b] aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬parçal¬düzgün f ve g fonksiyonlar¬ ile tan¬m bölgesinde parçal¬ sürekli h(x

B ¨ol ¨um 8

Dalga Denklemi

Bu bölümde esas itibariyle [a; b] aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬parçal¬düzgün f ve g fonksiyonlar¬ ile tan¬m bölgesinde parçal¬ sürekli h(x; t) fonksiyonu için tek boyutlu dalga denklemi olarak bilinen

u_tt = c²u_xx+ h(x; t); c : sabit; x2 (a; b); t > 0 denklemini

u(x; 0) = f (x); x2 [a; b]

u_t(x; 0) = g(x); x 2 [a; b]

ba¸slang¬ç ¸sartlar¬ve

a₁₁u(a; t) + a₁₂u_x(a; t) = b₁(t); (a₁₁; a₁₂)6= (0; 0); t > 0 a₂₁u(b; t) + a₂₂u_x(b; t) = b₂(t); (a₂₁; a₂₂)6= (0; 0); t > 0

ayr¬k s¬n¬r ¸sartlar¬ ile gözönüne alarak inceliyoruz. Özellikle problemin çözümünün,

daha önceden inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile nas¬l elde edilece¼gini ve

…ziksel özelliklerini inceliyoruz. Ayr¬ca

Maxima ortam¬nda geli¸stiridi¼gimiz interaktif uygulamalar ile kullan¬c¬

taraf¬ndan tan¬mlanan özel Dirichlet problemlerinin analitik çözümünün gra…¼gi ile birlikte istenilen bir zaman aral¬¼g¬nda nas¬l elde edilebilece¼gini inceliyoruz.

Bu bölüm için 4. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi, 5. Bölümde inceledi¼gimiz Regüler veya Periyodik Sturm-Liouville problem- lerinin özfonksiyonlar¬ ve 6. Bölümde inceledi¼gimiz Fourier serileri temel matematiksel araçlar¬m¬z¬olu¸sturmaktad¬r. Okuyucular¬n bu bölüme devam etmeden önce bahsetti¼gimiz bölümleri tekrar gözden geçirmelerini önemle tavsiye ederiz.

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler

Öncelikle

utt = c²uxx;,x 2 (0; b); t > 0 (8.1)

u(0; t) = 0; u(b; t) = 0 (8.2)

u(x; 0) = f (x); x2 [0; b] (8.3)

u_t(x; 0) = g(x); x 2 [0; b] (8.4) Dirichlet problemini gözönüne alal¬m.(8.1) denklemi homojendir çünkü u 0 denklemin çözümüdür, benzer biçimde (8.2) s¬n¬r ¸sartlar¬ homojen çünkü u 0 s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glar. E¼ger u 0 fonksiyonu denklemi sa¼glamam¬¸s olsayd¬denklemimiz homojen olmayan denklem ve yine ayn¬fonksiyon s¬n¬r

¸sartlar¬n¬sa¼glamam¬¸s olsayd¬s¬n¬r ¸sartlar¬n¬homojen olmayan s¬n¬r ¸sartlar¬

olarak adland¬racakt¬k.

S¬çramal¬ süreksizlik noktalar¬ içeren f; g veya h fonksiyonu için elde edilen çözümler tan¬m bölgesi içerisindeki her noktada denklemi sa¼glamay- acakt¬r, bu durumda söz konusu noktalar d¬¸s¬nda denklem ile birlikte ilgili ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan fonksiyona klasik çözüm yerine za- y¬f çözümad¬verilmektedir. Bu bölümde en fazla sonlu say¬da nokta hariç verilen denklem ile birlikte ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan çözümleri ara¸st¬r¬yoruz ve hepsi için "çözüm" kavram¬n¬kullan¬yoruz.

(8.1)-(8.3) problemini ba¸slang¬çta f (x) ile belirlenen ¸sekle sahip olan ve dü¸sey yöndeki ba¸slang¬ç h¬z¬g(x) olan ince ve uzun bir telin yer de¼gi¸sim mod- eli olarak dü¸sünebiliriz. Tel uç noktalarda sabitlenmi¸s olarak kabul edilmek- tedir ve c ise olu¸san sal¬n¬m¬n sa¼g(c > 0) veya sol(c < 0) yönde hareket h¬z¬n¬

temsil etmektedir.

5. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemiyle u(x; t) = X(x)T (t)

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 3

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle X(x)T⁰⁰(t) = c²X⁰⁰(x)T (t)

elde ederiz. Her iki taraf¬n s¬f¬rdan farkl¬ kabul etti¼gimiz c²X(x)T (t) ile bölerek,

T⁰⁰(t)

c²T (t) = X⁰⁰(x) X(x) = veya homojen Dirichlet ¸sartlar¬ile

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(b) = 0 T⁰⁰+ c²T = 0

denklem sistemini elde ederiz. [0; b] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n = n^{2 2}

b² ; Xn(x) = sin(n

b x); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için T_n⁰⁰+n^{2 2}

b² c²T_n = 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile T_n(t) = c_ncos(n

b ct) + d_nsin(n

b ct); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için u_n(x; t) = T_n(t)X_n(x) = c_ncos(n

b ct) + d_nsin(n

b ct) sin(n

b x); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

u(x; t) = X1 n=1

c_ncos(n

b ct) + d_nsin(n

b ct) sin(n

b x) (8.5) olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; d_n katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün (8.3) ile verilen ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬da yani,

u(x; 0) = f (x) = X1 n=1

c_nsin(n

b x) (8.6)

sa¼glamas¬gerekmektedir. (8.6) ile tan¬mlanan serinin f fonksiyonunun [0; b]

aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬oldu¼gunu görüyoruz, o halde

c_n = 2 b Zb

0

f (x) sin(n

b x)dx; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan

u_t(x; t) = X1 n=1

c_nn

b c sin(n

b ct) + d_nn

b c cos(n

b ct) sin(n b x) ile (8.4) ten

u_t(x; 0) = X1 n=1

d_nn

b c sin(n

b x) = g(x) ba¼g¬nt¬s¬ndan

dn

n

b c = 2 b Zb

0

g(x) sin(n b x)dx veya

d_n = 2 n c

Zb

0

g(x) sin(n

b x)dx; n = 1; 2;

elde ederiz.

ÖRNEK 8.1.

u_tt = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = x(1 x);

u_t(x; 0) = 0

ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 5

Yukar¬daki i¸slemlerimizden, c = 1 için u(x; t) =

X1 n=1

(c_ncos(n t) + d_nsin(n t)) sin(n x) elde ederiz.

u(x; 0) = f (x) = X1 n=1

c_nsin(n x)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan cn lerin f (x) fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬ olmas¬ gerekti¼gini görüyoruz. O halde k¬smi integrasyonla

c_n = 2 Z 1

0

f (x) sin(n x)dx

= 2 Z 1

0

x(1 x) sin(n x)dx

= 4

n^{3 3}(1 ( 1)ⁿ); n = 1; 2;

elde ederiz(Bölüm 7). Öte yandan u_t(x; t) =

X1 n=1

( c_nn sin(n t) + d_nn cos(n t)) sin(n x)

ifadesinden

u_t(x; 0) = X1 n=1

d_nn sin(n x) = 0) dⁿ= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. O halde çözümümüzü u(x; t) = 4

3

X1 n=1

1 ( 1)ⁿ

n³ cos(n t) sin(n x) (8.7) olarak elde ederiz. (8.7) ile verilen çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.1 ile verilmektedir.

¸

Sekil 8.1 den

ba¸slang¬ç yer de¼gi¸stirmenin artan zaman de¼gerleri için dü¸sey yönde sönümsüz bir sal¬n¬m yapt¬¼g¬görülmektedir.

¸

Sekil 8.1: Örnek 8.1 için N = 20 ile [0; 4] zaman aral¬¼g¬nda çözüm gra…¼gi.

sal¬n¬m¬n periyodu, analitik çözümün zaman bile¸senleri olan cos(n t); n = 1; 2; ::

:fonksiyonlar ailesinin ortak periyodu olan p = 2 dir, yani u(x; t + 2) = u(x; t)dir..

problemimizi her iki ucu sabit tutulan bir saz telinin çekilip b¬rak¬lmas¬

ile olu¸san titleri¸simlerin modeli olarak dü¸sünebiliriz.

ÖRNEK 8.2.

u_tt = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 0 = u(1; t)

u(x; 0) = 1; 1=3 x 2=3 0; di¼ger x ler ; u_t(x; 0) = 0

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 7

ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

Yukar¬daki i¸slemlerimizden, c = 1 için u(x; t) =

X1 n=1

(c_ncos(n t) + d_nsin(n t)) sin(n x) elde ederiz.

u(x; 0) = f (x) = X1 n=1

c_nsin(n x)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan cn lerin f (x) fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ndaki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬olmas¬gerekti¼gini görüyoruz. O halde

c_n = 2 Z 1

0

f (x) sin(n x)dx

= 2 Z 2=3

1=3

sin(n x)dx

= 2

n (cos(n

3 ) cos(2n 3 )) elde ederiz. Öte yandan

ut(x; t) = X1 n=1

( cnn sin(n t) + dnn cos(n t)) sin(n x)

ifadesinden

u_t(x; 0) = X1 n=1

d_nn sin(n x) = 0) dⁿ= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. O halde çözümümüzü u(x; t) = 2X¹

n=1

cos(ⁿ₃ ) cos(²ⁿ₃ )

n cos(n t) sin(n x) (8.8) olarak elde ederiz. (8.8) ile verilen çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.2 ile verilmektedir.

