b] kapal¬aral¬¼g¬üzerinde a11y(a

(1)

B ¨ol ¨um 5

S¬n¬r-de¼ger problemleri, özde¼gerler ve özfonksiyonlar

Önceki bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yönteminde sabitinin i¸saretine göre farkl¬çözüm aileleri belirlemi¸stik. Problemle birlikte yan ¸sartlar¬n verilmesi durumunda n¬n i¸saretinin ötesinde almas¬gereken de¼gerlerin de belirlenmesi gerekir. Önceki bölümden sabitini içeren y = y(x) olmak üzere

y⁰⁰+ y = 0 (5.1)

türünde denklemle s¬kça kar¸s¬la¸st¬k. Genelde türevlenebilir p ve sürekli q için

(py⁰)⁰+ ( q)y = 0 (5.2)

biçiminde ifade edilebilen ve [a; b] kapal¬aral¬¼g¬üzerinde

a₁₁y(a) + a₁₂y⁰(a) = 0; (a₁₁; a₁₂)6= (0; 0) (5.3) a₂₁y(b) + a₂₂y⁰(b) = 0; (a₂₁; a₂₂)6= (0; 0); a^ij 2 R (5.4) ile tan¬mlanan ve ayr¬k s¬n¬r ¸sart¬(separated boundary condition) ad¬verilen s¬n¬r-¸sartlar¬n¬ sa¼glayan çözümlere ihtiyac¬m¬z olacakt¬r. Bu bölümde esas itibariyle (5.2)-(5.4) problemini göz önüne alarak ilerleyen bölümlerde ihtiyac¬m¬z olacak k¬sm¬na ait temel kavramlar¬ve teoriyi özetliyoruz. Konuyla ilgili kapsaml¬bilgi için bu bölümü haz¬rlarken yararland¬¼g¬m¬z ve bölüm so- nunda sundu¼gumuz kaynaklar¬ve özellikle kapsaml¬bir çal¬¸sma olan Sturm- Liouville Teorisi isimli [3] referans kayna¼g¬n¬öneririz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(2)

5.1 Giri¸s

Öncelikle tipik baz¬s¬n¬r de¼ger problemlerine göz atal¬m:

ÖRNEK 5.1.

y⁰⁰+ 9y = 0

y(0) = y(1) = 0 probleminin çözümünü ara¸st¬r¬n¬z.

Problemin lineer ba¼g¬ms¬z çözüm kümesi fcos(3x); sin(3x)g olup, genel çözümünü

y = c1cos(3x) + c2sin(3x)

olarak ifade edebiliriz. ¸Simdi de s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan çözümünü belirle- meye çal¬¸sal¬m:

y(0) = c₁ = 0) y = c²sin(3x) elde ederiz. Ancak

y(1) = c₂sin(3) = 0) c² = 0

elde ederiz. O halde problemin a¸sikar çözümü olarak ilk bak¬¸sta elde edilebilen y = 0 çözümü tek çözümdür.

¸

Simdi de a¸sa¼g¬daki örne¼gi inceleyelim:

ÖRNEK 5.2.

y⁰⁰+ ²y = 0

y(0) = y(1) = 0 probleminin çözümünü ara¸st¬r¬n¬z.

Problemin genel çözümünü

y = c₁cos( x) + c₂sin( x)

olarak ifade edebiliriz. ¸Simdi de s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan çözümünü belirle- meye çal¬¸sal¬m:

y(0) = c₁ = 0) y = c²sin( x)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(3)

5.1 Giri¸s 3

elde ederiz. Ancak

y(1) = c₂sin( ) = 0 elde ederiz. O halde problemin

y = c₂sin( x); c₂ 2 R biçiminde sonsuz say¬da çözümünü elde ederiz.

Örnek 5.1 ve Örnek 5.2 den görülece¼gi üzere

y⁰⁰+ y = 0 (5.5)

y(0) = y(1) = 0 (5.6)

probleminin baz¬ de¼gerleri için tek çözüm y = 0 a¸sikar çözümü iken, baz¬

de¼gerleri için sonsuz say¬da çözüm mevcut olabilmektedir. Bu tür prob- lemlerde biz s¬f¬rdan farkl¬çözümleri belirlemek istiyoruz. Bu nedenle hangi

de¼gerleri için s¬f¬rdan farkl¬çözümlerin oldu¼gunu ara¸st¬rmak istiyoruz.

TANIM 5.1. (5.2) denkleminin (5.3),(5.4) s¬n¬r ¸sartlar¬ile s¬f¬rdan farkl¬(y 6=

0) çözümler elde edilmesini sa¼glayan de¼gerlerine probleminin özde¼gerleri ve bu özde¼gerlere kar¸s¬l¬k gelen y 6= 0 çözümlerine de söz konusu problemin özfonksiyonlar¬ad¬verilmektedir.

Göz önüne al¬nan [a; b] kapal¬aral¬¼g¬nda özel olarak p > 0; q 0ise (5.2)- (5.4) probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬ belirleme problemi Regüler Sturm-Liouville(RSL) problemi olarak adland¬r¬l¬r.

