Construmos o diagrama de fases do BPCA, para p
3 = 0 e p
3 = 1, usando simulac~oes
de sistemas com ate L = 10
4 stios, com condic~oes periodicas de fronteira. Aplicamos
o metodo do expoente de crescimento [8] para localizar as linhas de transic~ao, como mostrado na Figura 4.7. A condic~ao inicial nessas simulac~oes e um estado aleatorio com 50% de stios ativos. O diagrama de fases para os casos p
3 = 1 e p
3 = 0 s~ao mostrados
0.3 0.5 0.7 0.9 p1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p2 Transicao DS Transicao absorvente p3=0
Figura 4.6: Linha de transic~ao DS, para p 3
=0, obtido por simulac~ao. Observamos o comportamento
reentrante tal como na aproximac~ao de um stio ( gura 4.5.
nas Figuras 4.1 e 4.2, respectivamente. Como esperado, comparada com a simulac~ao, a previs~ao da aproximac~ao de pares e melhor que no caso de um stio.
Qualitativamente, o diagrama de fases para p
3= 0 e quase id^entico ao apresentado pelo
DKCA [8, 115]; a principal diferenca e que a regi~ao ativa e bem maior no caso do BPCA. Para p
3 = 1, a aproximac~ao de pares fornece uma previs~ao melhor para a transic~ao,
embora a posic~ao do ponto bicrtico permaneca a mesma, p 1= 1
=3;p 2= 2
=3, tal como
encontrado na aproximac~ao de um stio. Nas simulac~oes, o ponto bicrtico e localizado na posic~ao (p
1=0.460(3), p
2=0.540(3)). E importante notar que ha apenas tr^es transic~oes
neste diagrama: entre as fases absorventescongelada/fase1(descontnua), e as de segunda
ordem entre as fases ativa/fase 1 e congelada/ativa. Todas as transic~oes s~ao localizadas
utilizando-se o metodo do expoente de crescimento, demonstrando que o metodo e capaz de detectar tanto transic~oes de primeira quanto de segunda ordem.
Os diagramas de fase para as transic~oes de espalhamento de danos s~ao mostrados nas Figuras 4.6 e 4.8, para p 3= 0 e p 3 = 1, respectivamente. No caso p 3 = 1, con rmamos
os resultados de Bagnoli et al. [15], mas alguns comentarios s~ao necessarios; no artigo
citado, os autores comentam que as regi~oes de caos que aparecem ao longo da linha de transic~ao entre as fases congelada/ativa aparecem devido a diverg^encia do tempo de relaxac~ao ou ao fato de pequenas diferencas nas con gurac~oes iniciais poderem levar o sistema a um estado absorvente diferente. Na Figura 4.9, comparamos as transic~oes DS obtidas quando usamos (1) o dano por \rotac~ao", apresentado no captulo anterior, e (2) um dano aleatorio, onde trocamos o valor do estado em 10% dos stios de um aut^omato no estado estacionario e medimos a evoluc~ao da dist^ancia de Hamming. Conclumos que os domnios caoticos observados por Bagnoli et al. sobre as linhas de transic~ao absorventes
0.2 0.3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 βw p2=1 p2=0.75 p2=0.5 p2=0.1 p3=1
Figura 4.7: Metodo do expoente de crescimento para o BPCA.
s~ao associados somente a diverg^encia do tempo de relaxac~ao proximo a criticalidade. Esse comportamento pode aparentar transic~oes reais quando usamos o metodo do expoente de crescimento, como mostrado na Figura 4.9, ou atraves da tecnica usual da dist^ancia de Hamming. De fato, existe apenas uma linha de transic~ao bem de nida para a transic~ao caotica no caso p
3 = 1, como mostramos na Figura 4.8.
No caso p
3 = 0, as simulac~oes con rmam a transic~ao caotica reentrante prevista na
aproximac~ao de um stio. Como mostrado na Figura 4.6, a linha de transic~ao DS e c^oncava na direc~ao da fase ativa, e apresenta comportamentos distintos para p
1 >p 2 e p 1 <p
2, como esperado; entretanto, n~ao ha descontinuidades em p
2= p
1 como havia sido
previsto na aproximac~ao de um stio.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p2 Transicao absorvente Transicao DS p3=1
Figura 4.8: Transic~ao DS para o BPCA, p 3
=1.