¸

Sekil 8.2 den

¸

Sekil 8.2: Örnek 8.2 ile verilen çözümün N = 40 için [0; 2] zaman aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi.

ba¸slang¬ç yer de¼gi¸stirmenin ilerleyen zaman de¼gerlerinde ilk genli¼gin yar¬s¬na e¸sit iki bile¸sene ayr¬larak bile¸senlerden birisi t = x + x0, karak- teristikleri üzerinden sa¼ga ve di¼geri ise t = x + x0 karakteristikleri üzerinden sola do¼gru t = 0:5 an¬nda ula¸s¬labilen s¬n¬r noktas¬na kadar ilerlemektedirler.

S¬n¬rda her iki bile¸sen de Dirichlet ¸sartlar¬n¬ sa¼glamaktad¬r. m = 1 e¼gimli karakteristik üzerinde hareket eden dalga s¬n¬rdan yans¬yarak m = 1 e¼gimi ile ve ters yönde yer de¼gi¸stirme ile sola do¼gru hareket etmekte iken, m = 1 e¼gimli karakteristik üzerinde sol yöne do¼gru hareket eden dalga s¬n¬rdan yans¬yarak m = 1 e¼gimi ile ve ters yönde yer de¼gi¸stirme ile sa¼g yöne do¼gru hareket etmektedir.

Her iki dalga hareketinin çak¬¸st¬¼g¬ konumlarda homojen lineer den- klemin özelli¼gi ile uyumlu olarak güçlerini birle¸stirdi¼gi, di¼ger bir de- yimle, dalga çak¬¸sma bölgesinde çözüm her iki bile¸senin toplam¬ndan

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 9

olu¸smaktad¬r.

t = 1:5 an¬nda s¬n¬rlara do¼gru ilerleyeyen dalga bile¸senleri, s¬n¬rdan tekrar ters yönde yer de¼gi¸stirme ile yans¬yarak çözüm bölgesinin içeri- sine do¼gru c = 1 birim h¬zla ilerlemektedirler. Bu hareket t = 2 periy- odu ile sürekli olarak devam edecektir. x = 0 noktas¬nda t = 0 an¬nda u = 1 seviyesin hareket içerisine b¬rak¬lan sola do¼gru hareket eden parçac¬¼g¬n, t = 1 an¬nda ayn¬konumda fakat u = 1 seviyesinde sa¼ga do¼gru ilerlemekte oldu¼gu ve tekrar u = 1 seviyesinde sola do¼gru x = 0 noktas¬na ula¸sarak ilerledi¼gi görülmektedir. Özetle örne¼gimiz için

u(x; t) = u(x; t + 2)

oldu¼gu ¸sekilden ve analitik çözümün zaman bile¸senleri olan cos(n t); n = 1; 2;

fonksiyonlar ailesinin ortak periyodunun p = 2 olmas¬sonucu olarak ta görülmektedir.

problemimizi her iki ucu sabit tutulan birim uzunluktaki bir telin (1=3; 2=3) aral¬¼g¬nda olu¸sturulan yer de¼gi¸stirme sonucu olu¸san titleri¸simlerin mod- eli olarak dü¸sünebiliriz.

ÖRNEK 8.3. Örnek 8.2 ile ayn¬ yan ¸sartlar ile ve fakat (0; 2) aral¬¼g¬ üz- erinde tan¬ml¬

u_tt = u_xx; x2 (0; 2); t > 0 u(0; t) = 0 = u(2; t)

u(x; 0) = 1; 1=3 x 2=3 0; di¼ger x ler ; u_t(x; 0) = 0

ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

[0; 2] aral¬¼g¬nda Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyon ailesi

n = (n

2 )²; sin(n x=2); n = 1; 2;

dir. Ayr¬ca n lerin her biri ile T_n⁰⁰+ (n

2 )²T_n = 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile T_n(t) = c_ncos(n

2 t) + d_nsin(n

2 t); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için u_n(x; t) = T_n(t)X_n(x) = c_ncos(n

2 t) + d_nsin(n

2 t) sin(n

2 x); n = 1; 2;

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerin

u(x; t) = X1 n=1

c_ncos(n

2 t) + d_nsin(n

2 t) sin(n 2 x) elde ederiz.

