TANIMLAR ve TEMEL KAVRAMLAR

(1)

BÖLÜM 1

TANIMLAR ve TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Polinom Fonksiyonlar

Tan¬m 1.1. n 2 N

⁰

:= f0; 1; 2; :::g ve a

⁰

; a

₁

; :::; a

_n

ler de a

n

6= 0 olmak üzere, sabit say¬lar olsunlar.

p

_n

(x) = a

_n

x

ⁿ

+ a

_{n 1}

x

^{n 1}

+ + a

₁

x + a

₀

¸ seklinde tan¬mlanan p

n

: R ! R fonksiyonuna “n. dereceden bir polinom (çok terimli)”denir.

Burada a

0

; a

₁

; :::; a

_n

say¬lar¬na polinomun katsay¬lar¬ad¬verilir. E¼ ger a

n

= 1 ise p

n

polinomuna

“monik polinom” denir. x de¼ gi¸ skeninin ve katsay¬lar¬n reel ya da kompleks olmas¬na göre p

n

polinomu reel polinom ya da kompleks polinom olarak adland¬r¬l¬r.

Polinomlar¬n sahip olduklar¬baz¬özellikler a¸ sa¼ g¬da verilmektedir.

i) Bir polinomun bir say¬ile çarp¬m¬yine bir polinomdur.

ii) Herhangi iki polinomun toplam¬, fark¬ve çarp¬m¬yine bir polinomdur.

iii) · Iki polinomun bile¸ skesi yine bir polinomdur.

iv) Reel katsay¬l¬n: dereceden bir p

n

polinomunun en fazla n tane reel kökü vard¬r.

v) n: dereceden bir p

n

(x) polinomu x = a noktas¬nda m katl¬bir s¬f¬r yerine (köküne) sahip ise, o takdirde her x 2 R için

p

_n

(x) = (x a)

^m

r(x) ; r(a) 6= 0

olacak ¸ sekilde (n m): dereceden bir r polinomu vard¬r.

1.2. Ortogonal Fonksiyonlar Sistemi

Tan¬m 1.2. I R olmak üzere !(x); I da tan¬ml¬pozitif bir fonksiyon olsun.

m

(x) ve

_n

(x) fonksiyonlar¬ I aral¬¼ g¬nda reel de¼ gerli ve integrallenebilen fonksiyonlar olsunlar. m; n 2 N

⁰

1

(2)

olmak üzere m 6= n için

(

_m

;

_n

) = Z

I

m

(x)

_n

(x) !(x) dx = 0

sa¼ glan¬yorsa

₀

(x),

₁

(x),

₂

(x), ... reel fonksiyonlar sistemine I aral¬¼ g¬nda !(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal bir sistem te¸ skil ediyor denir. m = n durumunda ise

_n

nin normu

k

n

k = 2 4 Z

I

w(x)

²_n

(x) dx 3 5

1=2

; n = 0; 1; 2; :::

ile verilir. E¼ ger n = 0; 1; 2; ::: için k

n

k = 1 ise o takdirde bu sisteme ortonormal sistem denir.

Yani,

Z

I

w(x)

_m

(x)

_n

(x) dx = 8 <

:

0 ; m 6= n 1 ; m = n ise

₀

(x),

₁

(x),:::,

_n

(x),::: fonksiyon sistemi ortonormaldir.

Örnek 1. fcos n g ; (n = 0; 1; 2; :::) fonksiyonlar sistemi Z

0

cos n cos m d = 0 ; m 6= n ; m; n = 0; 1; 2; :::

ortogonallik özelli¼ gini sa¼ glar. Yani, f1; cos ; cos 2 ; :::; cos n ; :::g fonksiyon sistemi (0; ) ara- l¬¼ g¬nda ortogonal bir fonksiyon dizisi olu¸ sturur.

cos (n + 1) + cos (n 1) = 2 cos cos n

ba¼ g¬nt¬s¬ ve tümevar¬m kullan¬larak cos n n¬n x = cos ’n¬n terimlerinde ba¸ skatsay¬s¬ a

n

= 2

^{n 1}

(a

₀

= 1) olan n-yinci dereceden bir polinom oldu¼ gu kolayl¬kla görülür. Bu polinom T

n

(x) birinci çe¸ sit Tchebyshev polinomudur. x = cos de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬larak, T

n

(x)’ler için a¸ sa¼ g¬daki ortogonallik ba¼ g¬nt¬s¬elde edilir

Z

1

T

_n

(x) T

_m

(x) dx

p 1 x

²

= 0 ; m 6= n: (1.1)

2

(3)

Burada T

n

(x) = cos n = cos (n cos

¹

x) ; 1 x 1 formunda olup trigonometrik e¸ sitlikler kullan¬larak bu polinomlar¬n birkaç terimi a¸ sa¼ g¬daki gibi verilir.

T

₀

(x) = 1 ; T

₁

(x) = cos = x

T

₂

(x) = 2x

²

1 ; T

₃

(x) = 4x

³

3x ; :::.

(1.1) ba¼ g¬nt¬s¬ gösterir ki fT

ⁿ

(x) g

¹0

Tchebyshev polinomlar¬ ( 1; 1) aral¬¼ g¬nda (1 x

²

)

¹⁼²