle bulunur:

𝑐_𝐤= 1

𝑁∑ 𝑦[𝑛]𝑒^{−𝑗𝐤𝜔}⁰^𝑛

𝑁−1

𝑛=0

=1

3∑ 𝑦[𝑛]𝑒^{−𝑗𝐤2𝜋𝑛 3}^⁄

2

𝑛=0

y[n] gerçel olduğundan 𝑐_𝐍−𝐤 = 𝑐_𝐤^∗ , yani 𝑐_𝟐= 𝑐_𝟏^∗ 𝑐_𝟎= 1

𝑁∑ 𝑦[𝑛] 𝑒⏟ ^{−𝑗𝟎𝜔}⁰^𝑛

1 𝑁−1

𝑛=0

=1

3∑ 𝑦[𝑛]

2

𝑛=0

= ortalama değer =1

3(−6 + 36 + 12) = 14 = 𝑐_𝟎

𝑐_𝟏= 1

𝑁∑ 𝑦[𝑛] 𝑒⏟ ^{−𝑗𝟏𝜔}⁰^𝑛

1 𝑁−1

𝑛=0

=1

3∑ 𝑦[𝑛] 𝑒⏟ ^{−𝑗𝟏∙(2𝜋𝑛 3}^{⁄ )}

1∠(−𝑛∙120°) 2

𝑛=0

=𝑦[0]𝑒^{−𝑗𝟏∙(2𝜋0 3}^{⁄ )}+ 𝑦[1]𝑒^{−𝑗𝟏∙(2𝜋1 3}^{⁄ )}+ 𝑦[2]𝑒^{−𝑗𝟏∙(2𝜋2 3}^{⁄ )} 3

= −6∠0° + 36∠(−120°) + 12∠(−240°)

3 =−6 − 18 − 𝑗18√3 − 6 + 𝑗6√3

3 = −10 − 𝑗4√3 = 𝑐_𝟏

𝑐_𝟐= 𝑐_𝟏^∗ = −10 + 𝑗4√3 = 𝑐_𝟐 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑐_𝐤𝑒^{𝑗𝐤2𝜋𝑛 3}^⁄

2

𝐤=0

= 𝑐_𝟎𝑒^{𝑗𝟎∙(2𝜋𝑛 3}^{⁄ )}+ 𝑐_𝟏𝑒^{𝑗𝟏∙(2𝜋𝑛 3}^{⁄ )}+ 𝑐_𝟐𝑒^{𝑗𝟐∙(2𝜋𝑛 3}^{⁄ )}

𝑦[𝑛] = 14 + (−10 − 𝑗4√3)𝑒^{𝑗(2𝜋𝑛 3}^{⁄ )}+ (−10 + 𝑗4√3)𝑒^{𝑗(4𝜋𝑛 3}^⏞^{⁄ )}

≡−𝑗2𝜋𝑛 3⁄

Soru 4)

Çözüm:

2 2 

  

o N olmak üzere

 





 

 ³

0 1 2

0

] [

k

k k

k

k k

n N j

n

j

e

c

c n

x ^^o ^ Fourier serisidir. Sadece periyot kadar (N = 4 adet) terimi vardır. Katsayılar şöyle bulunur:





 



  



 ³

0 1 2

0

] 4 [

] 1 1 [

n

n N j

n

j

e

x n

n N x

c_k ^k^^o ^k^

(3)

Ayrıca x[n] reel ise c_N__k c_k^* formülü ile bazı katsayılar daha kolay hesaplanabilir. Meselâ burada c₃ c₁^*

Ortalama değer: ₀

1

5 , 4 2

4 6 2 2 4

] 3 [ ] 2 [ ] 1 [ ] 0 ] [ 4 [

] 1

1 [ ³

0 1

0

x c x x n x

x n

N x c

n N

n

n j _o

e

     

 



 









 







 



 ⁰^

0

4

] 3 [ ]

2 [ ]

1 [ ]

0 ] [

4 [ ] 1

1 [ ³ ⁰ ² ¹ ² ² ² ³ ²

0 1 2

0

1

1    



 ^j ^j

o

j j

n

n N j

n

j

e e e e

e

x n ^x ^x ^x ^x

n N x

c



















 



      





 