Özel olarak

bilinmeyenin s¬n¬rdaki de¼gerlerinden olu¸san s¬n¬r ¸sartlar¬na Dirichlet

¸

sartlar¬ ve

(py⁰)⁰+ ( q)y = 0 (5.7)

y(a) = y(b) = 0 (5.8)

problemine Dirichlet problemi ad¬verilmekte ve

bilinmeyenin türevler üzerindeki de¼gerlerinden olu¸san s¬n¬r ¸sartlar¬na Neumann ¸sartlar¬ve

(py⁰)⁰+ ( q)y = 0 (5.9)

y⁰(a) = y⁰(b) = 0 (5.10) problemine Neumann problemi ad¬ verilmektedir.

(4)

(5.3) ve (5.4) format¬nda olup, s¬n¬r bölgesinin bir k¬sm¬nda Dirichlet ve di¼ger k¬sm¬nda Neumann sartlar¬n¬içeren s¬n¬r ¸sartlar¬na ise kar¬¸s¬k s¬n¬r ¸sartlar¬ ad¬verilir. Örne¼gin

y(a) = y⁰(b) = 0 veya

y⁰(a) = y(b) = 0

gibi s¬kça kullan¬lan kar¬¸s¬k s¬n¬r ¸sartlar¬d¬r, ve ilgili problem ise kar¬¸s¬k s¬n¬r-de¼ger problemi olarak adland¬r¬l¬r.

y + c_@n^@y j^s{n{r= 0biçiminde verilen ve …ziksel uygulamalar için önemli olan bir di¼ger s¬n¬r ¸sart¬ise Robin s¬n¬r ¸sart¬ olarak adland¬r¬l¬r, ilgili problem de Robin problemi olarak adland¬r¬l¬r, burada n d¬¸sar¬yönde birim normal vektör ve c 6= 0 sabittir. Tek boyutlu problemimiz için, sol s¬n¬rda n = [ 1; 0]; sa¼g s¬n¬rda ise n = [1; 0] oldu¼gu için bu ¸sart

y(a) cy⁰(a) = 0 y(b) + cy⁰(b) = 0 olarak ifade edilebilir.

Uygulamalar¬m¬zda genelde p 1; q 0 olacakt¬r. Problem tan¬m kümesini (0; 1) aral¬¼g¬olarak alabiliriz. Bu durumda

y⁰⁰+ y = 0 (5.11)

denkleminin a¸sa¼g¬da verilen 1. y(0) = y(1) = 0(Dirichlet) 2. y⁰(0) = y⁰(1) = 0(Neumann) 3. y⁰(0) = y(1) = 0(Kar¬¸s¬k-I) 4. y(0) = y⁰(1) = 0(Kar¬¸s¬k-II)

5. y(0) y⁰(0) = 0ve y(1) + y⁰(1) = 0 (Robin)

¸sartlar¬ndan herhangi birisi ile olu¸sturulan probleme kanonik RSL problem ad¬ verelim, çünkü (5.11) ile (1-5) problemleri (5.2)-(5.4) formunda ifade edilebilen en sade veya di¼ger bir deyimle "kanonik" problemlerdir.

(5)

5.2 Kanonik problemler üzerinden RSL problemin özellikleri 5

Hat¬rlatma 5.1. Lineer cebirden hat¬rlayaca¼g¬m¬z üzere A bir kare matris olmak üzere

AX = 0

denkleminin s¬f¬rdan farkl¬ çözüme sahip olabilmesi için det(A) = 0 sa¼glanmal¬d¬r.

Gözlem 5.1. y₁ ve y2 (5.3) s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ a = 0 noktas¬nda sa¼glayan türevlenebilir fonksiyonlar ise

a₁₁y₁(0) + a₁₂y⁰₁(0) = 0 a₁₁y₂(0) + a₁₂y⁰₂(0) = 0

elde ederiz, buradan (a11; a12) 6= (0; 0) oldu¼gundan yukar¬daki hat¬rlatma gere¼gi katsay¬matrisinin determinant¬s¬f¬ra e¸sit olmal¬d¬r,

det y₁(0) y₁⁰(0) y₂(0) y₂⁰(0)

= y₁(0)y₂⁰(0) y₁⁰(0)y₂(0) = 0: (5.12) Benzer sonuç b = 1 noktas¬için de geçerlidir ve

y₁(1)y₂⁰(1) y₁⁰(1)y₂(1) = 0 (5.13) d¬r.

5.2 Kanonik problemler üzerinden RSL problemin özellikleri

1. RSL problemin farkl¬özde¼gerlerine kar¸s¬l¬k gelen özfonksiyon- lar ortogonaldir: 1 6= ² olmak üzere bu özde¼gerlere kar¸s¬l¬k gelen özfonksiyonlar s¬ras¬yla y1 ve y2 olsun. O halde

y₁⁰⁰+ ₁y₁ = 0 (5.14)

y₂⁰⁰+ ₂y₂ = 0 (5.15)

elde ederiz. (5.14) ve (5.15) in s¬ras¬yla y2 ve y1 ile iç çarp¬m¬n¬alal¬m, yani söz konusu fonksiyonlarla çarparak [0; 1] aral¬¼g¬ üzerinde (1)-(5)

(6)

s¬n¬r ¸sartlar¬ile integrallerini hesaplayal¬m:

