A¼ g¬rl¬k Merkezinin Bulunmas¬

A¼ g¬rl¬k Merkezinin Bulunmas¬

W cismi uzaysal ise, G a¼ g¬rl¬k merkezinin x; y; z koordinatlar¬;

x = M

M ; y = M

M ; z = M

M

¸ seklindedir. Burada;

M

= ZZZ

W

x dm = ZZZ

W

(x; y; z) x dzdydx

M

= ZZZ

W

y dm = ZZZ

W

(x; y; z) y dzdydx

M

= ZZZ

W

z dm = ZZZ

W

(x; y; z) z dzdydx

M =

ZZZ

W

dm = ZZZ

W

(x; y; z) dzdydx

dir.

Cisim düzlemsel ise, G(x; y) a¼ g¬rl¬k merkezi için x; y koordinatlar¬,

x = M

M ; y = M

M formülleriyle hesaplan¬r. Burada,

M

= ZZ

W

x dm = ZZ

W

(x; y)x dydx

M

= ZZ

W

y dm = ZZ

W

(x; y)y dydx

M =

ZZ

W

dm = ZZ

W

(x; y) dydx

dir.

1

Cisim do¼ grusal ise, G(x) a¼ g¬rl¬k merkezi,

x = M

M =

R

(x)x dx R

a

(x) dx

olur.

Cisim bir uzay e¼ grisi ise, G(x; y; z) a¼ g¬rl¬k merkezinin koordinatlar¬;

x = M

M =

R x ds

R ds ; y = M

M =

R y ds

R ds ; z = M

M =

R z ds R ds

¸ seklindedir.

Örnek 1.

x

+y

= a

ve z = a ln a

x yüzeylerinin arakesit e¼ grisi boyunca A (a; 0; 0) ve A a 2 ;

p 3a

2 ; a ln 2

!

noktalar¬aras¬na yerle¸ stirilmi¸ s bulunan bir tel parças¬n¬n yo¼ gunlu¼ gu (x; y; z) = kxy dir. Bu tel parças¬n¬n a¼ g¬rl¬k merkezini bulunuz.

Çözüm:

xyz uzay¬nda verilen bu e¼ grisel cisim olsun.

= n

(x; y; z) : x = a cos t; y = a sin t; z = a ln cos t ; 0 x 3

o

P (x; y) 2 noktas¬nda;

Yo¼ gunluk: (P ) = kxy = ka

cos t sin t Hacim eleman¬: dv = ds =

q

dx dt

2

+

+

dt = a cos t dt Kütle eleman¬: dm = dv = ka

sin t dt ¸ seklindedir.

2

G(x; y; z) a¼ g¬rl¬k merkezinin, x = M

M ; y = M

M ; z = M

M koordinatlar¬için,

M =

Z

dm = Z

0

ka

sin tdt = ka

cos t

= ka

2 birim kütle

M

= Z

x dm = Z

0

ka

cos t sin tdt = ka

2 sin

t

=3

0

= 3ka

8

M

= Z

y dm = Z

0

ka

sin

tdt = ka

2 t 1

2 sin 2t

=3

0

= ka

2

"

3 p 3

4

#

M

= Z

zdm = Z

0

ka

sin t ln (cos t) dt = ka

2 (1 ln 2)

olmak üzere,

x = M

M = 3

4 a ; y = M

M = a

"

3 p 3

4

#

; z = M

M = a (1 ln 2) olup, e¼ grisinin a¼ g¬rl¬k merkezi

G 3

4 a;

"

3 p 3

4

#

a; a (1 ln 2)

!

¸ seklindedir.

3