¹^ ¹^ ¹^ ¹^ ¹^ ¹^

1

5 , 0 2 5

, 0 4 2

4 6 2

2 *

j c

c c

j j

c₁   j      ₁  ₁  ₃  

4

] 3 [ ]

2 [ ]

1 [ ]

0 ] [

4 [ ] 1

1 [

1 1

2 3 2

2 2

1 2

3 0 0 1 2

0























 ^ ^



















 



      







²^



²^ ²^ ²^ ²^ ²^

2

j j

n

n N j

n

j

e e e e

e

xn ^x ^x ^x ^x

n N x

c ^o

2

2 c

c      0,5 4

4 6 2 2





 2

2 2

2 3 2

0

] 2

[

n j

n j n

j n

j

e e e e

e

c c c c

c n

x _k









 





⁰ ¹ ² ³

k

3 2

1 0

2 2 0,5 ( 2 0,5)

) 5 , 0 2 ( 5 , 2 ]

[n j

e

^j ⁿ

e

^j ⁿ j

e

^j ⁿ

x     ^  ^    ^ ^

Soru 5)

Çözüm:

2 2 

  

o N olmak üzere





 ³

0

] 2

[

k

n

e

j

c n

x ^ Fourier serisidir. Katsayılar şöyle bulunur:





 

 ³

0

] 2

4 [ 1

n

e

j

n x

c_k ^k^

Ortalama değer: ₀ x x x x c₀

c         1,75

4 1 2 0 4 4

] 3 [ ] 2 [ ] 1 [ ] 0 [

(4)

4

] 3 [ ]

2 [ ]

1 [ ]

0 ] [

4 [

1 ³ ⁰ ² ¹ ² ² ² ³ ²

0

2

1

1    



 ^j ^j

j j

n

j

e e e e

e

^x ^x ^x ^x

n x c



















    





 



¹^ ¹^ ¹^ ¹^ ¹^

1

25 , 0 5 , 0 25

, 0 5 , 4 0

1 2 0

4 *

j c

c c

j j

c₁   j      ₁  ₁  ₃  

4

] 3 [ ]

2 [ ]

1 [ ]

0 ] [

4 [ 1

1 1

2 3 2

2 2

1 2

3 0 0

2























 ^ ^



















    







²^ ²^ ²^ ²^ ²^

2

j j

n

j

e e e e

e

^x ^x ^x ^x

n x c

2

2 c

c     

 1,25

4 1 2 0 4





 2

2 2

2 3 2

0

] 2

[

n j

n j n

j n

j

e e e e

e

c c c c

c n

x _k









 





⁰ ¹ ² ³

k

3 2

1 0

2 2 1,25 (0,5 0,25)

) 25 , 0 5 , 0 ( 75 , 1 ]

[n j

e

^j ⁿ

e

^j ⁿ j

e

^j ⁿ

x    ^  ^   ^ ^

Soru 6)

x[0] = 2 , x[1] = 0 , x[2] = 4 , x[3] = 0 olan ve N = 4 ile periyodik x[n] sinyalini Fourier serisine açınız.

Çözüm:

2 2 

  

o N olmak üzere



 ³ 0

] 2

[

k

k n

e

j

ck

n

x ^ Fourier serisidir. Katsayılar şöyle bulunur:





 

 ³

0

] 2

4 [ 1

n

e

j

n x

c_k ^k^

Ortalama değer: 1,5 ₀

4 0 4 0 2 4

] 3 [ ] 2 [ ] 1 [ ] 0

[ x x x c

c x     

 



 

0

1 1

1 1 1

c n

x c

j j

n

j

e e

e

       



















^[ ^]  ² ₄⁴ ²₄⁴ ⁰^,⁵

4 1

1 1

2 2 2

3 0 0

2











  



5 ,

*  0

 c₁ c₃

5 , 4 1

4 2 4

4 ] 2

4 [ 1

1 1

2 2 2

3 0 0

2     



 ^ ^ ^ ^

















  

 ² ²

2

j j

n

j

e e

e

n x c





 2

2 2

2 3 2

0

] 2

[

n j

n j n

j n

j

e e e e

e

c c c c

c n

x _k









 





⁰ ¹ ² ³

k

3 2

1 0

2 2 1,5 0,5

5 , 0 5 , 1 ]

[n

e

^j ⁿ

e

^j ⁿ

e

^j ⁿ

x   ^  ^  ^ ^