0 = Z1

0

(y₁⁰⁰+ ₁y₁)y₂dx = Z1

0

y₁⁰⁰y₂dx + Z1

0

1y₁y₂dx

= (y⁰₁y₂)j¹0

Z1

0

y⁰₁y₂⁰dx + ₁ Z1

0

y₁y₂dx

) ¹

Z1

0

y₁y₂dx + (y₁⁰y₂)j¹0 = Z1

0

y⁰₁y₂⁰dx (5.16)

ve benzer biçimde

0 = Z1

0

(y₂⁰⁰+ ₂y₂)y₁dx = Z1

0

y₂⁰⁰y₁dx + Z1

0

1y₁y₂dx

= (y⁰₂y₁)j¹0

Z1

0

y⁰₁y₂⁰dx + ₂ Z1

0

y₁y₂dx

) ²

Z1

0

y₁y₂dx + (y₂⁰y₁)j¹0 = Z1

0

y⁰₁y₂⁰dx (5.17)

elde ederiz. (5.16) ve (5.17) dan

( ₁ ₂) Z1

0

y₁y₂dx + (y₁⁰y₂)j¹0 (y₂⁰y₁)j¹0 = 0 (5.18)

elde ederiz. Ayr¬ca (5.12) ve (5.13) den (y₁⁰y₂)j¹0 (y₂⁰y₁)j¹0

= y₁⁰(1)y₂(1) y₁⁰(0)y₂(0) y₂⁰(1)y₁(1) + y₂⁰(0)y₁(0)

= y₁⁰(1)y₂(1) y₂⁰(1)y₁(1) + y₂⁰(0)y₁(0) y₁⁰(0)y₂(0)

= 0 elde ederiz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(7)

1 6= ² oldu¼gu için buradan Z1

0

y₁y₂dx = 0

elde ederiz, yani fy¹; y₂g kümesi [0; 1] aral¬¼g¬nda ortogonaldir.

2. RSL probleminin tüm özde¼gerleri reeldir.

karma¸s¬k say¬s¬ için problemin en az bir karma¸s¬k ( ; y) özde¼ger- özfonksiyon çiftine sahip oldu¼gunu kabul edelim. Bu taktirde e¸slenik almak suretiyle

y⁰⁰+ y = 0 ) y⁰⁰+ y = 0

elde ederiz, yani ( ,y) de di¼ger bir karma¸s¬k özde¼ger özfonksiyon çifti olur. Soldaki denklemi y ve sa¼gdakinin ise y ile iççarp¬m¬n¬al¬p 1) deki i¸slemleri y1 yerine y; y2 yerine y alarak takip ederek,

( )

Z1

0

yydx = 0

elde ederiz ki bu bir çeli¸skidir. Ne ile çeli¸sir?

Birincisi y sürekli fonksiyon ve dolay¬s¬yla Z1

0

yydx = Z1

0

jyj²dx > 0

sonucu ve

Ikincisi ise I) de ispatlad¬¼· g¬m¬z farkl¬özde¼gerlere kar¸s¬l¬k gelen öz- fonksiyonlar¬n ortogonal olma özelli¼gi ile çeli¸sir: 6= kabulümüz- den

0 = Z1

0

yydx = ( ) Z1

0

yydx = ( ) Z1

0

jyj²dx6= 0

O halde kabulümüz yanl¬¸s, ve dolay¬s¬yla = olmal¬, yani reel olmal¬d¬r.

(8)

3. RSL problemleminin Dirichlet ¸sartlar¬ile özde¼gerleri pozitif, Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬ile nonnegatiftir.

(5.11) denkleminin her iki yan¬n¬y ile çarparak [0; 1] aral¬¼g¬üzerinden (1) (2) s¬n¬r ¸sartlar¬ndan herhangi birisi ile integralini alal¬m:

0 = Z1

0

(y⁰⁰y + y²)dx

= Z1

0

y⁰⁰ydx + Z1

0

y²dx

= (y⁰y)j¹0

Z1

0

(y⁰)²dx + Z1

0

y²dx

= Z1

0

(y⁰)²dx + Z1

0

y²dx

ve ilk ve son terimden

= Z1

0

(y⁰)²dx Z1

0

y²dx

0 (5.19)

elde ederiz, burada (1) veya (2) s¬n¬r ¸sart¬ile

(y⁰y)j¹0 = y⁰(1)y(1) y⁰(0)y(0) = 0 oldu¼gunu kulland¬k.

4. Özde¼gerler monoton artan bir dizi olu¸sturur ve basittirler Özde¼gerler

1 < ⁰ < ₁ <

(9)

biçiminde monoton artan bir dizi olu¸stutururlar ve bu dizi üstten s¬n¬rl¬de¼gildir, yani

n!1lim n =1 sa¼glan¬r.

Özde¼gerler basittirler, yani her bir özde¼gere tek bir özfonksiyon kar¸s¬l¬k gelir(bir özfonksiyonun sabit kat¬da özfonksiyondur, fakat sabit katlar ile elde edilen özfonksiyonlar farkl¬özfonksiyon olarak kabul edilmezler): Kabul edelmin ki k özde¼gerine yk ve Yk gibi iki öz fonksiyondan olu¸san lineer ba¼g¬ms¬z fy^k; Ykg kümesi kar¸s¬l¬k gelsin. Her iki özfonksiyon da sol ve sa¼g uçnoktadaki s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glamal¬d¬r. Örne¼gin x = 0 noktas¬nda

a₁₁yk(0) + a₁₂y⁰_k(0) = 0 a₁₁Y_k(0) + a₁₂Y_k⁰(0) = 0

sa¼glanmal¬d¬r, ancak (a11; a₁₂) 6= (0; 0) d¬r, o halde katsay¬ matrisinin determinant¬s¬f¬ra e¸sit olmal¬d¬r, yani

det y_k(0) y_k⁰(0)

Y_k(0) Y_k⁰(0) = det y_k(0) Y_k(0)

y_k⁰(0) Y_k⁰(0) = 0

sa¼glanmal¬d¬r. Ancak Wronkskian olarak bilinen bu determinan- t¬n bir noktada s¬f¬r olmas¬,

–(0; 1) içerisinde her noktada s¬f¬r olmas¬n¬ gerektirir[5]. Öte yandan

–ikinci basamaktan bir denklemin çözümlerine ait Wronskian’n¬n s¬f¬ra e¸sit olmas¬, söz konusu çözümlerin lineer ba¼g¬ml¬ olmas¬n¬gerektirir. Bu sonuç ise kabulümüzle çeli¸sir.

