Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y2: Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe.

Kavramsal test 1’in sonuçlarına göre Ayşe Y2’ye sahip değildir. Test 1’de sorulan “Açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapınız” sorusuna henüz radyanın tanımını bilmediği için 1 radyanı tanımlayarak yanıt vermiştir. Bir çemberdeki radyan sayısını hesaplarken de, radyanın tanımını kullanmıştır. “Birim çemberde 60^o’lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu nedir?” sorusuna ise çember, merkez açı gibi kavramları ve özelliklerini unuttuğu için yanıt veremediğini belirtmiştir. Matematik öğretim programı takip edilerek işlenilen dersler sonucunda Ayşe’de Y2 bağlamında üç yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişmeler Y2G1, Y2G2 ve Y2G3 olarak kısaltılmıştır.

Y2G1: Radyanın tanımını yapabilme, radyanı yay uzunluğunun yarıçapa oranı olarak görebilme.

Y2G2: 1 radyanı tanımlarken, radyanın tanımından yararlanma. Y2G3: Radyanın tanımını problem çözümlerinde kullanabilme.

Test 1’de Ayşe “Açı ölçü birimlerinden radyanın tanımın yapınız” sorusuna 1 radyanı tanımlayarak cevap vermiştir. 1 radyanın matematiksel tanımını yapmaktan çok 1 radyanı tarif etmiştir. Yapılan öğretimden sonra kavramsal test 2’de ve görüşmede radyanın tanımını hiç takılmadan yapabilmiştir. Ancak 1 radyanı tanımlarken araştırmacının görüşme sırasındaki yardımı etkili olmuştur. Aşağıda Ayşe’nin 1 radyanı tanımlama süreci sunulmuştur:

Araştırmacı: Radyanla 1 radyan farklı şeyler değil mi? Radyan genel olarak tanım. 1 radyan onun özelleşmiş hali. 1 radyanı, radyanın tanımını kullanarak bulabilir misin?

Ayşe:...

Araştırmacı: Bir açının gördüğü yay uzunluğunun ne kadar olması gerekiyor 1 radyan olması için?

36 Araştırmacı: 1 radyanın tanımında geçiyor ya. Ne kadar uzunluğunda olması gerekiyor o yayın?

Ayşe: Yarıçap

Araştırmacı: Bir açının gördüğü yay uzunluğu ne kadar? Bizim yarıçapımız ne? Ayşe:……..o da r birim r/r den, 1.

Araştırmacının yardımlarıyla 1 radyanı tanımlayabilen Ayşe, birim çemberde radyanı tanımlayamamıştır. Ayşe’nin birim çemberde radyanın tanımına ilişkin düşünme süreci aşağıda sunulmuştur:

Araştırmacı:... Birim çemberde radyanı tanımlayabilir misin? Ayşe: ..….yarıçap uzunluğu 1 olan çembere birim çember denir.

Araştırmacı: Birim çember o. Yarıçap uzunluğu 1 olan, merkezi orijin olan çember. Birim çemberde radyanı tanımlayalım. Radyanın tanımını düşün. Orda verilenleri yerine koy. Yine yay uzunluğunun yarıçapa oranı. Ama bir şeye eşit olacak. Çemberin yarıçapı 1 olduğu için.

Ayşe:………….

Ayşe birim çemberi ve radyanın tanımını bilmesine ve araştırmacı tarafından hatırlatmalar yapılmasına karşın, verilenleri yerine yerleştirerek “birim çemberde radyan yay uzunluğuna eşittir” sonucuna varamamıştır. Radyanı yay uzunluğu olarak görememesi trigonometrik fonksiyonlarda ölçüsü radyan cinsinden verilen açıları birim çember üzerinde göstermesine engel olmaktadır.

Ayşe, birim çemberde radyanı tanımlarken radyanın tanımını kullanamamıştır. 1 radyanı tanılamada da zorluk çekmiş olmasına rağmen, bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken bu tanımı kolaylıkla kullanabilmiştir. Kavramsal test 1’de bu soruyu ezberden yaptığını söyleyen Ayşe, kavramsal test 2’de ise radyanın tanımını kullandığını belirtmiştir. Ayrıca radyanın tanımını uygulama düzeyindeki problemlerde de kullanabilmektedir. “Yarıçapı 1.8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7.1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusuna doğru cevap vermiş, çözüm yolu sorulduğunda ise bunun radyanın tanımından geldiğini ifade etmiştir.

Daha karmaşık bir problem olan “Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusunda da doğru yanıtı bulmuş, ancak

37 çözümünde radyanın tanımını kullanmamıştır. Ayşe’nin bu sorudaki problem çözme süreci aşağıda sunulmuştur:

Ayşe: ön tekerleğin yarıçapı 50cm’miş. Arka tekerleğin yarıçapı 100cm. Ön tekerlek tam bir dönüş yaparsa……ön tekerlek arka tekerleğin yarısı olduğu için o tam döndüğünde 360 ^o yapar. Arka tekerlekte yarısı dönmüş olur. 180 ^o olur. Bunu radyana dönmüş cinsi de ’ dir.

