2.6. Ortogonal Polinomlar · Için Do¼ gurucu Fonksiyonlar Iki de¼ · gi¸ skenli G(x; t) fonksiyonu de¼ gi¸ skenlerinden birine göre

2.6. Ortogonal Polinomlar · Için Do¼ gurucu Fonksiyonlar Iki de¼ · gi¸ skenli G(x; t) fonksiyonu de¼ gi¸ skenlerinden birine göre

G(x; t) = X 1 n=0

c _{n n} (x) t ⁿ

formunda bir Taylor serisine aç¬l¬yor ise G(x; t) fonksiyonuna f n (x) g fonksiyonu için bir do¼gu- rucu fonksiyon denir.

Kompleks analizden bilinmektedir ki, basit kapal¬bir C çevresinin içinde analitik bir f fonksiyo- nunun C nin içinde bulunan herhangi bir z 0 noktas¬ndaki de¼ geri,

f (z ₀ ) = 1 2 i

I

C

f (z) z z ₀ dz

Cauchy integral formülü ile verilir. f nin z 0 daki n: türevinin de¼ geri ise,

f ⁽ⁿ⁾ (z ₀ ) = n!

2 i I

C

f (z) (z z ₀ ) ⁿ⁺¹ dz

ile verilmektedir. Ortogonal polinomlar için Rodrigues formülü kullan¬larak Cauchy integral formülü yard¬m¬yla do¼ gurucu fonksiyonlar elde edilebilir.

i) Hermite Polinomlar¬ · Için Do¼ gurucu Fonksiyon:

H _n (x) Hermite polinomlar¬için Rodrigues formülü

H _n (x) = ( 1) ⁿ e ^x

d ⁿ

dx ⁿ e ^x

(2.12)

formundad¬r. f (z) = e ^z

fonksiyonunun z 0 = x noktas¬ndaki n: türev de¼ geri, x noktas¬n¬içine alan bir C çevresi boyunca

f ⁽ⁿ⁾ (x) = d ⁿ

dx ⁿ e ^x

= n!

2 i I

C

e ^z

(z x) ⁿ⁺¹ dz

1

Cauchy integral formülü yard¬m¬yla yaz¬labilir. Bu ifade (2:12) de yerine yaz¬l¬rsa

H _n (x) = ( 1) ⁿ e ^x

n!

2 i I

C

e ^z

(z x) ⁿ⁺¹ dz

elde edilir. Buradan X 1 n=0

H _n (x) n! t ⁿ =

X 1 n=0

2

4( 1) ⁿ e ^x

1 2 i

I

C

e ^z

(z x) ⁿ⁺¹ dz

3 5 t ⁿ

= e ^x

2 i

I

C

e ^z

1 z x

" ₁ X

n=0

( 1) ⁿ t z x

n # dz

yaz¬labilir. t

z x < 1 için X 1 n=0

( 1) ⁿ t z x

n

= 1

1 + t z x

= z x

z x + t

oldu¼ gundan,

X 1 n=0

H _n (x)

n! t ⁿ = e ^x

2 i

I

C

e ^z

z x + t dz

elde edilir. f (z) = e ^z

fonksiyonu C içinde analitik olup, Cauchy integral formülünden dolay¬

X 1 n=0

H _n (x)

n! t ⁿ = e ^x

2 i

I

C

e ^z

z x + t dz = e ^x

1 2 i

I

C

e ^z

z (x t) dz = e ^x

e ^{(x t)}

= e ^{2tx t}

sa¼ glan¬r. Burada z 0 = x t noktas¬C çevresi içindedir. Böylece, H n (x) Hermite polinomlar¬

için bir do¼ gurucu fonksiyon

X 1 n=0

H _n (x)

n! t ⁿ = e ^{2tx t}

formunda elde edilir.

ii) Laguerre Polinomlar¬için Do¼ gurucu Fonksiyon:

¸

Simdi de Laguerre polinomlar¬n¬n serisel ifadesinden yararlanarak L ^{( )} n (x) Laguerre polinomlar¬

2

için X 1

n=0

L ^{( )} _n (x) t ⁿ = 1

(1 t) ¹⁺ exp xt 1 t do¼ gurucu fonksiyonunu elde edelim. L ^{( )} n (x) Laguerre polinomlar¬n¬n

L ^{( )} _n (x) = ( + 1) _n X n k=0

( n) _k ( + 1) _k

x ^k k!

serisel ifadesi dikkate al¬n¬rsa

X 1 n=0

L ^{( )} _n (x) t ⁿ = X 1 n=0

( + 1) _n n! t ⁿ

X n k=0

( n) _k ( + 1) _k

x ^k k!

= X 1 k=0

X 1 n=k

( + 1) _n ( + 1) _k

( 1) ^k x ^k t ⁿ k! (n k)! =

X 1 k=0

X 1 n=0

( + 1) _n+k ( + 1) _k

( 1) ^k x ^k t ^n+k k!n!

= X 1 k=0

( xt) ^k k!

X 1 n=0

( + k + 1) _n t ⁿ n!

= X 1 k=0

( xt) ^k

k! (1 t) ^{k 1} ; jtj < 1

= (1 t) ¹ X 1 k=0

1 k!

xt 1 t

k

= 1

(1 t) ¹⁺ exp xt 1 t do¼ gurucu fonksiyonu elde edilir.

Bilinen di¼ ger klasik ortogonal polinom ailelerinden baz¬lar¬için do¼ gurucu fonksiyonlar a¸ sa¼ g¬daki

¸ sekildedir:

iii) Jacobi Polinomlar¬için Do¼ gurucu Fonksiyon:

X 1 n=0

P _n ^{( ; )} (x) t ⁿ = 2 ⁺

R (1 t + R ) (1 + t + R) ;

R = p

1 2xt + t ²

3

iv) Legendre Polinomlar¬için Do¼ gurucu Fonksiyon:

X 1 n=0

P n (x) t ⁿ = (1 2xt + t ² ) ¹⁼²

v) He _n (x) Hermite Polinomlar¬için Do¼ gurucu Fonksiyon:

X 1 n=0

He _n (x)

n! t ⁿ = e ^tx

4