[a; b] kapal¬ aral¬¼ g¬ üzerinde tan¬ml¬ reel bir f fonksiyonu verilsin. [a; b]

(1)

BEL· IRL· I · INTEGRAL

[a; b] kapal¬ aral¬¼ g¬ üzerinde tan¬ml¬ reel bir f fonksiyonu verilsin. [a; b]

kapal¬aral¬¼ g¬n¬;

a = x

₀

< x

₁

< x

₂

< < x

_{n 1}

< x

_n

= b

biçiminde n parçaya bölelim. P = fx

⁰

; x

1

; x

2

; :::; x

n 1

g kümesine [a; b] ka- pal¬aral¬¼ g¬n¬n bir parçalanmas¬ ad¬verilir. P parçalanmas¬yard¬m¬yla elde edilen

[x

0

; x

1

] ; [x

1

; x

2

] ; :::; [x

n 1

; x

n

]

aral¬klar¬na [a; b] kapal¬aral¬¼ g¬n¬n P parçalanmas¬na kar¸ s¬l¬k gelen kapal¬alt aral¬klar¬denir. E¼ ger; aral¬klar e¸ sit uzunluklu ise, P parçalanmas¬düzgündür denir. Herbir alt aral¬¼ g¬n uzunlu¼ gu;

(8k) (k = 1; 2; :::n) : x

_k

= x

_k

x

_{k 1}

biçiminde ifade edilir. E¼ ger; P parçalanmas¬düzgün ise

(8k) (k = 1; 2; :::n) : x

_k

= x = b a n

dir. Alt aral¬klar¬n boylar¬n¬n en büyü¼ güne P parçalanmas¬n¬n normu ad¬

verilir ve

kP k = max

1 k n

x

k

biçiminde ifade edilir.

f : [a; b] ! R sürekli fonksiyonu ve [a; b] kapal¬aral¬¼ g¬n¬n P parçalan- mas¬için, herbir alt aral¬ktan bir c

k

noktas¬seçilerek taban uzunlu¼ gu x

k

x

_{k 1}

ve yüksekli¼ gi f (c

_k

) olan dikdörtgenler elde edilirse bu dikdörtgenlerin alanlar¬her k = 1; 2; :::; n için jf (c

k

) x

_k

j olacakt¬r. Bu alanlar¬n toplam¬;

R (f; P ) = X

n k=1

jf (c

k

) x

_k

j

f fonksiyonunun P parçalanmas¬na kar¸ s¬l¬k gelen Riemann Toplam¬ olarak adland¬r¬l¬r. Riemann Toplam¬, P parçalanmas¬na ve parçalanmaya kar¸ s¬l¬k gelen aral¬klardan seçti¼ gimiz c

_k

say¬lar¬na ba¼ gl¬d¬r.

(8k) (k = 1; 2; :::n) için

M

_k

= max fjf (x)j : x

k 1

< x < x

_k

g m

_k

= min fjf (x)j : x

k 1

< x < x

_k

g

1

(2)

biçiminde tan¬mlanmak üzere A (f; P ) =

X

n k=1

m

k

x

k

ve • U (f; P ) = X

n k=1

M

k

x

k

toplamlar¬na s¬ras¬yla, f fonksiyonunun P parçalanmas¬na kar¸ s¬l¬k gelen Alt Riemann Toplam¬ ve Üst Riemann Toplam¬ ad¬verilir. Tan¬mlar gözönüne al¬nd¬¼ g¬nda

A (f; P ) R (f; P ) U (f; P ) • olaca¼ g¬aç¬kt¬r.

Tan¬m f , [a; b] kapal¬ aral¬¼ g¬ üzerinde tan¬ml¬, s¬n¬rl¬ reel de¼ gerli bir fonksiyon olsun. E¼ ger;

lim

kP k!0

X

n k=1

f (c

_k

) x

_k

= I (1)

limiti mevcut ise, I de¼ gerine f fonksiyonunun a dan b ye belirli integrali denir ve

I = Z

b

a

f (x) dx

biçiminde ifade edilir. Bu durumda; f fonksiyonu [a; b] üzerinde integral- lenebilirdir denir.

Formel olarak; (1) ile verilen e¸ sitlik:

8" > 0 : 9 > 0 3 kP k < ko¸sulunu sa¼ glayan herbir P parçalanmas¬ve k = 1; 2; :::; n olmak üzere [x

_{k 1}

; x

_k

] aral¬klar¬ndan seçilen herbir c

_k

için

P

n k=1

f (c

_k

) x

_k

I < "

biçiminde ifade edilir.

Teorem f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬ bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun [a; b] üzerinde integrallenebilir olmas¬için gerek ve yeter ko¸ sul her " > 0 için

U (f; P ) • A (f; P ) < "

olacak biçimde [a; b] aral¬¼ g¬n¬n bir P parçalanmas¬n¬n varolmas¬d¬r.

Örnek 1. [0; 1] aral¬¼ g¬için iki farkl¬parçalanma yaz¬n¬z ve bu parçalan- malara kar¸ s¬l¬k gelen Riemann toplamlar¬n¬hesaplay¬n¬z.

Örnek 2.

R

1 0

x

²

dx integralini hesaplay¬n¬z.

2

(3)

Örnek 3. f (x) = 1; x rasyonel

0; x irrasyonel fonksiyonunun [0; 1] üzerinde integrallenebilir olup olmad¬¼ g¬n¬ara¸ st¬r¬n¬z.

Teorem (a) f; [a; b] üzerinde sürekli ise, F (x) = R

x a

f (t) dt fonksiyonu [a; b] üzerinde sürekli, (a; b) üzerinde türevlenebilir ve

F

⁰

(x) = d dx

Z

x

a

f (t) dt = f (x)

dir.

(b) f; [a; b] üzerinde sürekli ve F fonksiyonu f fonksiyonunun [a; b] üz- erinde bir antitürevi ise

Z

b

a

f (x) dx = F (b) F (a)

d¬r.

Örnek 4. (a) R

2

1

(1 3 jxj) dx integralini hesaplay¬n¬z.

(b) R

1

xsgnxdx integralini hesaplay¬n¬z.

Uyar¬ f : [a; b] ! R integrallenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumda;

(1) Z

a

f (x) dx = 0 ve Z

b

a

f (x) dx = Z

a

b

f (x) dx dir.

(2) · Integralin de¼ geri integrasyon de¼ gi¸ skeninden ba¼ g¬ms¬zd¬r, yani Z

b

a

f (x) dx = Z

b

a

f (t) dt = = Z

b

a

f (s) ds

yaz¬labilir.

(3) c 2 (a; b) için R

b a

f (x) dx = R

c a

f (x) dx + R

b c

f (x) dx dir.

Tan¬m [a; b] üzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonunun [a; b] üz- erindeki ortalama de¼ geri

y = 1

b a

Z

b

a

f (x) dx

3

(4)

dir.

Teorem [a; b] üzerinde sürekli her f fonksiyonu, [a; b] aral¬¼ g¬n¬n bir x

0