(x) g bir [a; b] aral¬¼ g¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n bir dizisi olsun. 8x 2 [a; b] için q(x) 0 olan bir fonksiyon olmak üzere e¼ ger,

(1)

Ortogonal Fonksiyonlar Sistemi

f

n

(x) g bir [a; b] aral¬¼ g¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n bir dizisi olsun. 8x 2 [a; b] için q(x) 0 olan bir fonksiyon olmak üzere e¼ ger,

Z

b

a

q(x)

_m

(x)

_n

(x) dx = 0 ; m 6= n

sa¼ glan¬yor ise, f

n

(x) g fonksiyonlar dizisine [a; b] aral¬¼ g¬nda q(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal (dik) bir sistem te¸ skil ediyor denir. E¼ ger bu integralde m = n al¬n¬rsa,

k

n

k = 2 4 Z

b

a

q(x)

²_n

(x) dx 3 5

1=2

ifadesine f

n

g ortogonal sisteminin normu denir.

Ortogonal bir sistemin herbir eleman¬ normuna bölünerek ortonormal bir sistem elde edilir.

Ortonormal sistemler, Z

b

a

q(x)

_m

(x)

_n

(x)dx = 8 <

:

0 ; m 6= n 1 ; m = n ko¸ sulunu gerçeklerler.

Örnek 1. fsin 3nxg ; n = 1; 2::: fonksiyonunun [ ; ] de q(x) = 1 a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal sistem te¸ skil etti¼ gini gösterip, bu sisteme kar¸ s¬l¬k gelen ortonormal sistemi bulunuz.

Çözüm: fsin 3nxg ; n = 1; 2::: fonksiyonunun [ ; ] de ortogonal bir sistem te¸ skil etmesi için,

Z

sin(3nx) sin(3mx)dx = 0; m 6= n

oldu¼ gunu göstermeliyiz.

sin(3nx) sin(3mx) = 1

2 [cos(3m 3n)x cos(3m + 3n)x]

1

(2)

olup integralde yerine yaz¬ld¬¼ g¬nda Z

sin(3nx) sin(3mx)dx = 1 2 Z

[cos(3m 3n)x cos(3m + 3n)x]

= sin(3m 3n)x

(3m 3n) + sin(3m + 3n)x

(3m 3n)

₀

= 0

olup o halde fsin 3nxg n = 1; 2::: ortogonal bir sistem olarak bulunur.

ksin(3nx)k

²

= Z

sin

²

(3nx)dx

= Z

0

(1 6 cos(6nx))dx

=

elde edilir. O halde

ksin(3nx)k = p

bulunur. Bu sisteme kar¸ s¬l¬k gelen ortonormal sistem herbir eleman¬n norma bölünmeiyle elde edilir ki bu da

Z sin(3nx)

p sin(3mx)

p dx =

8 <

:

0; m 6= n 1; m = n olmas¬d¬r.

Örnek 2. P

_n

(x) Legendre polinomlar¬[ 1; 1] aral¬¼ g¬nda !(x) = 1 a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre diktirler.

Çözüm:

Z

1

P

_m

(x)P

_n

(x)dx = 0 ; m 6= n

sa¼ glan¬r.

Bunu ispat edebilmek için Legendre diferensiyel denklemini ele alal¬m. P

m

ve P

n

Legendre

2

(3)

polinomlar¬olduklar¬na göre Legendre diferensiyel denklemini sa¼ glayacaklard¬r.

1 x

²

P

_m⁰⁰

(x) 2xP

_m⁰

(x) + m(m + 1)P

_m

(x) = 0

1 x

²

P

_n⁰⁰

(x) 2xP

_n⁰

(x) + n(n + 1)P

_n

(x) = 0

Bu e¸ sitliklerden birincisini P

n

ile, ikincisini P

m

ile çarpar ve taraf tarafa ç¬kart¬rsak d

dx 1 x

²

(P

n

P

_m⁰

P

m

P

_n⁰

) = (n m)(n + m + 1)P

m

P

n

elde edilir. Bu son e¸ sitli¼ gin her iki yan¬n¬n [ 1; 1] aral¬¼ g¬nda integre edildi¼ ginde e¸ sitli¼ gin sa¼ g taraf¬n¬n s¬f¬r olmas¬dikkate al¬n¬rsa,