5. Özfonksiyonlar¬n s¬f¬r yerleri

y_n (n > 1)ile gösterece¼gimiz n inci özfonksiyonunun (0; 1) ara- l¬¼g¬nda (n 1)adet s¬f¬r yeri vard¬r.

y_n nin her bir s¬f¬r yeri, yn 1 in ard¬¸s¬k s¬f¬r yerleri aras¬nda yer al¬r.

(10)

6. RSL probleminin özfonksiyonlar¬n¬n taml¬¼g¬Ortogonal olan fyⁿg¹n=0

özfonksiyonlar kümesi [0; 1] aral¬¼g¬nda karesi integrallenebilir fonksiyon uzay¬olan L2[0; 1] de tamd¬r : Di¼ger bir deyimle problemin s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan bu uzaydaki f fonksiyonu

f = X1 n=0

c_ny_n (5.20)

olarak ifade edilebilir ve

S_N :=

XN n=0

c_ny_n k¬smi toplam¬için

jjf S_Njj^L2 ! 0; N ! 1 ba¼g¬nt¬s¬bilinmektedir, yani

Z 1 0

(f (x) S_N(x))²dx! 0; N ! 1 (5.21) geçerlidir. f fonksiyonun süreklilik ve türevlenebilirlik gibi regülerite özellikleri olarak bilinen özellikleri ne kadar iyi olursa, zay¬f yak¬nsama olarak bilinen (5.21) yak¬nsakl¬¼g¬ bundan daha güçlü olan noktasal yak¬nsama ve hatta düzgün yak¬nsama olarak ta gerçekle¸sebilmekte- dir. Bu kavramlar¬Fourier serilerini inceledi¼gimiz bir sonraki bölümde netle¸stirmeye çal¬¸saca¼g¬z.

f fonksiyonunun (5.20) biçiminde ifade edilebilmesi durumunda, öz- fonksiyonlar kümesinin ortogonalli¼ginden

c_n= Z1

0

f (x)y_n(x)dx Z1

0

y_n²(x)dx

; n = 0; 1; (5.22)

elde ederiz.

(11)

5.3 Özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n hesaplanmas¬ 11

5.3 Özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n hesaplanmas¬

1. Dirichlet Probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬: Yukar¬daki analizimizden > 0 oldu¼gunu biliyoruz, i¸slemlerimizden olu¸sabilcek köklü ifadelerden kurtulmak için = k²; k > 0 biçimde özde¼ger araya- l¬m ve kar¸s¬l¬k gelen öz fonksiyonu yk ile gösterelim. Buradan

y⁰⁰+ y = 0) y⁰⁰+ k²y = 0

elde ederiz. Denklemimizin lineer ba¼g¬ms¬z çözümler kümesi fcos(kx); sin(kx)g

olup, genel çözümümüzü

y = a_kcos(kx) + b_ksin(kx)

olarak ifade edebiliriz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan çözümü bulal¬m:

y(0) = a_k = 0) y = b^ksin(kx) ve

y(1) = b_ksin(k) = 0; b_k 6= 0 ) k = kⁿ = n ; n = 1; 2;

elde ederiz. O halde

n= k²_n= n² ²; n = 1; 2;

elde ederiz. Bir özfonksiyonun sabit kat¬ da özfonksiyondur bk = 1 seçimiyle temsilci bir özfonksiyon seçerek, ne kar¸s¬l¬k gelen özfonksiy- onu

y_n= sin(n x); n = 1; 2;

olarak elde ederiz. O halde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyon çiftlerini

n= n² ²; y_n= sin(n x); n = 1; 2; (5.23) olarak elde ederiz.Yukar¬da (5.23) ile tan¬mlanan ilk alt¬özfonksiyonun gra…¼gi ¸Sekil 5.1 ile verilmektedir.

Bu durumda (5.20) ile tan¬mlanan aç¬l¬m f =

X1 n=1

bnsin(n x) ile tan¬mlanan Fourier sinüs aç¬l¬m¬d¬r.

(12)

¸

Sekil 5.1: Dirichlet probleminin ilk alt¬özfonksiyonu.

2. Neumann Probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬: Bu kez yukar¬- daki analizimizden 0 d¬r.

= 0 için özfonksiyonu y0 ile göstererek, y⁰⁰ = 0) y = a + bx ve s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glamas¬gerekti¼ginden

y⁰(0) = 0) b = 0

elde ederiz ve temsilci sabit özfonksiyonu y = a = 1=2 olarak alabiliriz. O halde özde¼ger-özfonksiyon çiftimiz

( 0; y0) = (0; 1=2) dir.

