Tan¬m f bir I aral¬¼ g¬üzerinde tan¬ml¬bir fonksiyon olsun. E¼ ger her x 2 I için

BEL· IRS· IZ · INTEGRALLER

Tan¬m f bir I aral¬¼ g¬üzerinde tan¬ml¬bir fonksiyon olsun. E¼ ger her x 2 I için

F ⁰ (x) = f (x)

ba¼ g¬nt¬s¬n¬sa¼ glayan bir F fonksiyonu varsa bu F fonksiyonuna f fonksiyonunun bir antitürevi denir.

Örnek 1. f (x) = 3x ² fonksiyonunun baz¬antitürevleri: F (x) = x ³ + 4;

G(x) = x ³ p

5 ve H(x) = x ³ 7 dir:

Teorem I aral¬¼ g¬üzerinde F ⁰ (x) = f (x) ise, I üzerinde f fonksiyonunun her bir G antitürevi, c bir sabit olmak üzere

G(x) = F (x) + c

¸ seklinde ifade edilir.

Tan¬m f fonksiyonu I aral¬¼ g¬üzerinde türevlenebilir olsun. f fonksiyonunun tüm antitürevlerinin s¬n¬f¬na f fonksiyonunun x de¼ gi¸ skenine göre belirsiz integrali denir

ve Z

f (x)dx ile gösterilir. R

sembolüne integral i¸ sareti, f (x) ifadesine integrant, x de¼ gi¸ skenine ise integrasyon de¼ gi¸ skeni ad¬verilir.

Bu tan¬ma göre f fonksiyonunun I aral¬¼ g¬üzerinde bir antitürevi F ise, Z

f (x)dx = F (x) + c; c 2 R

olacakt¬r.

Özellik Her a; b reel say¬s¬için Z

[af (x) + bg(x)] dx = a Z

f (x)dx + b Z

g(x)dx

e¸ sitli¼ gi gerçeklenir.

Iyi bilinen baz¬ türev formülleri yard¬m¬yla a¸ · sa¼ g¬daki integral formülleri kolayl¬kla elde edilir:

1) Z

x ^m dx = x ^m+1

m + 1 + c (m 6= 1) 2) Z dx

x = ln jxj + c 3)

Z

a ^x dx = a ^x

ln a + c (a > 0) 4) Z

e ^x dx = e ^x + c 5)

Z

cos xdx = sin x + c 6) Z

sin xdx = cos x + c 7)

Z dx

cos ² x = tan x + c 8) Z dx

sin ² x = cot x + c 9)

Z dx

1 + x ² = arctan x + c 10)

Z dx

p 1 x ² = arcsin x + c

Örnek2. A¸ sa¼ g¬daki integralleri hesaplay¬n¬z.

a) Z

(x ³ + 3 ^x ) dx = x ⁴ 4 + 3 ^x

ln 3 + c

b)

Z 3

x + 1 p

x ³ dx =

Z 3

x + x

dx = 3 ln jxj + 4x

+ c Integral Alma Yöntemleri ·

Do¼ grudan sonucu elde edilemeyen integralleri hesaplayabilmek için çe¸ sitli yöntemler

kullan¬lmaktad¬r.

1. De¼ gi¸ sken De¼ gi¸ stirme Yöntemi

u sürekli türevlere sahip bir fonksiyon olmak üzere x = u(t) dönü¸ sümü yap¬ld¬¼ g¬nda dx = u ⁰ (t)dt olaca¼ g¬ndan

Z

f (x)dx = Z

f (u(t)) u ⁰ (t)dt

integrali elde edilir.

Örnek 3. A¸ sa¼ g¬daki integralleri hesaplay¬n¬z.

a)

Z (ln x) ³

x dx integralini hesaplamak için u = ln x seçilirse du = 1

x dx bulunur.

Böylece Z

(ln x) ³ x dx =

Z u ³ du

e¸ sitli¼ gi elde edilir. Sa¼ g taraftaki integral kolayl¬kla hesaplanarak Z

u ³ du = u ⁴

4 + c = (ln x) ⁴ 4 + c bulunur.

b)

Z (1 + p x) ⁵

p x dx integralinde u = (1 + p

x) seçilirse du = 1 2 p

x dx bulunur. Bu de¼ gerler integralde yerine yaz¬larak

Z (1 + p x) ⁵

p x dx = 2 Z

u ⁵ du = 2 u ⁶

6 + c = 1

3 1 + p

x ⁶ + c

elde edilir.

c) Z

sin ⁵ x: cos xdx integralinde u = sin x al¬n¬rsa du = cos xdx olur. Bu de¼ gerler integralde yerine yaz¬l¬rsa

Z

sin ⁵ x: cos xdx = Z

u ⁵ du = u ⁶

6 + c = (sin x) ⁶

6 + c

bulunur.

d)

Z x + 3

x ² + 6x + 5 dx integralinde u = x ² + 6x + 5 seçilirse

du = (2x + 6) dx = ) du

2 = (x + 3) dx olacakt¬r. Bu de¼ gerler verilen integralde yerine yaz¬l¬rsa

Z x + 3

x ² + 6x + 5 dx = 1 2

Z du u = 1

2 ln juj + c = 1

2 ln x ² + 6x + 5 + c bulunur.

e)

Z x ⁴ 1 + x ¹⁰ dx

f) Z

tan xdx

De¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirme yöntemi kullan¬l¬rken baz¬özel tipte fonksiyonlar¬n integralleri için uygulanan de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmeler a¸ sa¼ g¬daki gibidir:

1. p

a ² x ² den ba¸ ska köklü ifade içermeyen fonksiyonlar¬n integrali hesaplan¬rken

x = a sin t;

2 < t <

2

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬larak, integrant trigonometrik fonksiyonlar¬n bir rasyonel ifadesine dönü¸ stürülür.

