Örnek 1. > 1 ; > 1 olmak üzere 1 x 1 aral¬¼ g¬nda w(x) = (1 x) (1 + x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan P n ( ; ) (x) Jacobi Polinomlar¬

1.4. Ortogonal Polinomlara Örnekler

Örnek 1. > 1 ; > 1 olmak üzere 1 x 1 aral¬¼ g¬nda w(x) = (1 x) (1 + x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan P n ^{( ; )} (x) Jacobi Polinomlar¬

P _n ^{( ; )} (x) = 1 2 ⁿ

X n k=0

n + k

n +

n k (x + 1) ^k (x 1) ^{n k} ; n = 0; 1; 2; :::

serisel gösterimine sahiptir. Bu polinomlar için

P _m ^{( ; )} ; P _n ^{( ; )} = Z 1

1

(1 x) (1 + x) P _m ^{( ; )} (x)P _n ^{( ; )} (x) dx = 0 ; m 6= n

ortogonallik özelli¼ gi sa¼ glan¬r. P n ^{( ; )} (x) Jacobi polinomlar¬n¬n bilinen en önemli özel durumlar¬

a¸ sa¼ g¬daki gibidir:

(i) Legendre polinomlar¬ ( = = 0)

P _n (x) = P _n ^(0;0) (x):

(ii) Birinci çe¸ sit Tchebychef polinomlar¬ ( = = 1=2)

T _n (x) = 2 ²ⁿ 0

@ 2n n

1 A

1

P ⁽

1 2

;

)

n (x):

(iii) · Ikinci çe¸ sit Tchebychef polinomlar¬ ( = = 1=2)

U _n (x) = 2 ²ⁿ 0

@ 2n + 1 n + 1

1 A

1

P ⁽

1 2

;

) n (x):

(iv) Gegenbauer polinomlar¬ (yada Ultraküresel polinomlar¬) ( = )

P _n ^{( )} (x) = 0

@ n + 2 1 A

0

@ 2 1 A

1

P _n ^{( ; )} (x):

( = 1

2 6= 1 2 )

1

Örnek 2. > 1 olmak üzere 0 x < 1 aral¬¼ g¬nda w(x) = x e ^x a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan L ^{( )} n (x) Genelle¸ stirilmi¸ s Laguerre Polinom ailesi

L ^{( )} _n (x) = X n k=0

( 1) ^k n +

n k

x ^k

k! ; n = 0; 1; :::

¸ seklinde ifade edilmektedir. Bu polinomlar

L ^{( )} _m ; L ^{( )} _n = Z 1

0

x e ^x L ^{( )} _m (x)L ^{( )} _n (x) dx = 0 ; m 6= n

ortogonallik özelli¼ gini sa¼ glarlar. = 0 özel durumunda L ^{( 0)} n (x) = L _n (x) Laguerre polinomlar¬

L _n (x) = X n

k=0

( 1) ^k n

n k

x ^k

k! ; n = 0; 1; :::

formunda olup ilk birkaç¬n¬n aç¬k ifadeleri a¸ sa¼ g¬daki gibidir.

L 0 (x) = 1 ; L 2 (x) = 1 2x + 1 2 x ²

L ₁ (x) = 1 x ; L ₃ (x) = 1 3x + 3

2 x ² 1 6 x ³ :

L _n (x) Laguerre polinomlar¬

(L _m ; L _n ) = Z 1

0

e ^x L _m (x)L _n (x) dx = 0 ; m 6= n

ortogonallik ba¼ g¬nt¬s¬n¬sa¼ glar.

Örnek 3. 1 < x < 1 aral¬¼ g¬nda w(x) = e ^x

a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan H _n (x) Hermite polinom ailesi

H _n (x) = [

] X

k=0

( 1) ^k n!

k! (n 2k)! (2x) ^{n 2k} ; n = 0; 1; 2; :::

2

serisel gösterimine sahip olup

(H _m ; H _n ) = Z 1

1

e ^x

H _m (x) H _n (x) dx = 0 ; m 6= n

ortogonallik özelli¼ gine sahiptir.

H _n (x) Hermite polinomlar¬na alternatif olarak, w(x) = e ^x

⁼² a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogo- nal olan He n (x) Hermite polinomlar¬

(He _m ; He _n ) = Z 1

1

e ^x

⁼² He _m (x) He _n (x) dx = 0 ; m 6= n

ba¼ g¬nt¬s¬n¬gerçekler ve bu polinomlarla H n (x) Hermite polinomlar¬aras¬nda

He _n (x) = 2 ⁿ⁼² H _n (2 ¹⁼² x)

e¸ sitli¼ gi sa¼ glan¬r. He n (x) Hermite polinomlar¬istatistikteki uygulamalar için tercih edilen bir formdur.

3