u(x; 0) = f (x) = X1 n=1

c_nsin(n 2 x)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ndan cn lerin f (x) fonksiyonunun [0; 2] aral¬¼g¬ndaki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬olmas¬gerekti¼gini görüyoruz. O halde

c_n = 2 2

Z 2 0

f (x) sin(n 2 x)dx

=

Z 2=3 1=3

sin(n 2 x)dx

= 2

n (cos(n

6 ) cos(n 3 )) elde ederiz. Öte yandan

u_t(x; t) = X1 n=1

c_nn

2 sin(n

2 t) + d_nn

2 cos(n

2 t) sin(n 2 x) ifadesinden

u_t(x; 0) = X1 n=1

d_nn

2 sin(n

2 x) = 0) dⁿ= 0; n = 1; 2;

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 11

¸

Sekil 8.3: Örnek 8.3 ile verilen çözümün N = 20 için [0; 2] zaman aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi.

elde ederiz. O halde çözümümüzü

u(x; t) = 2 X¹

n=1

cos(ⁿ₆ ) cos(ⁿ₃ )

n cos(n

2 t) sin(n

2 x) (8.9) olarak elde ederiz. (8.9) ile verilen çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.3 ile verilmektedir.

¸

Sekil 8.3 den

ba¸slang¬ç yer de¼gi¸stirmenin ilerleyen zaman de¼gerlerinde ilk genli¼gin yar¬s¬na e¸sit iki bile¸sene ayr¬larak bile¸senlerden birisi t = x + x0, karak- teristikleri üzerinden sa¼ga ve di¼geri ise t = x + x₀ karakteristikleri üzerinden sola do¼gru ilerlemektedirler.

S¬n¬rda her iki bile¸sen de Dirichlet ¸sartlar¬n¬ sa¼glamaktad¬r. ·Ilk ola- rak t = 0 an¬nda ba¸slayan ve m = 1 e¼gimli karakteristik üzerinde

hareket eden dalga s¬n¬rdan yans¬yarak m = 1 e¼gimli karakteristik üz- erinden ve ters yönde yer de¼gi¸stirme ile sa¼ga do¼gru hareket etmekte iken, m = 1 e¼gimli karakteristik üzerinde sa¼g yöne do¼gru hareket eden dalga daha geç olarak, t = 2 an¬nda sa¼g s¬n¬ra yakla¸sarak s¬n¬rdan yans¬mak suretiyle m = 1 e¼gimi ile ve ters yönde yer de¼gi¸stirme ile sol yöne do¼gru hareket etmektedir.

Özetle örne¼gimiz için

u(x; t) = u(x; t + 4)

oldu¼gu ¸Sekil 8.3 den ve analitik çözümün zaman bile¸senleri olan cos(n

2 t); n = 1; 2;

fonksiyonlar ailesinin ortak periyodu olan p = 4 oldu¼gu dikkate al¬narak ta görülmektedir.

problemimizi her iki ucu sabit tutulan iki birim uzunluktaki bir telin (1=3; 2=3) aral¬¼g¬nda olu¸sturulan yer de¼gi¸stirme sonucu olu¸san titler- i¸simlerin modeli olarak dü¸sünebiliriz.

Al¬¸st¬rmalar 8.1. 1-4 nolu homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬ Dalga problem- lerinin çözümünü belirleyiniz

1.

u_tt = 16u_xx; 0 < x < 2 u(0; t) = u(2; t) = 0;

u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 1; ⁷₉ x ¹¹₉ 0 di¼ger x ler 2.

u_tt = 4u_xx; 0 < x < 2 u(0; t) = u(2; t) = 0;

u(x; 0) = 1;

u_t(x; 0) = 0

8.1 Homojen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 13

3.

u_tt = 9u_xx; 0 < x < 2 u(0; t) = u(2; t) = 0;

u(x; 0) = 1 (x 1)²; u_t(x; 0) = 0

4.

u_tt = 16u_xx; 0 < x < 2 u(0; t) = u(2; t) = 0;

u(x; 0) = 0;

ut(x; 0) = 1

5. A¸sa¼g¬daki çözümleri 1-4 nolu problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

u(x; t) = 1

2

X1 n=1

1

n² cos(7n

18 ) cos(11n

18 ) sin(2n t) sin(n x 2 ) (b)

u(x; t) = 16

3

X1 n=1

1 ( 1)ⁿ

n³ cos(9n t

2 ) sin(n x 2 ) (c)

u(x; t) = 2X¹

n=1

1 ( 1)ⁿ

n cos(n t

2 ) sin(n x 2 ) (d)

u(x; t) = 1

2

X1 n=1

1 ( 1)ⁿ

n² sin(2n t) sin(n x 2 )

6. A¸sa¼g¬daki gra…kleri soru 5 te verilen çözümlerle ve dolay¬s¬yla da 1-4 nolu problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

(a) (b)

(c) (d)

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬prob- lemler

Bu bölümde homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬

u_tt = c²u_xx+ h(x; t); x2 (0; b); t > 0 (8.10) u(0; t) = b₁(t); u(b; t) = b₂(t); t > 0

u(x; 0) = f (x); x2 [0; b]

u_t(x; 0) = g(x); x2 [0; b]

problemini göz önüne al¬yoruz.