(13)

5.4 Periyodik Sturm-Liouvile Problemi 13

> 0 özelli¼gini sa¼glayan özde¼ger için köklü ifadelerden kurtulmak için = k²; k > 0¸seklinde özde¼gerler arayarak Dirichlet problemine benzer olarak

y = a_kcos(kx) + b_ksin(kx) ve türev almak suretiyle

y⁰ = ka_ksin(kx) + kb_kcos(kx) elde ederiz. S¬n¬r ¸sarlar¬ndan

y⁰(0) = 0) b^k= 0 ve

y⁰(1) = ka_ksin(k) = 0;

den ak 6= 0 ) k = kⁿ = n ; ve y = yn = cos(n x); n = 1; 2; ; elde ederiz.

O halde tüm özde¼ger ve özfonksiyon çiftlerini

0 = 0; y₀ = 1=2; _n = n² ²; y_n= cos(n x); n = 1; 2; (5.24) olarak elde ederiz. (5.24) ile tan¬mlanan özfonksiyonlar¬n ilk al- t¬s¬n¬n gra…¼gi ¸Sekil 5.2 ile verilmektedir.

X1 n=0

a_ny_n(x) = 1 2a₀+

X1 n=1

a_ncos(n x) (5.25) olarak ifade edilir ki bu aç¬l¬m bir sonraki bölümde detayl¬olarak inceleyece¼gimiz f fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier cosinüs aç¬l¬m¬d¬r.

5.4 Periyodik Sturm-Liouvile Problemi

Bu bölümde sadece (a; b) aral¬¼g¬nda ifade edebilen

y⁰⁰+ y = 0 (5.26)

y(a) = y(b); y⁰(a) = y⁰(b) (5.27)

(14)

¸

Sekil 5.2: Neumann probleminin ilk alt¬özfonksiyonu.

Sturm-Liouville problemini göz önüne alaca¼g¬z ve bu probleme de kanonik peryodik Sturm-Liouville problemi ad¬n¬ verece¼giz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬n ayr¬k olmad¬¼g¬na dikkat edelim.

Öncelikle kanonik periyodik Sturm-Liouville probleminin özde¼gerleri de nonnegatiftir, çünkü (5.19) ba¼g¬nt¬s¬n¬peryodik probem için de elde edebiliriz, çünkü peryodik s¬n¬r ¸sartlar¬ile de

(y⁰y)j^ba = y⁰(b)y(b) y⁰(a)y(a)

= 0

d¬r. Regüler Sturm-Liouville probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬na ait di¼ger özelliklerin hemen hemen hepsi peryodik Sturm-Liouville problemi için de sa¼glan¬r. Ancak istisnalar söz konusudur, örne¼gin peryodik Sturm-Liouville probleminin özde¼gerleri basit de¼gildir.

(15)

ÖRNEK 5.3.

y⁰⁰+ y = 0

y(0) = y(1); y⁰(0) = y⁰(1) probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬belirleyiniz.

y = sabit özfonksiyondur ve dolay¬s¬yla = 0 özde¼gerdir, özfonksiyo- numuzu u0 = 1=2 olarak seçelim ve kar¸s¬l¬k gelen özde¼gerimiz 0 = 0 olur.

> 0 özelli¼gini sa¼glayan özde¼ger için köklü ifadelerden kurtulmak için

= k²; k > 0¸seklinde özde¼gerler arayarak Dirichlet problemine benzer olarak

y⁰ = ka_ksin(kx) + kb_kcos(kx) elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬ndan

y(0) = y(1)) a^k= a_kcos(k) + b_ksin(k) (5.28) y⁰(0) = y⁰(1) ) kb^k= ka_ksin(k) + kb_kcos(k) (5.29) elde ederiz. cos(k) = 1 ve dolay¬s¬yla sin(k) = 0 seçersek, sa¼glan¬r.

Ancak

cos(k) = 1) k = kⁿ= 2n ; n = 1; 2; :::

ve özfonksiyonlar¬m¬z¬ise

y_n = a_ncos(2n x) + b_nsin(2n x) olarak elde ederiz. Ancak daha özel olarak

a_n= 1; b_n= 0 seçerek un = cos(2n x); n = 1; 2; ::ve

a_n = 0; b_n = 1 seçerek vn = sin(2n x); n = 1; 2; :: alt ailelerini elde ederiz. O halde özde¼ger ve özfonksiyon ailelerini

0 = 0; u₀ = 1=2; _n = (2n )²; u_n= cos(2n x); n = 1; 2; :(5.30)

v_n = sin(2n x); n = 1; 2; : (5.31)

olarak elde ederiz. Özde¼gerlerin regüler problemin aksine basit olmad¬klar¬ aç¬kça görülmektedir. Ilk n = 0; 1; 2; 3 için özfonksiyon· gra…kleri ¸Sekil5.3 de sunulmaktad¬r.

(16)

¸

Sekil 5.3: Örnek 5.3 probleminin ilk yedi özfonksiyonu

Kanonik peryodik SL probleminin özfonksiyonlar¬n¬n da ortogonal bir küme oldu¼gunu kolayca görebiliriz(Al¬¸st¬rma 13).

Ayr¬ca her bi n için vn ’nin 2n 1 adet, un ’nin ise 2n adet s¬f¬r yeri oldu¼gunu gözlemliyoruz.

