2.8. ĠLGĠLĠ ARAġTIRMALAR
2.8.1. Yurt dıĢında yapılan AraĢtırmalar
Consideraremos inicialmente uma aproximac~ao considerando apenas um stio. Nesse caso, o DKCA e um anel com L stios e o estado do sistema e especi cado pelo numeroN de
stios ativos no tempot. Sejap t(
N), (N = 0;:::;L), a probabilidade de termos exatamente N stios ativos no tempot; o vetor de probabilidades,p
t= [ p t(0) ;p t(1) ;:::;p t( L)], satisfaz a relac~ao p t( N) = X N 0 W(NjN 0) p t 1( N 0) ; (3.38)
ondeW e a matriz de transic~ao, eW(NjN
0) representa a probabilidade de termos
N stios
ativos no tempot, dado que havia N
0 ativos no tempo t 1.
Na aproximac~ao de um stio consideramos o estado de cada stio da rede como um evento independente; se temos N
0 stios ativos no tempo
t, a probabilidade x de que um stio
esteja ativo no proximo passo de tempo sera dada por (ver equac~ao (3.29)): x=y[2p 1 (2 p 1 p 2) y] ; (3.39) onde y=N 0
=L. Logo, as taxas de transic~ao na aproximac~ao de um stio s~ao dadas por W(NjN 0) = L! (L N)!N! x N (1 x) L N : (3.40)
Desse modo, na aproximac~ao de um stio p t(
N) e uma superposic~ao de distribuic~oes
binomiais cujo peso estatstico depende somente da populac~ao media no passo anterior. Como para L nito a distribuic~ao de probabilidades sempre evolui para o estado absor-
vente, (p(N) =
N;0), estaremos interessados em estudar a distribuic~ao
quase-estacionaria
(QS),p(N). Considerando que a distribuic~ao de probabilidades,condicionadaaosestados ativos, atinja uma forma independente do tempo, para t !1, teremos que
p t( N) =A t N;0+ S t p(N); (3.41)
onde toda depend^encia temporal restringe-se as variaveis A t e
S
t. Como a distribuic~ao p(N) e condicionada a estados ativos, p(0)0. Se adotarmos a normalizac~ao
L X N=1
p(N) = 1; (3.42)
S
tna equac~ao (3.41) representa a probabilidade de sobreviv^encia e A
t= 1 S
t representa
a probabilidade de cair no estado absorvente.
A hipotese do estado quase-estacionario e veri cada numericamente a partir da relac~ao (3.41). A distribuic~ao de probabilidades no passo de tempo t+ 1 e dada por
p t+1( N) = A t N;0+ S t L X N 0 =0 W(NjN 0) p(N 0) = A t+1 N;0+ S t+1 p(N); (3.43) onde, S t+1 = S t, e = 1 L X N=1 W(0jN)p(N) : (3.44) 70
Restrito aos estados 1;:::;N,pe um autovetor da matrizW cujo autovalor correspondente
e . O tempo de sobreviv^encia, , de um estado quase-estacionario e dado por,
= 1 ln : (3.45) 0 20 40 60 80 100 N 0.00 0.05 0.10 P(N) delta inicial depois da 1a iteracao depois da 10a iteracao depois da 20th iteracao depois da 50th iteracao depois da 100th iteracao p2=0.5 p1=0.5
Figura 3.15: Evoluc~ao da distribuic~ao de probabilidades, condicionada aos estados ativos, na
aproximac~ao de campo medio ao nvel de um stio. A distribuic~ao inicial e p 0 (N)= N;50. O tamanho do sistema eL=100, ep 1=0.5, p 2=0.5.
A distribuic~ao quase-estacionaria pode ser obtida iterando-se a equac~ao de evoluc~ao (3.38), ate a distribuic~ao, q t( N) p t( N)=S t (para
N = 1;2;:::;L), atinja uma forma
independente do tempo. Esta n~ao e a unica maneira de se obter o estado estacionario, como mostrado por Dickman [39] e, no trabalho citado [10], os autores consideram um metodo alternativo [39]. Esse segundo metodo e baseado na seguinte relac~ao,
p t( N)p t+1( N) p t( N) = w(N)p t( N) +r t( N); (3.46) onder t( N) = P N 0 6=N W(NjN 0) p t( N 0) e w(N) = P N 0 6=N W(N 0 jN). Inserindo a distribui-
c~ao QS normalizadap(N) no lado direito da relac~ao acima, teremos
( 1)p(N) = w(N)p(N) +r(N); (3.47) onde r(N) = P N 0 W(NjN 0) p(N 0). Notando que 1
= r(0), essa equac~ao pode ser
escrita na forma, p(N) = r(N) w(N) r(0) ; N 1 : (3.48) 71
Essa relac~ao sugere o seguinte esquema iterativo
p0(N) =ap(N) + (1 a) r(N)
w(N) r(0) ; (3.49)
ondea e um par^ametro er(N) e obtido a partir da distribuic~aop(N). A cada iterac~ao, a nova distribuic~ao p0(N) deve ser normalizada. Desse modo, podemos construir o estado
quase-estacionario a partir de qualquer distribuic~ao inicial p(N), normalizada e n~ao- negativa. Como discutido por Dickman [39], uma boa converg^encia e obtida para a' 0.