Cabe ressaltar que o metodo do expoente de crescimento aplicado as transic~oes descont- 94
nuas e utilizado apenas para identi car as transic~oes, pois n~ao ha uma de nic~ao para os expoentes crticos em transic~oes descontnuas, como existe para as transic~oes contnuas. O valor '1 encontrado nas simulac~oes e compatvel com a previs~ao para a classe CDP
(como discutido na subsec~ao 3.2.2), tendo em vista que o expoente (sec~ao 1.2) que
governa a densidade de stios ativos e igual a 0.
0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 p1 0.40 0.60 0.80 1.00 βw
dano por ‘‘rotacao’’
dano aleatorio em 10 % dos sitios
Figura4.9: Metodo do expoente de crescimento para a transic~ao DS considerando dois modos diferentes
para se fazer o dano inicial, para p 3
=1. Os resultados indicam que ha apenas uma linha de trasic~ao
caotica, sem a presenca de \ilhas" da regi~oes caoticas como a rmado por Bagnoli et al [15].
Modelo discreto gerador de per s auto-a ns de solos
Os conceitos da geometria fractal t^em sido largamente usados para descrever e quanti car a irregularidade na natureza, e propriedades auto-a ns foram recentemente identi cadas em varios terrenos terrestres [45] e per s de solos [116]. Diversos trabalhos na ci^encia dos solos incorporam a geometria fractal na descric~ao e modelagem de propriedades e processos fsicos do solo e para quanti car a variabilidade espacial dos solos [187, 138, 63, 114]. Uma propriedade muito importante intimamente relacionada a geometria fractal e a rugosidade super cial do solo, de nida como a con gurac~ao do microrel^evo do solo. A rugosidade super cial do solo exerce grande in u^encia na in ltrac~ao de agua, processos erosivos e efeitos de escoamento. Sua quanti cac~ao e importante para a compreens~ao do comportamento do solo durante processos de degradac~ao, como eros~ao pluvial ou mudancas abruptas tais como aquelas introduzidas pela aragem [172]. Nos ultimos anos, um esforco consideravel tem sido feito para simular a estrutura dos solos e, entre os varios modelos propostos, ha aqueles que simulam a distribuic~ao de tamanhos das partculas [114], a rugosidade super cial do solo [187, 32], a morfologia da estrutura de poros [139], etc. As principais propriedades consideradas nesses modelos s~ao a dimens~ao fractal da superfcie do solo, D, a distribuic~ao dos tamanhos das partculas (PSD), a distribuic~ao
de tamanhos dos poros, alem, claro, da rugosidade super cial.
Neste captulo propomos um modelo simples, de nido em uma rede, para simular a estrutura de um solo e reproduzir sua rugosidade super cial. Basicamente, utilizamos as ideias de crescimento fractal de superfcies [13] para gerar per s aproximadamente auto-a ns, no sentido que as propriedades de escala desses per s s~ao validas somente em uma faixa limitada de valores. A dimens~ao fractal dos per s gerados foi medida e comparada com os dados experimentais. As duas principais contribuic~oes de nosso modelo e considerar uma distribuic~ao no tamanho das partculas segundo uma dada lei de pot^encia e permitir diferentes morfologias para os agregados. Ate onde sabemos, essas caractersticas n~ao haviam sido consideradas ainda por nenhum outro modelo e s~ao
responsaveis pela estrutura dos \solos" gerados em nosso modelo.
O captulo esta organizado da seguinte maneira: na sec~ao a seguir, apresentamos uma descric~ao detalhada do modelo, onde mostraremos como obter a distribuic~ao de tamanhos em lei de pot^encia e descrevemos os algoritmos utilizados para gerar as morfologias dos agregados. Tambem apresentamos um breve sumario da teoria de crescimento fractal de superfcies. Em seguida, apresentamos os resultados considerando diferentes dimens~oes de fragmentac~ao e varios tamanhos maximos para os agregados. Finalmente, na ultima sec~ao, apresentamos nossas conclus~oes e perspectivas.