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 15

1. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬probleme dönü¸süm: Problemin u(x; t) = v(x; t) + s(x; t)

biçiminde çözümünü ara¸st¬ral¬m. Burada s(x; t) yi s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼g- layan

s(x; t) = b₁(t) +x

b(b₂(t) b₁(t)) (8.11) olarak seçebiliriz. Bu durumda

u_tt = v_tt+ s_tt;

u_xx = v_xx+ s_xx = v_xx

v(x; t) a¸sa¼g¬da verilen ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemini sa¼glar

v_tt = c²v_xx + H(x; t); (8.12) v(0; t) = 0; v(b; t) = 0

v(x; 0) = F (x) := f (x) s(x; 0);

vt(x; 0) = G(x) := g(x) st(x; 0) burada H(x; t) = h(x; t) s_tt(x; t) dir.

2. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬ (8.12) probleminin çözümü: Özfonksiyon aç¬l¬m yöntemiyle s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan

sin(n

b x); n = 1; 2;

özfonksiyonlar¬cinsinden v(x; t) =

X1 n=1

v_n(t) sin(n

b x) (8.13)

çözüm arayal¬m.

v_tt(x; t) = X1 n=1

v_n⁰⁰(t) sin(n b x) v_xx(x; t) =

2

b² X1 n=1

n²v_n(t) sin(n b x)

ifadelerini denklemde yerine yazarak, X1

n=1

v_n⁰⁰(t) +n^{2 2}

b² c²v_n(t) sin(n

b x) = H(x; t)

elde ederiz.Son ifadenin her iki yan¬n¬seçilen bir n > 0 için sin(ⁿ_b x)ile çarparak, [0; b] aral¬¼g¬üzerinden integral almak suretiyle

v⁰⁰_n(t) + n^{2 2}v_n(t) = H_n(t); n = 1; 2; (8.14) elde ederiz, burada

H_n(t) = 2 b Zb

0

H(x; t) sin(n

b x)dx; n = 1; 2;

dir. Öte yandan

v(x; 0) = X1 n=1

v_n(0) sin(n

b x) = F (x)

ifadesinin de her iki yan¬n¬seçilen bir n > 0 için sin(ⁿ_b x)ile çarparak, [0; b]aral¬¼g¬üzerinden integralini almak suretiyle

v_n(0) = 2 b Zb

0

F (x) sin(n

b x)dx; n = 1; 2; (8.15) elde ederiz. Ayr¬ca

v_t(x; 0) = X1 n=1

v_n⁰(0) sin(n

b x) = F (x) ba¼g¬nt¬s¬nda benzer yöntemle

v_n⁰(0) = 2 b Zb

0

G(x) sin(n

b x)dx; n = 1; 2; (8.16) elde ederiz.

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 17

(a) ad¬m: (8.14) ile verilen denklemlerin çözümü: Homojen olmayan ve (8.14) ile verilen denklemlerin her bir n > 0 için (8.15) ve (8.16) ba¸slang¬ç de¼gerlerini sa¼glayan çözümünü bulmak için

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t)

biçiminde homojen k¬sm¬n genel çözümü olan vnh(t) ve homojen olmayan k¬sm¬n özel bir çözümü olarak vn•o(t) toplam¬ biçiminde çözüm ar¬yoruz öyle ki

v_nh(0) = v_n(0); v_n•o(0) = 0; (8.17) v_nh⁰ (0) = v_n⁰(0); v_n•⁰_o(0) = 0

v⁰⁰_n(t) + n^{2 2}

b² c²v_n(t) = 0 denkleminin genel çözümünü

v_nh(t) = c_ncos(n

b ct) + d_nsin(n b ct) olarak eldee deriz. 8.17 ile verilen ba¸slang¬ç de¼gerlerden

c_n= v_n(0); n = 1; 2;

ve n

b dn = v⁰_n(0) den

d_n = b

n v⁰_n(0); n = 1; 2;

elde ederiz.

(b) Öte yandan

v_n•⁰⁰_o(t) +n^{2 2}

b² c²v_n•o(t) = H_n(t); n = 1; 2; (8.18) vn•o(0) = 0; v⁰_n•o(0) = 0

denklemlerini sa¼glayan özel çözümler için parametre de¼gi¸sim yön- temi esas alan bir yakla¸s¬m¬takip ediyoruz.