ÖRNEK 5.4.

y⁰⁰+ y = 0

y( 1) = y(1); y⁰( 1) = y⁰(1) probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬belirleyiniz.

y = sabit özfonksiyondur ve dolay¬s¬yla = 0 özde¼gerdir, özfonksiyo- numuzu u0 = 1=2 olarak seçelim ve kar¸s¬l¬k gelen özde¼gerimiz 0 = 0 olur.

(17)

> 0 özelli¼gini sa¼glayan özde¼ger için köklü ifadelerden kurtulmak için

= k²; k > 0¸seklinde özde¼gerler arayarak Dirichlet problemine benzer olarak

y⁰ = ka_ksin(kx) + kb_kcos(kx) elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬ndan

y( 1) = y(1)) a^kcos(k) b_ksin(k) = a_kcos(k) + b_ksin(k)

y⁰( 1) = y⁰(1) ) ka^ksin(k) + kb_kcos(k) = ka_ksin(k) + kb_kcos(k) elde ederiz. sin(k) = 0 için denklem sistemi sa¼glan¬r.

sin(k) = 0 ) k = kⁿ = n ; n = 1; 2; :::

ve özfonksiyonlar¬m¬z¬ise

y_n = a_ncos(n x) + b_nsin(n x)

olarak elde ederiz. Ancak daha özel olarak an = 1; bn = 0 seçerek u_n = cos(n x); n = 1; 2; ::ve

a_n = 0; b_n = 1 seçerek vn = sin(n x); n = 1; 2; :: alt ailelerini elde ederiz. O halde özde¼ger ve özfonksiyon ailelerini

0 = 0; u₀ = 1=2; _n= (n )²; u_n= cos(n x); n = 1; 2; : (5.32)

v_n = sin(n x); n = 1; 2; : (5.33)

olarak elde ederiz.

X1 n=0

a_nu_n+ X1 n=0

b_nv

= 1

2a0+ X1 n=1

ancos(n x) + X1 n=1

bnsin(n x)

olarak ifade edilir ki bu aç¬l¬m bir sonraki bölümde detayl¬ olarak inceleyece¼gimiz f fonksiyonunun [ 1; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier aç¬l¬m¬d¬r.

(18)

5.5 De¼gi¸sken katsay¬l¬Regüler Sturm-Liouville Problemleri için say¬sal bir yöntem

p; q; veya w n¬n sabit olmamas¬ durumunda özde¼ger veya özfonksiyonlar¬

analitik olarak, yani önceki bölümlerdeki gibi ka¼g¬t-kalem, yard¬m¬yla elde edemeyiz. Bu durumda say¬sal yöntemlerin kullan¬lmas¬gerekir. Bu amaçla geli¸stirilmi¸s ileri düzey SLEIGN[4] ve de¼gi¸sik versiyonlar¬ veya alternatif yaz¬l¬mlar mevcuttur. Bu bölümde ana hatlar¬ itibariyle Prüfer dönü¸sümü ad¬verilen dönü¸sümle ikinci basamaktan lineer olan RSL probleminin birinci basamaktan nonlineer sisteme dönü¸stürülerek, söz konusu nonlineer sistemin say¬sal olarak Octave ortam¬nda çözümünü esas alan bir yöntemi inceleyece¼giz ve baz¬sabit ve de¼gi¸sken katsay¬l¬RSL problemlerinin kullan¬c¬taraf¬n- dan verilen ba¸slang¬ç tahmini özde¼ger ve özde¼ger indisi(pozitif tamsay¬) ile nas¬l hesapland¬¼g¬n¬inceleyece¼giz.

Bu amaçla de¼gi¸sken katsay¬l¬olabilen p = p(t) > 0; q = q(t); w = w(t) > 0 için

(py⁰)⁰+ qy = wy; 0 < t < 1 (5.34) y(0) = y(1) = 0

De¼gi¸sen Katsay¬l¬RSL problemini Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬ile göz önüne alal¬m.

Prüfer dönü¸sümü ad¬verilen

y = sin( ); py⁰ = cos( ) (5.35)

¸seklindeki dönü¸süm ile Problem (5.34) (t) ve (t) için

0 = 1

pcos²( ) + ( w q) sin²( ) (5.36)

0 = 1

2(1

p + q w) sin(2 ) (5.37)

(0) = 0; (1) = n ; n = 1; 2; ::: (5.38)

(0) = 1 (5.39)

sistemine dönü¸sür. n inci özfonksiyonu belirlemek için (1) = n al¬nmak- tad¬r.

(5.36)-(5.39) sistemi (0; 1) aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ bir nonlineer s¬n¬r- de¼ger problemidir. A¸sa¼g¬daki Algoritma ile özetlendi¼gi üzere tahmini ile

(19)

5.5 De¼gi¸sken katsay¬l¬Regüler Sturm-Liouville Problemleri için say¬sal bir

yöntem 19

problem aral¬¼g¬n solundan sa¼ga ve sa¼g¬ndan sola kadar uygun bir tp 2 (0; 1) noktas¬na kadar say¬sal yöntemlerle çözülüp

lim

t!tp

(t) = lim

t!t⁺p

(t)

e¸sitli¼gini nümerik tolerans çerçevesinde sa¼glayan de¼geri belirlenmeye çal¬¸s¬l¬r.

Biz burada tp = 1=2 al¬yor ve say¬sal yöntem olarak MATLAB/OCTAVE ode45 çözücüsünü kullan¬yoruz.