Referiremos a este metodo comoiterativo, enquanto o metodo a partir da equac~ao (3.38)
e chamado de metodo direto.
Na Figura 3.15, mostramos a evoluc~ao temporal da distribuic~ao de probabilidades na aproximac~ao de um stio, usando o metodo direto. E facil ver que a distribuic~ao atinge uma forma quase-estacionaria apos 50 passos de tempo, aproximadamente. Na Figura 3.16 mostramos a evoluc~ao para os valores quase-estacionarios da populac~ao media,hNi,
da raz~ao entre o segundo e primeiro momentos, m = hN 2
i=hNi
2, (ambos condicionados
aos estados ativos), e da taxa de decaimento, = rt(0)=St, considerando os mesmos
par^ametros usados na gura 3.15. ( Note que e a taxa de transic~ao para o estado absorvente.) 0 50 100 t 1.00 1.20 1.40 1.60 m 0 50 100 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 γ 0 50 100 t -0.2 0.2 0.8 1.2 coeficiente de assimetria curtose 0 50 100 0 10 20 30 40 50 <N> p2=0.5 p1=0.5
Figura 3.16: Evoluc~ao em direc~ao ao estado QS na aproximac~ao de um stio; os par^ametros s~ao os
mesmos usados na gura 3.16. Acima a esquerda: taxa de decaimento ; a direita: numero medio de stios ativos. Abaixo a esquerda: raz~ao entre momentosm; a direita: coe ciente de assimetria e curtose da distribuic~ao.
A relaxac~ao para o estado quase-estacionario parece consistir em dois estagios: um transiente inicial, que depende fortemente da condic~ao inicial, e um longo perodo de aproximac~ao exponencial para os valores nais. Por exemplo, se observarmos a Figura 3.16 notaremos que a populac~ao media obedece uma relac~ao do tipo, jhNi hNi
QS je
t= R;
m e tambem relaxam com esta taxa, que e independente da distribuic~ao inicial. Desse
modo, a relaxac~ao assintotica para o estado QS e governada por um tempo de relaxac~ao,
R, que parece depender apenas dos par^ametros p
1 and p
2 e do tamanho do sistema, L.
A distribuic~ao QS tambem pode ser caracterizada por seu coe ciente de assimetria, S, e
pela curtose, K, de nidos no captulo anterior. A evoluc~ao do coe ciente de assimetria e
da curtose tambem s~ao mostrados na Figura 3.16.
Na Figura 3.17 mostramos a distribuic~ao quase-estacionaria em diversos pontos do espaco de par^ametros (p
2 ;p
1). Observa-se que na fase congelada (por exemplo p
2 =0 :5,p
1=0 :4)
a distribuic~ao QS colapsa proxima de N = 1, enquanto na fase ativa (p 2= 0
:5, p 1= 0
:6)
ela ca concentrada proxima a N = 60, indicando que, na fase ativa, quanto maior a
dist^ancia do ponto crtico, N QS
! L (p 2=0
:99, p 1=0
:9). De interesse particular s~ao as
propriedades de escala QS no ponto crtico (p 2=
p 1=0
:5), onde veri camos quehNiL 1=2;
os tempos de vida QS (ou seja, o numero medio de passos que o sistema se mantem ativo no estado QS) comportam-se da mesma maneira. Em particular, o tempo de relaxac~ao
R tambem cresce segundo a mesma lei de pot^encia no ponto crtico, onde encontramos a
relac~ao, QS = R 2:67, para p 1 = p 2 = 1 =2. 0 20 40 60 80 100 N 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 P(N) p2=0.5, p1=0.1 p2=0.5, p1=0.4 p2=0.5, p1=0.49 p2=0.5, p1=0.51 p2=0.5, p1=0.6 p2=0.99, p1=0.51 p2=0.99, p1=0.6 p2=0.99, p1=0.9
Figura 3.17: Distribuic~oes quase-estacionarias em varios pontos do diagrama de fases do DKCA, para L=100.
Entretanto, na fase ativa QS exp[const:(p 1 p 1c) L], enquanto R varia suavemente com p 1, p 2, e
L. Isso leva a uma clara separac~ao de escalas temporais, QS
R, para
sistemas nitos su cientemente grandes. (Por exemplo, para L=100, p 1=0 :6 e p 2=0 :5, QS '2000 enquanto R '8.)