Hat¬rlatma 8.1.

y⁰⁰+ k²y = f (t);

y(0) = ; y⁰(0) = probleminin genel çözümü

y⁰⁰+ k²y = 0;

y(0) = ; y⁰(0) = denkleminin

y_h = cos(kt) +

k sin(kt) ile gösterece¼gimiz genel çözümü ile

y⁰⁰+ k²y = f (t)

y(0) = 0; y⁰(0) = 0

probleminin parametre de¼gi¸sim yöntemi ile elde edilebilen

y_•o(t) = 1 k

Zt

0

sin(k(t ))f ( )d (8.19)

özel çözümünün toplam¬olarak

y = y_h(t) + y_•o(t) biçiminde ifade edilir.

(c) O halde

v_n•o(t) = b n c

Zt

0

sin(n

b c(t ))H_n( )d olarak elde ederiz. Dolay¬s¬yla

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t)

= v_n(0) cos(n

b ct) + b

n v_n⁰(0) sin(n b ct) + b

n c Zt

0

sin(n

b c(t ))Hn( )d elde ederiz.

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 19

(d) Son olarak elde edilen vn(t) ler (8.13) de yerine yaz¬larak v(x; t) çözümü belirlendikten sonra (8.11) ile s(x; t) ler ile

u(x; t) = v(x; t) + s(x; t)

ifadesinde yerine yaz¬larak 8.10 ile verilen orijinal problemin çözümü belirlenir.

ÖRNEK 8.4.

u_tt = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = 1; u(1; t) = 0; t > 0 u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 0; x 2 [0; 1]

problemini çözünüz.

1. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬probleme dönü¸süm: Problemin u(x; t) = v(x; t) + s(x)

biçiminde çözümünü ara¸st¬ral¬m. Burada s(x) i s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan s(x; t) = b₁+x

b(b₂ b₁)

= 1 x

olarak seçebiliriz. Bu durumda utt = vtt;

u_xx = v_xx+ s_xx = v_xx

v(x; t) a¸sa¼g¬da verilen ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemini sa¼glar v_tt = v_xx;

v(0; t) = 0; v(1; t) = 0 v(x; 0) = x 1;

v_t(x; 0) = 0

2. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬(8.21) probleminin çözümü: S¬n¬r ¸sartlar¬n¬

sa¼glayan

sin(n x); n = 1; 2;

özfonksiyonlar¬cinsinden v(x; t) =

X1 n=1

v_n(t) sin(n x)

çözüm arayal¬m. Bu çözüm denklemi sa¼glamas¬gerekti¼ginden v⁰⁰_n(t) + n^{2 2}vn(t) = 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemi çözerek

v_n(t) = c_ncos(n t) + d_nsin(n t) genel çözümünü elde ederiz.

v(x; 0) = X1 n=1

v_n(0) sin(n x) = x 1 (8.20)

ba¸slang¬ç ¸sart¬n¬n¬n sa¼glanmas¬gerekti¼ginden

v_n(0) = 2 Z1

0

(x 1) sin(n x)dx = 2

n ; n = 1; 2;

elde ederiz. Öte yandan

v_t(x; 0) = 0) v⁰n(0) = 0 O halde genel çözümde yerine yazarak,

vn(0) = cn = 2 n ;

v_n⁰(0) = n b_n = 0) dⁿ = 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Buradan

v_n(t) = c_ncos(n t) + d_nsin(n t) = 2

n cos(n t)

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 21

¸

Sekil 8.4: Örnek 8.4 için N = 40 ile [0; 4] zaman aral¬¼g¬nda çözüm gra…¼gi

ve

v(x; t) = X1 n=1

v_n(t) sin(n x)

= 2 X¹

n=1

1

n cos(n t) sin(n x) çözümünü elde ederiz.

3. O halde

u(x; t) = v(x; t) + s(x)

= 1 x 2X¹

n=1

1

ncos(n t) sin(n x) çözümünü eldee deriz.

4. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.4 de verildi¼gi gibidir.

Sol s¬n¬rdaki ani yer de¼gi¸stirme ile ba¸slat¬lan dalga hareketinin sa¼ga

do¼gru ilerledikten sonra, tekrar geriye do¼gru yans¬d¬¼g¬görülmektedir.Yukar¬daki örneklerde ba¸slang¬ç an¬nda olu¸sturulan yer de¼gi¸stirmeler sonucunda,

s¬n¬rdan ters yönde yer de¼gi¸stirme yerine, ayn¬yönde yans¬man¬n gerçek- le¸sti¼gini gözlemliyoruz. Sönümsüz ideal dalga modeli olarak, dalga hareketi

cos(n t); n = 1; 2;

fonksiyon ailesinin ortak periyodu olan iki birimlik zaman periyoduyla tekrarlanmaktad¬r.