Örne¼gin kanonik RSL problemi için w = 1; q = 0; p = 1 olup,y = sin( ) nin t ye göre türevini alarak

y⁰ = ⁰sin( ) + cos( ) ⁰ = cos( ) (5.40) elde ederiz. Öte yandan y⁰ = cos( )n¬n t ye göre türevini alarak y⁰⁰= y oldu¼gunu kullanarak

y⁰⁰= ⁰cos( ) sin( ) ⁰ = y = sin( ) (5.41) elde ederiz. Birlikte yazarak ⁰ ve ⁰ bilinmeyenli

sin( ) ⁰+ cos( ) ⁰ = cos( ) cos( ) ⁰ sin( ) ⁰ = sin( ) sistemini elde ederiz. Yok etme yöntemiyle bu sistemi çözerek

0 = cos²( ) + sin²( )

0 = sin( ) cos( )(1 )

= 1

2(1 ) sin(2 ) elde ederiz.

Verilen tahmini = _b; n de¼geri için Modi…ye SLEIGN (M_Sleign) ad¬n¬ verdi¼gimiz a¸sa¼g¬daki algoritma ile( n; y_n) özde¼ger ve özfonksiyon çif- tini hesapl¬yoruz. SLEIGN dan farkl¬ olarak orta noktadaki teta bile¸seni üzerindeki e¸sle¸stirme i¸slemini Newton yöntemiyle gerçekle¸stiriyoruz, ayr¬ca MATLAB/Octave ode45 ile ilgili sistemleri çözüyoruz.

Algoritma(M_Sleign)

1. Girdi p; q; w,lamda = _b ,n

(20)

2. test = 1 al ve tol = 1e 8 olmak üzre test > tol oldu¼gu sürece a¸sa¼g¬daki ad¬mlar¬tekrarla

(a) Prüfer dönü¸sümü alt¬nda

y = sin( ); py⁰ = cos( )

biçiminde aranan çözüm bile¸senleri için [0; 0:5] aral¬¼g¬nda (0) = 0; (0) = 0; (0) = 1 ba¸slang¬ç de¼gerleri ile ekli sistem ad¬n¬

verece¼gimiz a¸sa¼g¬daki sistemi çöz.

0 = 1

pcos²( ) + ( w q) sin²( )

0 = ( 1

p+ w q) sin(2 ) + w sin²( )

t_p = 0:5 noktas¬ndaki 1 = (t_p); 1 = (t_p) de¼gerlerini kaydet. Ayr¬ca T 1 : çözüm elde edilen t de¼gerler vektörü olmak üzere T eta1 = (T 1) de¼gerini kaydet.

(b) (1) = n ; (1) = 0 baslang¬ç de¼gerleri ile Ekli sistemi [0:5 1]

aral¬¼g¬nda geriye do¼gru çöz. t_p noktas¬ndaki 2 = (t_p); 2 = (t_p) de¼gerlerini kaydet. Ayr¬ca T 2 : çözüm elde edilen t de¼gerler vektörü olmak üzere T eta2 = (T 2) de¼gerini kaydet.

(c) f ark = 1 2 ve f ark_lamda= 1 2 de¼gerlerini tan¬mla ve f ark( ) = 0 denklemini sa¼glayan de¼gerini bulmak için Newton yöntemiyle lamda de¼gerini güncelle:

lamda = lamda f ark=f ark_lamda (d) test = abs(f ark) > tol degerini tan¬mla

(e) T = [T 1 T 2] ve T eta = [T eta1 T eta2] vektörlerini tan¬mla 3. (2)(d) de elde edilen T de¼gerleri için

0 = 1

2(1

p + q w) sin(2 ) (0) = 1

ba¸slang¬ç de¼ger problemini çöz.

(21)

yöntem 21

4. Ç¬kt¬: y = sin(T eta) özfonksiyonu ve lamda de¼geri

ÖRNEK 5.5. Kanonik RSL Probleminin Dirichlet s¬n¬r ¸sart¬ ile say¬sal özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬ yuar¬da tan¬tt¬¼g¬m¬z M_Sleign ile hesaplay¬n¬z.

>> [T,Y,lamda]=sturmnewton(8,1);

>> lamda lamda = 9.8696

n gerçek say¬sal

1 ² :

= 9.8696 9.8696 2 4 ² :

=39.478 39.479 3 9 ² :

=88.826 88.828 4 16 ² :

=157.91 157.92

S¬ras¬yla n = 1; 2; 3; 4 de¼gerleri için elde ett¼gimiz özfonksiyon gra…kleri

¸

Sekil 5.4 de sunulmaktad¬r.

ÖRNEK 5.6. Parçal¬sürekli

p(t) = 1=2; 0 < t < 1=2 1; 1=2 t < 1 için

(py⁰)⁰+ y = 0

y(0) = y(1) = 0

probleminin ilk dört özde¼ger ve özfonksiyonunu M_SLEIGN ile belirleyiniz.

Elde etti¼gimiz lamda de¼gerleri a¸sa¼g¬daki tabloda sunulmaktad¬r.

n say¬sal 1 7:1692 2 25:820 3 63:207 4 105:88

(22)

¸

Sekil 5.4: Örnek 5.5 e ait problemin ilk dört özfonksiyonu(sürekli p durumu)

Özfonksiyon gra…kleri ise s¬ras¬yla n = 1; 2; 3; 4 de¼gerleri için ¸Sekil 5.5 de sunulmaktad¬r.

Al¬¸st¬rmalar 5.1.