Na Figura 3.18 mostramos a densidade QS de stios ativos(N)versus p
1 na aproximac~ao
de um stio, para diversos tamanhos de sistemas. Pode-se veri car a converg^encia para 73
a previs~ao determinstica da aproximac~ao de campo medio. A raz~ao entre os momentos,
mp
1, tambem e mostrada, no detalhe da Figura 3.18, para os mesmos tamanhos de
sistemas. Os dados para L = 103 a 105 (vide Figura 3.19) indicam que no ponto crtico,
paraL!1, a raz~ao entre os momentos se aproxima do valor 1.660, encontrado tambem
para o processo de contato (PC) e no processo de Malthus-Verhulst (MVP) [44]. A raz~ao entre os momentos parece aproximar desse mesmo valor limite ao longo de toda a linha crtica, para p2 <1. Esse comportamento sugere que a distribuic~ao QS crtica tenha a
seguinte forma de escala, para L!1
p(N)'
1
hNi
P(N=hNi) ; (3.50)
onde P(u) e uma func~ao de escala. Na Figura 3.20 comparamos (para p
1 =p2 = 0:5), hNip(N) como func~ao deN=hNi, para sistemas com L= 10
3, 104, e 105, do mesmo modo
que a func~ao de escala exata encontrada para os processos PC e PMV [44].
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 p1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ρ (N) L = 10 L = 20 L = 40 L = 80 L = 100 L = 200 L = 500 L = 1000 Aprox. de um sitio 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 p1 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 m p2=0.5
Figura 3.18: Densidade quase-estacionaria para o DKCA, na aproximac~ao de um stio, para varios
tamanhos de sistemas. No detalhe mostramos a raz~ao entre momentos m versus p1 para os mesmos
tamanhos de sistemas.
E interessante notar que a distribuic~ao QS para o DKCA tem a mesma forma de escala encontrada no PC e no PMV, embora no ponto crtico do DKCA, o maximo de p(N) ocorre para N > 1. A posic~ao desse maximo varia muito lentamente com o tamanho do sistema (aproximadamente lnL), de modo que sua posic~ao quase n~ao se altera no
limite L ! 1. Uma explicac~ao provavel para esse comportamento no DKCA e que as
transic~oes para o estado absorvente s~ao possveis para varios valores de N, enquanto no PC essa transic~ao so e possvel para N = 1.
No detalhe da Figura 3.20, mostramos para varios valores de p2, as curvas
hNi p(N)
N=hNi, para p
1 = 0:5, L = 2000. O colapso dos dados con rmam a hipotese de escala,
exceto para p 2
'1. Esse comportamento distinto e esperado, ja que p
2 = 1 corresponde
a uma outra classe de universalidade, a percolac~ao direcionada compacta, como veremos em detalhe na proxima sec~ao, e possui dois estados absorventes.
0.00 0.10 0.20 0.30 L-1/2 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 m Aprox. de pares Aprox. de um sitio
Figura 3.19: Raz~ao entre os momentosm, no ponto crtico (p
1=p2=1/2 na aproximac~ao de um stio
e p1=0.6306, p2=0.5 na aproximac~ao de pares), versus L
1=2. Cada ponto neste gra co corresponde
ao valor quase-estacionario da raz~ao entre momentos, obtido na criticalidade, em cada uma das aproximac~oes. Note que no caso da aproximac~ao de pares, o valor esperado para o sistema in nito e atingido rapidamente com o aumento dos tamanhos da rede.
Para qualquer con gurac~ao inicial n~ao concentrada em N = 0, o sistema evolui para
a distribuic~ao QS; portanto, esta e independente da condic~ao inicial. (A unicidade da distribuic~ao QS e esperada no caso do DKCA, que possui apenas um estado absorvente e um estado ativo. Distribuic~oes QS n~ao unicas podem ser observadas em processo nos quais o estado ativo apresenta uma quebra de simetria.)
Os metodos direto e iterativo levam (como deveriam) para a mesma distribuic~ao QS. Para 0:4 <a < 0, observamos que o metodo iterativo converge para o estado QS levemente
mais rapido que o metodo direto (que requer cerca de 30% menos passos). Em contraste com o caso onde t e contnuo, no qual o esquema iterativo pode ser ordens de magnitude
mais rapido que a integrac~ao da equac~ao mestra [44, 39], aqui o ganho em e ci^encia e bem mais modesto. Isto n~ao causa surpresa, uma vez que, no caso contnuo, o enorme ganho de e ci^encia no metodo iterativo e devido ao pequeno tempo requerido para manter a estabilidade numerica, em relac~ao ao metodo direto de integrac~ao.