Bir I aral¬¼ g¬nda reel de¼ gerli ve integrallenebilen herhangi iki fonksiyon (x) ve (x) olsun.

Özfonksiyonlar ve Ortogonal Fonksiyon Uzaylar¬:

Bir I aral¬¼ g¬nda reel de¼ gerli ve integrallenebilen herhangi iki fonksiyon (x) ve (x) olsun.

E¼ ger

( ; ) = Z

I

(x) (x) (x)dx = 0

sa¼ glan¬yor ise ve fonksiyonlar¬na I aral¬¼ g¬nda (x) 0 a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre diktirler denir. = al¬nd¬¼ g¬zaman nin normunu

k k = 2 4 Z

I

2 (x) (x)dx 3 5

1 2

elde ederiz.

Özfonksiyon Aç¬l¬mlar¬:

Herhangi bir düzgün

d

dx p dy

dx + (q + s) y = 0 a ₁ y(a) + a ₂ y ⁰ (a) = 0 b ₁ y(b) + b ₂ y ⁰ (b) = 0

9 =

;

Sturm-Liouville sisteminin özfonksiyonlar dizisi f k (x) g ; [a; b] aral¬¼ g¬nda parçal¬sürekli fonksi- yonlar uzay¬nda tamd¬r.

[a; b] aral¬¼ g¬nda bir düzgün Sturm-Liouville sisteminin s¬n¬r ko¸ sullar¬n¬ gerçekleyen herhangi bir parçal¬düzgün f fonksiyonu mutlak ve düzgün yak¬nsak bir

f (x) = X 1 k=1

c _{k k} (x)

seriye aç¬labilir. Burada c n ler sabitlerdir. Serinin her iki yan¬n¬ _m (x) (x) ile çarpar ve I aral¬¼ g¬nda integre edersek c k katsay¬lar¬

c _k = R

I

f _k dx R

I 2 k dx

1

olarak bulunur.

Örnek 1. f (x) = x fonksiyonunu

y ⁰⁰ + y = 0 ; 0 x y(0) = 0 ; y( ) = 0

Sturm-Liouville sisteminin özfonksiyonlar¬cinsinden seriye aç¬n¬z.

Çözüm:

Karakteristik denklemimiz,

r ² + = 0

olmak üzere karakteristik denklemin kökleri,

r _1;2 = p

bulunur.

i) > 0 olsun. Bu durumda r 1;2 = i p olup,

y(x) = c ₁ cos( p

x) + c ₂ sin( p x)

olarak bulunur. S¬n¬r ko¸ sullar¬uyguland¬¼ g¬nda

y(0) = 0 = ) c ¹ = 0 y( ) = 0 = ) c ² sin( p

) = 0

dan n = n ² ; n = 1; 2::: özde¼ gerler olup, kar¸ s¬l¬k gelen öz fonksiyonlarda _n (x) = sin(nx);

n = 1; 2::: olarak bulunur.

0 için özde¼ ger ve özfonksiyon yoktur.

f (x) = x fonksiyonunu

f (x) = X 1 n=1

c _{n n} (x)

2

¸ seklinde seriye açal¬m.

c _n = R

0

x sin(nx)dx R

0

sin ² (nx)dx

; n = 1; 2:::

= 2( 1) ⁿ⁺¹

n ; n = 1; 2:::

¸ seklindedir.

O halde istenilen seri,

x = 2 X 1 n=1

( 1) ⁿ⁺¹

n sin(nx) olarak bulunur.

3