1.

y⁰⁰+ y = 0

denkleminin a¸sa¼g¬da verilen s¬n¬r ¸sartlar¬ özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬

belirleyiniz (a) Kar¬¸s¬k-I:

y⁰(0) = y(1) = 0 (b) kar¬¸s¬k-II

y(0) = y⁰(1) = 0 (c) Robin:

y(0) y⁰(0) = 0; y(1) + y⁰(1) = 0

(23)

yöntem 23

¸

Sekil 5.5: Örnek 5.6 ya ait problemin ilk dört özfonksiyonu(parçal¬sürekli p durumu)..

2. Dirichlet probleminin

fsin(n x)g¹n=1

ile verilen özfonksiyon ailesinin [0; 1] aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gös- teriniz.

3. Neumann probleminin

f1=2g [ fcos(n x)g¹n=1

ile verilen özfonksiyon ailesinin [0; 1] aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gös- teriniz.

4. Soru 1(b) de elde etti¼giniz özfonksiyon ailesinin [0; 1] aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.

5. Soru 1(c) de elde etti¼giniz özfonksiyon ailesinin [0; 1] aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.

(24)

6. Soru 1 denklemin [0; L] aral¬¼g¬ndaki özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬s¬ras¬yla a¸sa¼g¬daki s¬n¬r ¸sartlar¬ile elde ediniz.

(a) Dirichlet, (b) Neumann (c) Kar¬¸s¬k-I, (d) Kar¬¸s¬k-II

(e) Robin 7. Soru 1 i

y⁰⁰+ ( 4)y = 0

problemi için tekrarlay¬n¬z. Elde etti¼giniz özde¼ger ve özfonksiyonlar¬

Soru1 deki sonuçlar¬n¬zla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Genelde sabit q > 0 için homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬ile

y⁰⁰+ y = 0 ve y⁰⁰+ ( q)y = 0

problemlerinin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬aras¬nda nas¬l bir ili¸ski göz- lemlersiniz?

8. Soru 7 yi Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬için tekrarlay¬n¬z.

9. Sabit p > 0 için

py⁰⁰+ y = 0 ve y⁰⁰+ y = 0

denklemlerinin homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬ile özde¼ger ve özfonksiy- onlar¬n¬belirleyiniz. Aralar¬nda nas¬l bir ili¸ski gözlemliyorsunuz?

10. Sabit p > 0 ve q > 0 için

py⁰⁰+ ( q)y = 0

denkleminin homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬ile özde¼ger ve özfonksiyon- lar¬n¬elde ediniz. Sonucunuzu p = 1; q = 0 için elde etti¼gimiz özde¼ger ve özfonksiyonlarla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Sabit p ve q nun özde¼gerler ve öz- fonksiyonlar üzerindeki etkisi nedir?

11. Soru 1(a) da elde etti¼giniz özfonksiyonlar¬n artan indis de¼gerleri için gra…klerini gözlemleyiniz. Ard¬¸s¬k özfonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerini ince- leyiniz. Ne gözlemliyorsunuz?

(25)

yöntem 25

12. Soru 1(c) de elde etti¼giniz özfonksiyonlar¬n artan indis de¼gerleri için gra…klerini gözlemleyiniz. Ard¬¸s¬k özfonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerini ince- leyiniz. Ne gözlemliyorsunuz?

13. Kanonik peryodik problemin özfonksiyonlar¬n¬n ortogonal oldu¼gunu gös- teriniz.

14. Peryodik problemin [0; L] aral¬¼g¬ üzerindeki özde¼ger ve özfonksiyon- lar¬n¬belirleyiniz.

15. Peryodik s¬n¬r ¸sartlar¬ve p > 0 sabiti için (0; 1)üzerinde tan¬ml¬

py⁰⁰+ y = 0

denkleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬ belirleyiniz. Elde etti¼giniz sonuçlar¬peryodik kanonik problem sonuçlar¬yla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

16. Peryodik s¬n¬r ¸sartlar¬ve q > 0 sabiti için (0; 1)üzerinde tan¬ml¬

y⁰⁰+ ( q)y = 0

denkleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬ belirleyiniz. Elde etti¼giniz sonuçlar¬peryodik kanonik problem sonuçlar¬yla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

17. Peryodik s¬n¬r ¸sartlar¬ve p > 0 ve q > 0 için (0; 1) üzerinde tan¬ml¬

py⁰⁰+ ( q)y = 0

denkleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬belirleyiniz.p = 1; q = 0 için elde edilen peryodik kanonik problem sonuçlar¬yla kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

18. Peryodik s¬n¬r ¸sartlar¬ ve p > 0 ve q > 0 için (0; L); L > 0 üzerinde tan¬ml¬

py⁰⁰+ ( q)y = 0

denkleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬ belirleyiniz. Elde etti¼giniz sonuçlar¬Soru 14’te ki cevab¬n¬z ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

19. Kanonik RSL problemi için gerçekle¸stirdi¼gimiz ad¬mlar¬takip ederek, (5.35) ile verilen Prüfer dönü¸sümü alt¬nda (5.34) sisteminin (5.36)- (5.39) sistemine dönü¸stü¼günü gösteriniz.

20. Program 5.1 i çal¬¸st¬rarak Örnek 5.5 deki sonuçlar¬yeniden türetiniz.

21. Program 5.1 i çal¬¸st¬rarak Örnek 5.6 deki sonuçlar¬yeniden türetiniz.