4.2 Burcu - Banu ikilisinin öğretim süreci sonunda gösterdiği gelişimler
4.2.1 Öğretim süreci sonunda Burcu’nun gösterdiği gelişimler
Burcu matematik öğretim programı takip edilerek ders anlatılan sınıftan seçilen bir öğrencidir. Test 1’in sonucunda Burcu’nun reel sayıları radyan olarak görememe
53 yanılgısına sahip olduğu belirlenmiştir. Ayrıca radyanın tanımını yapamayan ve radyanı yay uzunluğu olarak göremeyen Burcu’nun ’yi 180o olarak algılama yanılgısına sahip olup olmadığı ise tespit edilememiştir. Matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim sonucunda Burcu’nun gösterdiği gelişimler aşağıda incelenmiştir.
4.2.1.1 Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Y1: Reel sayıları radyan olarak görememe.
Burcu yanılgı 1’e sahip bir öğrencidir. Kavramsal test 1’de sorulan “sin30 ifadesinin eşiti nedir?” sorusuna ½ yanıtını vermiştir. Test 1’de 1 radyanı yaklaşık 60o olarak hesaplamasına rağmen ders sırasında 1 radyanın kaç derece olduğu sorulduğunda “1 radyan diye bir şey olamaz. Radyan olması için ifadede π olması gerekmez mi” yanıtını vermiştir.
Matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim sonucunda Burcu’da bu yanılgının giderilmesine yönelik tek yönde gelişim görülmüştür. Bu gelişim Y1G1 olarak kısaltılmıştır.
Y1G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.
Test 1’de ve ders sırasında geçen diyaloglarda Burcu’nun açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken kullanılan reel sayıların da birimini radyan olarak değerlendirmediği görülmüştür. Yapılan öğretim sonucunda ise öğrencinin yanılgısının bu bölümü giderilmiştir. Gerek kavramsal test 2’de gerekse görüşmede karşısına çıkan reel sayıları dereceye başarılı bir şekilde çevirmiştir. Ayrıca yapılan görüşmede bir açı ölçüsüne radyan diyebilmek için içinde mutlaka π olması gerekmediğini vurgulamıştır.
Ancak Burcu’da, trigonometrik fonksiyonlarda kullanılan reel sayıların birimlerini radyan olarak değerlendirme yönünde bir gelişme gözlenmemiştir. Sorularda yapılan
54 yönlendirmeler sonunda “radyan” cevabını vermesine rağmen daha sonraki sorularda yine yanıt verememektedir. Aşağıda Burcu’nun sin30’u hesaplarkenki düşünme sürecini yansıtan ifadeleri verilmiştir.
Burcu:………… hocam bununla ilgili bir şey gelmiyor aklıma Araştırmacı: Sin30’ u hesaplayamaz mısın?
Burcu:……. Hayır ………yapamıyorum. Yani böyle ya yazılıda da yapamadım bunu hocam.
Araştırmacı: Burada demiş ki 30 derece verilmemiştir. Ne olarak verilmiştir o zaman?
Burcu: Reel sayı. Normal sayı olarak verilmiş.
Araştırmacı: Normal sayının sinüsünü nasıl hesaplarız?
Burcu: …………sin 30 …………..bilmiyorum.... derece değil Araştırmacı: O zaman nasıl olacak ?
Burcu:………sorun orda zaten.
Araştırmacı: Derece olabilir mi peki? Biz onu derece kabul etsek olur mu? Burcu: Olmaz siz zaten derece olarak değildir demişsiniz.
Araştırmacı: Peki derece değilse radyan olabilir mi? Burcu: Olabilir
Burcu bu soruda radyan olabilir yanıtını vermesine rağmen daha sonraki bir soruda cos(π2)’ yi hesaplarken π yerine 3,14 koymuş, fakat bunun birimini yine söyleyememiştir.
Ayrıca kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının tanım kümesindeki elemanların reel sayılar olduğunu söylemesine rağmen, bu elemanların radyan veya derece olabileceğini vurgulamıştır. Bunun nedeni olarak ise ders sırasında birim çemberde açıların radyan ve derece olarak alınması olduğunu belirtmiştir. Daha sonra bunlara bir de gradı eklemiştir.
Sonuç olarak Burcu’nun “Reel sayıları radyan olarak görememe” yanılgısı matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim ile kısmi olarak giderilmiştir. Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayılara radyan diyebilen Burcu, trigonometrik fonksiyonlarda kullanılan reel sayılara radyan diyememektedir.
4.2.1.2 Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
55 Kavramsal test 1’in sonuçlarına göre Burcu Y2’ye sahiptir. Radyanın değil de 1 radyanın tanımını yapmış, bir çemberde kaç radyan olduğunu doğru söylemesine rağmen hesaplarken derece ve radyanı birbirine dönüştürmede kullanılan formülün bir bölümünü kullanmıştır. Birim çemberde 60o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğunu da doğru hesaplayamamıştır. Matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim sonucunda ise bu yanılgının giderilmesi bağlamında öğrencide iki yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişmeler Y2G1 ve Y2G2 şeklinde kısaltılmıştır.