Problemimizi her iki ucu sabitlenmi¸s bir telin sol taraf¬nda gerçekle¸stir- ilen bir birimlik ani yer de¼gi¸stirmenin tetikledi¼gi ideal dalga hareket modeli olarak yorumlayabiliriz.

ÖRNEK 8.5.

u_tt = u_xx; x2 (0; 1); t > 0 u(0; t) = sin(t); u(1; t) = 0; t > 0 u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 0; x 2 [0; 1]

problemini çözünüz.

1. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬probleme dönü¸süm: Problemin u(x; t) = v(x; t) + s(x; t)

biçiminde çözümünü ara¸st¬ral¬m. Burada s(x; t) yi s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼g- layan

s(x; t) = b₁(t) + x

b(b₂(t) b₁(t))

= sin(t) x sin(t) olarak seçebiliriz. Bu durumda

u_tt = v_tt+ s_tt;

u_xx = v_xx+ s_xx = v_xx

v(x; t)a¸sa¼g¬da verilen ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemini sa¼glar

v_tt = v_xx+ (1 x) sin(t); (8.21) v(0; t) = 0; v(1; t) = 0

v(x; 0) = 0;

v_t(x; 0) = x 1

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 23

2. ad¬m:Homojen s¬n¬r ¸sartl¬ (8.21) probleminin çözümü: Özfonksiyon aç¬l¬m yöntemiyle s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan

sin(n x); n = 1; 2;

özfonksiyonlar¬cinsinden v(x; t) =

X1 n=1

v_n(t) sin(n x)

çözüm arayal¬m.

v_tt(x; t) = X1 n=1

v_n⁰⁰(t) sin(n x)

v_xx(x; t) = ² X1 n=1

n²v_n(t) sin(n x)

ifadelerini denklemde yerine yazarak, X1

n=1

v_n⁰⁰(t) + n^{2 2}v_n(t) sin(n x) = (1 x) sin(t)

elde ederiz.Son ifadenin her iki yan¬n¬ seçilen bir n > 0 için sin(n x) ile çarparak, [0; 1] aral¬¼g¬üzerinden integral almak suretiyle

v_n⁰⁰(t) + n^{2 2}v_n(t) = H_n(t); n = 1; 2; (8.22) elde ederiz, burada

H_n(t) = 2 Z1

0

(1 x) sin(t) sin(n x)dx; n = 1; 2;

= 2

n sin(t); n = 1; 2;

dir. Öte yandan

v(x; 0) = X1 n=1

v_n(0) sin(n x) = 0

vn(0) = 0; n = 1; 2; (8.23) elde ederiz. Ayr¬ca

vt(x; 0) = X1 n=1

v_n⁰(0) sin(n x) = x 1 ba¼g¬nt¬s¬nda benzer yöntemle

v_n⁰(0) = 2 Z1

0

(x 1) sin(n x)dx; (8.24)

= 2

n ; n = 1; 2;

elde ederiz.

(a) ad¬m: (8.22) ile verilen denklemlerin çözümü: Homojen olmayan ve (8.22) ile verilen denklemlerin her bir n > 0 için (8.23) ve (8.24) ba¸slang¬ç de¼gerlerini sa¼glayan çözümünü bulmak için

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t)

biçiminde homojen k¬sm¬n genel çözümü olan vnh(t) ve homojen olmayan k¬sm¬n özel bir çözümü olarak vn•o(t) toplam¬ biçiminde çözüm ar¬yoruz öyle ki

v_nh(0) = v_n(0) = 0; v_n•o(0) = 0;

v_nh⁰ (0) = v_n⁰(0) = 2

n ; v⁰_n•o(0) = 0 v_n⁰⁰(t) + n^{2 2}vn(t) = 0

denkleminin genel çözümünü

v_nh(t) = c_ncos(n t) + d_nsin(n t) olarak eldee deriz. Ba¸slang¬ç de¼gerlerden

c_n = v_n(0) = 0; n = 1; 2;

ve

n d_n= v_n⁰(0) = 2 n

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 25

den

d_n = 2

n^{2 2}; n = 1; 2;

olup,

vnh(t) = 2

n^{2 2} sin(n t); n = 1; 2;

elde ederiz.

(b) Öte yandan

v_n•⁰⁰_o(t) + n^{2 2}v_n•o(t) = 2

n sin(t); n = 1; 2;

v_n•o(0) = 0; v_n•⁰_o(0) = 0

denklemlerini sa¼glayan özel çözümler için parametre de¼gi¸sim yön- temi esas alan bir yakla¸s¬m¬takip ediyoruz.

v_n•o(t) = 2 n^{2 2}

Zt

0

sin(n (t )) sin( )d

= 2

n^{2 2}(n^{2 2} 1)(n sin(t) sin(n t)) ile verilir. Dolay¬s¬yla

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t)

= 2

n^{2 2} sin(n t) + 2

n^{2 2}(n^{2 2} 1)(n sin(t) sin(n t)) elde ederiz.