Ayşe’nin yanıtında da görüldüğü gibi Ayşe’de derece imajı baskındır. Tekerleklerin yarıçapları ile kaç derece döndükleri arasında ilişki kurmuş, ardından dereceyi radyana çevirmiştir. Sorunun çözümünde radyanın tanımını hiç kullanmamıştır. Ayşe, birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu görüşme sırasında söyleyememiştir. Bununla birlikte yay uzunluğunun radyan cinsinden ifade edileceğini vurgulamıştır. Görüşme sırasında sadece bir soruda yay uzunluğu ile radyanı ilişkilendirmeye çalışmış, ancak nedenini açıklamamıştır. Aşağıda öğrencinin yay uzunluğunun radyanla ifade edileceğine ilişkin düşünme süreci sunulmuştur:

Araştırmacı: Birim çemberde 60^o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?

Ayşe: Burası 60^o olduğuna göre radyanın tanımından 60^o’lik merkez açının gördüğü yarıçap uzunluğunun oranına denir. Bunu da radyana çeviririz.

Araştırmacı: Ne çıktı? A2: /3

Araştırmacı: Niye radyana çevirdin? Derece olarak kalsa olmaz mı? A2:...

Bu soruda görüldüğü gibi, yay uzunluğunu Ayşe radyan cinsinden bulmuş, ancak derece verildiği için mi radyana çevirdiği yoksa yay uzunluğu dediği için mi radyana çevirdiği konusunda bir açıklama yapmamıştır.

Birim çemberde radyanın yay uzunluğuna karşılık geldiğini bilmediği için, 1 radyanı ve 3 radyanı birim çember üzerinde gösterememiştir. 1 radyanı birim çember üzerinde (1,0) noktasının yakınında gösteren Ayşe, dereceye çevirdikten sonra doğru yerde gösterebilmiştir. 3 radyanı gösterirken ise 1 radyanın yerini hatırlayarak “3 radyanda 1. bölgede y eksenine yakın bir yerlerde olur” yanıtını vermiştir. Reel sayıları birim çember üzerinde gösterememesinin yanı sıra ’li ifadeleri de birim

38 çember üzerinde gösterememiştir. Bunların hepsini dereceye çevirdikten sonra birim çember üzerinde açıların yerlerini göstermiştir.

Ayşe’nin birim çemberde radyanı yay uzunluğu olarak göremeyişi, trigonometrik fonksiyonların bazı değerlerini hesaplamasına da engel olmuştur. ^o ve  radyanı aynı kabul ederek sin ve sin^o’nin ikisinin de sonucunu 0 olarak bulmuştur. Aynı şekilde cos60^o ve cos60’ın da aynı şeyler olduğunu savunmaktadır. Ayşe’nin bu sorudaki düşünme süreci aşağıda sunulmuştur:

Ayşe: cos60 zaten radyan olarak da aynıdır.

Araştırmacı: Yani cos60 radyanın da 0,5 mi çıkması gerekiyor? Ayşe: Çıkabilir.

Araştırmacı: Çıkabilir mi, çıkmalı mı? Ayşe: Çıkmalı

Araştırmacı: Ama çıkmamış Ayşe:…….. 

Araştırmacı: Sen bir birim çember çiz bakalım. Üzerinde 60^o’yi göster. 60 radyanı göster.

Ayşe: O da aynı yerdedir.

Araştırmacı: Ben sana bir şey sorayım şimdi. 1 radyanın kaç derece olduğunu hatırlıyor musun?

Ayşe: 57,9 gibi bir şeylerdi.

Araştırmacı: Yaklaşık 60^o yapıyor değil mi? Bak sen 60 radyanı da aynı yerde gösterdin.

Ayşe:

Araştırmacı: O zaman geliyor mu aklına bir şeyler? Ayşe: …yok

Araştırmacı: Peki şu an 60 radyanın doğru yerde olduğunu düşünüyor musun? Ayşe: 1 radyan buradaysa….

Araştırmacı: 1 radyan orda değil mi? Hesaplamıştık çünkü. 57,3^o çıkmıştı. 60’a yakın aşağı yukarı. 60 radyanı da sen 1 radyanla yakın bir yere koydun. Orda mıdır 60 radyan?

Ayşe:…………

Aynı şekilde Ayşe, sin30’u hesaplarken 30 radyanın ve cos9,85’i hesaplarken de 9,85 radyanın birim çember üzerinde nereye geldiğini gösterememiştir.

Sonuç olarak denilebilir ki, Ayşe öğretim öncesinde radyanın tanımını yapabilme konusunda bir zorluk yaşamamıştır. Matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim sonucunda da bu tanımı uygulama düzeyindeki problemlerde ve kısmen de olsa 1 radyanı tanımlama da kullanabildiği gözlemlenmiştir. Ancak radyan

39 kavramını tanımlarken birim çember üzerinde kavramı açıklamak konusunda başarısız olmuştur. Bu nedenle trigonometrik fonksiyonlarda açı ölçüleri radyan cinsinden, özellikle de  cinsinden ifade edilmeyen bir reel sayı olarak (örneğin sin30 gibi) verildiğinde sonuca ulaşamamaktadır.