2. p

x ² a ² den ba¸ ska köklü ifade içermeyen fonksiyonlar¬n integrali hesaplan¬rken

x = a sec t; 0 < t <

2 veya

2 < t <

dönü¸ sümü yap¬larak, köklü ifade içermeyen bir integral elde edilir.

3. p

x ² + a ² den ba¸ ska köklü ifade içermeyen fonksiyonlar¬n integrali hesaplan¬rken

x = a tan t;

2 < t <

2

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬larak integrant daha basit biçimde yaz¬l¬r.

4. Trigonometrik fonksiyonlar¬n rasyonel ifadesi biçimindeki integrantlar için

tan x 2 = t

dönü¸ sümü sonucunda bir rasyonel fonksiyonun integrali elde edilir.

5.

p

ax + b biçiminde ifadeler bulunduran fonksiyonlar¬n integrali hesaplan¬rken, n _i kök kuvvetlerinin en küçük ortak kat¬p olmak üzere

ax + b = t ^p

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬r.

Örnek 4. A¸ sa¼ g¬da verilen integralleri hesaplay¬n¬z.

a)

Z dx

x ² p

16 x ² integralini hesaplamak için x = 4 sin t dönü¸ sümü yap¬l¬rsa dx = 4 cos tdt bulunur. Bu de¼ gerler integralde yerine yaz¬larak

Z dx

x ² p

16 x ² =

Z 4 cos tdt

16 sin ² t p

16 16 sin ² t

= 1 16

Z dt sin ² t

= 1

16 cot t + c

= 1

16 cot arcsin x 4 + c elde edilir.

b)

Z dx

p 4 + x ² intrgralini hesaplamak için x = 2 tan t de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ stirmesi yap¬l¬rsa

Z dx

p 4 + x ² =

Z 2 sec ² tdt p 4 + 4 tan ² t =

Z

sec tdt

= ln jsec t + tan tj + c

= ln

p 4 + x ²

2 + x

2 + c

bulunur.

c)

Z dx

p x (1 + p

x) integralini hesaplamak için x = u ⁶ dönü¸ sümü yap¬ld¬¼ g¬nda dx = 6u ⁵ du olur. Bu de¼ gerler integralde yaz¬larak

Z dx

p x (1 + p

x) = 6

Z u ⁵

u ³ (1 + u ² ) du = 6

Z u ² 1 + u ² du

= 6 Z

1 1

1 + u ² du

= 6 (u arctan u) + c

= 6 ( p

x arctan p

x) + c

elde edilir.

2. K¬smi · Integrasyon Yöntemi

u ve v, x de¼ gi¸ skeninin birer fonksiyonu olsun. Çarp¬m¬n türev formülü yard¬m¬yla

d(u:v) = du:v + u:dv = ) u:dv = d(u:v) v:du

bulunur. Son e¸ sitlikte her iki taraf¬n integrali al¬n¬rsa, k¬smi integrasyon formülü

olarak bilinen Z

udv = uv Z

vdu

e¸ sitli¼ gi elde edilir.

Örnek 5. A¸ sa¼ g¬da verilen integralleri hesaplay¬n¬z.

a) Z

x cos xdx integralini hesaplamak için u = x ve dv = cos xdx seçilirse du = dx ve v =

Z

cos xdx = sin x olur. Buna göre k¬smi integrasyon formülünden Z

x cos xdx = x sin x Z

sin xdx

= x sin x + cos x + c

bulunur.

b) Z

x ⁴ ln xdx integralini hesaplamak için u = ln x ve dv = x ⁴ dx seçilirse du = 1 x dx ve v =

Z

x ⁴ dx = x ⁵

5 olur. Buna göre, Z

x ⁴ ln xdx = (ln x) x ⁵ 5

1 5 Z

x ⁵ 1 x dx

= (ln x) x ⁵ 5

1 5 Z

x ⁴ dx

= (ln x) x ⁵ 5

1

25 x ⁵ + c elde edilir.

c) Z

xe ^6x dx integralini hesaplamak için u = x ve dv = e ^6x dx seçilirse du = dx ve v =

Z

e ^6x dx = 1

6 e ^6x bulunur. Buna göre, Z

xe ^6x dx = x e ^6x 6

1 6 Z

e ^6x dx

= x e ^6x 6

1

36 e ^6x + c

elde edilir.