(c) Son olarak elde edilen vn(t) ler (8.13) de yerine yaz¬larak v(x; t) çözümü belirlendikten sonra (8.11) ile

u(x; t) = v(x; t) + s(x; t)

= 2

2

X1 n=1

1 n²

n sin(t) sin(n t)

n^{2 2} 1 sin(n t) sin(n x) +(1 x) sin(t)

orijinal problemin çözümü belirleriz.

¸

Sekil 8.5: Örnek 8.5 için N = 40 ile [0; 10] zaman aral¬¼g¬nda çözüm gra…¼gi

(d) Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 8.5 ile sunulmaktad¬r. Problemimizi, sa¼g taraf¬sabitlenmi¸s ve sol taraftan sin(t) fonksiyonu ile dü¸sey yönde sal¬n¬m yapan çocuk oyun ipinin sal¬n¬m hareketi olarak yorum- layabiliriz.

Al¬¸st¬rmalar 8.2. 1-4 nolu homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬ Dalga problemlerinin çözümünü belirleyiniz

1.

u_tt = 4u_xx; 0 < x < 1 u(0; t) = 0

u(1; t) = e ^t; u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 0

8.2 Homojen olmayan Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬problemler 27

2.

u_tt = u_xx; 0 < x < 1 u(0; t) = sin(t)

u(1; t) = sin(t);

u(x; 0) = 0;

ut(x; 0) = 0 3.

u_tt = 16u_xx; 0 < x < 1 u(0; t) = e ^t=2sin(2t) u(1; t) = 0;

u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 0 4.

u_tt = 4u_xx; 0 < x < 4 u(0; t) = sin(t)

u(4; t) = cos(t);

u(x; 0) = 0;

u_t(x; 0) = 0

5. A¸sa¼g¬daki çözümleri (1-4) nolu problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

u(x; t) = (1 2x) sin(t) + X1 n=1

v_n(t) sin(n x);

vn(t) = vnh(t) + vn•o(t);

v_nh(t) = 2(( 1)ⁿ+ 1) sin(n t)

n^{2 2} ;

v_n•o(t) = 2(( 1)ⁿ+ 1) sin(n t) 2n (1 + ( 1)ⁿ) sin(t) n^{2 2} n^{4 4}

(b)

u(x; t) = (cos(t) sin(t))x

4 + sin(t) +

X1 n=1

v_n(t) sin(n x=4);

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t);

v_nh(t) = 2( 1)ⁿcos(n t=2) n

4 sin(n t=2) n^{2 2} ;

v_n•o(t) = 16 sin(n t=2) 8n [( 1)ⁿcos(n t=2) + sin(t) ( 1)ⁿcos(t)]

n^{4 4} 4n^{2 2} (c)

u(x; t) = e ^tx + X1 n=1

vn(t) sin(n x);

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t);

v_nh(t) = 2( 1)ⁿcos(2n t) n

( 1)ⁿsin(2n t) n^{2 2} ;

v_n•o(t) = ( 1)ⁿ(sin(2n t) 2n cos(2n t) + 2n e ^t) n^{2 2}+ 4n^{4 4}

(d)

u(x; t) = e ^t=2sin(2t)(1 x) + X1 n=1

v_n(t) sin(n x);

v_n(t) = v_nh(t) + v_n•o(t);

v_nh(t) = sin(4n t) n^{2 2} ;

f₁(t) = (832n^{2 2} 289) sin(4n t);

f₂(t) = 1024n^{3 3}cos(4n t);

f₃(t) = e ^t=2sin(2t)(578n 1920n^{3 3});

f₄(t) = 1024n^{3 3}e ^t=2cos(2t)

v_n•o(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t) + f₄(t) 4096n^{6 6} 1920n^{4 4}+ 289n^{2 2}

6. A¸sa¼g¬daki gra…kleri Soru 5 teki çözümlerle ve dolay¬s¬yla 1-4 nolu prob- lemlerle e¸sle¸stiriniz.

8.3 Homojen Neumann ¸sartl¬problemleri 29

(a) (b)

(c) (d)

8.3 Homojen Neumann ¸sartl¬problemleri

Bu bölümde homojen Neumann s¬n¬r ¸sartl¬

u_tt = c²u_xx; x2 (0; b); t > 0 (8.25) u_x(0; t) = 0; u_x(b; t) = 0; t > 0

u(x; 0) = f (x); x2 [0; b]

u_t(x; 0) = g(x); x2 [0; b]