u(x) ve v(x) bir [a; b] aral¬¼ g¬nda

Sturm Ay¬rma Teoremi:

u(x) ve v(x) bir [a; b] aral¬¼ g¬nda

L [y] = d

dx p(x) dy

dx + q(x)y = 0

denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z herhangi iki çözümü iseler, o takdirde u(x) in ard¬¸ s¬k iki s¬f¬r yeri aras¬nda v(x) in kesin ve tam olarak bir s¬f¬r yeri vard¬r. Yani u(x) ve v(x) lineer ba¼ g¬ms¬z çözümlerinden herbirinin s¬f¬r yerleri di¼ ger çözümün s¬f¬r yerlerini ay¬r¬r.

Örnek 1.

(x) = 19 sin 5x + 23 cos 5x trigonometrik denklemi

; aral¬¼ g¬nda kaç tane s¬f¬r yerine sahip olabilir? Nedenini aç¬klay¬n¬z?

Çözüm: y

+ 25y = 0 denkleminin genel çözümü

y(x) = c

cos 5x + c

sin 5x

¸ seklindedir. c

= 23 ve c

= 19 olarak seçilirse

çözümü elde edilir. Verilen aral¬¼ g¬n uç noktalar¬nda s¬f¬r olacak ¸ sekilde bir çözüm seçelim. Buna göre

(x) = sin 5x olsun. Burada

1

ile

lineer ba¼ g¬ms¬z olacak ¸ sekilde seçilmelidir. Buna göre Teorem den dolay¬

nin ard¬¸ s¬k iki s¬f¬r yeri aras¬nda

in kesin ve tam olarak bir s¬f¬r yeri vard¬r.

nin s¬f¬r yerleri dikkate al¬nd¬¼ g¬nda

in

; aral¬¼ g¬nda kesin ve tam olarak sekiz s¬f¬r yerine sahip oldu¼ gu görülür.

Örnek 2.

(x) = 5 sin 30x + 85 cos 30x trigonometrik denklemi [0; ] aral¬¼ g¬nda kaç tane s¬f¬r yerine sahip olabilir?

Çözüm: y

+ 900y = 0 denkleminin genel çözümü

y(x) = c

cos 30x + c

sin 30x

¸ seklindedir. Özel olarak c

= 85 ve c

= 5 al¬nd¬¼ g¬nda

çözümüne ula¸ s¬l¬r. Aral¬¼ g¬n uç noktalar¬nda s¬f¬r olacak ¸ sekilde bir çözüm seçelim. Buna göre

(x) = sin 30x olsun.

ile

2

lineer ba¼ g¬ms¬z fonksiyonlar olup, buna göre Teorem den dolay¬

nin ard¬¸ s¬k iki s¬f¬r yeri aras¬nda

in kesin ve tam olarak bir s¬f¬r yeri vard¬r.

nin s¬f¬r yerleri dikkate al¬nd¬¼ g¬nda

1

in [0; ] aral¬¼ g¬nda kesin ve tam olarak otuz s¬f¬r yerine sahip oldu¼ gu görülür.

1

Örnek 3. Sturm Ay¬rma Teoreminden yararlanarak

(x) = sin 2x + cos 2x fonksiyonunu ard¬¸ s¬k iki s¬f¬r yeri aras¬nda

(x) = sin 2x cos 2x in yaln¬z bir tane s¬f¬r yerine sahip oldu¼ gunu gösteriniz.

Çözüm: y

+ 4y = 0 denkleminin genel çözümü

y

+ 4y = 0 = ) r

+ 4 = 0 = ) r

= 2i y(x) = c

cos 2x + c

sin 2x

¸ seklindedir. Çünkü

c

= 1; c

= 1 için

(x) = sin 2x + cos 2x c

= 1; c

= 1 için

(x) = sin 2x cos 2x

elde edilir.

y

+ 4y = d dx

dy

dx + 4y = 0

denkleminin

ve

çözümü lineer ba¼ g¬ms¬z ise Sturm Ay¬rma Teoremi kullan¬labilir.

ve

2

nin lineer ba¼ g¬ms¬z olup olmad¬¼ g¬n¬anlamak için Wronskiyene bakal¬m:

W (

;

; x) =

(x)

(x)

01

(x)

(x) 6= 0

olmal¬d¬r.

W (

;

; x) = sin 2x + cos 2x sin 2x cos 2x 2 cos 2x 2 sin 2x 2 cos 2x + 2 sin 2x

= 4 6= 0

oldu¼ gundan

ve

lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

ve

Sturm Ay¬rma Teoreminin hipotezlerini sa¼ glad¬klar¬ndan

in ard¬¸ s¬k iki s¬f¬r yeri aras¬nda

nin yaln¬z bir tane s¬f¬r yeri vard¬r.

Gerçekten de

2

1

in s¬f¬r yerleri için

sin 2x + cos 2x = 0 tan 2x = 1

x

=

8 + k

2 ; k = 0; 1; 2; :::

ve

nin s¬f¬r yerleri için

sin 2x cos 2x = 0 tan 2x = +1

x

=

8 + k

2 ; k = 0; 1; 2; :::

bulunur.

3