Y2G1: Radyanın tanımını yapabilme.
Y2G2: Radyanın tanımını problem çözümünde uygulayabilme.
Test 1’de Burcu “açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapınız” sorusunda 1 radyanı tanımlarken, test 2’de radyanı tanımlamıştır. Görüşmede ise yine 1 radyanı tanımlamıştır. 1 radyanın da matematiksel tanımını tam olarak doğru şekilde yapamamış, 1 radyanı tarif etmeye çalışmıştır. Radyanın tanımının istendiği hatırlatıldığında ise radyanın tanımı ile ilgili olarak oranı hatırlamış ama neyin neye oranı olduğunu hatırlayamamıştır. Aşağıda Burcu’nun radyanın tanımına ilişkin düşünme sürecini yansıtan ifadeleri verilmiştir.
Burcu: hmmm……….yarıçapı r birim kadar olan çemberde….yarıçap uzunluğundaki yayı gören yaya…..yarı çap uzunluğundaki yaya………. yayı gören yaya radyan denir.
Araştırmacı: Nasıl oldu şimdi yayı gören yaya?
Burcu: … Yayı gören….iki ışının arasında kalan parçaya radyan denir. Araştırmacı: Nedir o parça
Burcu: 1 radyan
Araştırmacı: 1 radyanı tanımlıyorsun. Ama ben senden 1 radyanı istemedim ki radyanı istedim.
Burcu: hmmm…onu da biliyorum……alfa açısının bir çemberde…..alfa açısının bir çemberde alfa uzunluğundaki yayın……. karıştırdım..
Araştırmacı: Sakin ol, bir daha söyle
Burcu: ……...alfa açısının bir çemberdeki …birim çemberdeki….yok…..yarıçap uzunluğundaki yayın….neyin oranınaydı….bir şeyin oranına….. radyan cinsinden değeri denir.
56 Bu yorumdan sonra test 2’de verdiği cevapları incelemiş ve radyanın tanımını hatırlamıştır. Daha sonra da görüşme sırasında ne zaman sorulsa bazı eksikliklerle de olsa radyanı tanımlayabilmiştir.
Burcu ayrıca radyanın tanımını; 1 radyanın tanımında, birim çemberde radyanın tanımını açıklamakta ve bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplamada da kullanamamıştır. Birim çemberde radyanı tanımlamak için öğrenciye ipucu niteliğinde sorular sorulmuştur, ancak öğrenci bu tanımı yapamamıştır. Ayrıca radyanın “birim çemberde yay uzunluğu olduğunu” görüşmedeki diğer sorularda da kullanamamıştır.
Burcu birim çemberde radyanı yay uzunluğu olarak göremediği için 1 radyanı ve 3 radyanı birim çember üzerinde gösterememiştir. “Böyle bilmiyorum, ama dereceye çevirerek bulabilirim” yanıtını vermiştir. Bir çemberde kaç radyan olduğu sorusuna da 2π yanıtını vermiş ve formülden bulabileceğini söylemiştir. Öğrencinin bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarkenki düşünme süreci aşağıda verilmiştir:
Burcu: ….. 2 R sadeleşmiş hali R
’di. Onunla işlem yaparak bulabiliriz… zaten siz bize öğrettiniz çemberde kaç radyan olduğunu. ..Ya da 2 . Ya da derecede 360o’yi radyana çevirdiğimizde de 2 olduğunu bulabiliyoruz. Araştırmacı: Radyanın tanımından yola çıksan bulabilir misin?
Burcu:…………Yarıçapa oranladığımız için orda,…..yarıçapının bulup oradan bulabiliriz herhalde.
Araştırmacı: Bak şimdi test1’de demişsin 2 radyan vardır. 2
R ’den hesapları. Nasıl hesaplarız
2
R
’den?
Burcu:……..Çevirmede kullanıyorduk. Benim aklıma oradan geldi. Tam olarak ben de bilmiyorum.
Burcu derece ve radyanı birbirine çevirirken kullandığı formülün etkisinde kalarak oradan hesaplayabileceğini söylemiştir.
Burcu; birim çemberde radyanı yay uzunluğu olarak göremediği için ölçüsü radyan cinsinden verilmiş açıları birim çember üzerinde gösterememektedir. Radyanla ilgili tüm soruları dereceye çevirdikten sonra birim çember üzerinde göstermiştir. Aşağıda Burcu’nun yay uzunluğunun birimine ilişkin düşünme süreci verilmiştir.
57 Araştırmacı: “Birim çemberde 60o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?”
Burcu: ………..Aynı eşit oluyor galiba hocam...Ben sınavda galiba radyana çevirdim hocam.
Araştırmacı: Şimdi, sana şöyle sorayım önce, yay uzunluğu dediğimizde bunun birimi ne olmalıdır.
Burcu: aıııı……., yay uzunluğu,…. ıhhhh derece cinsinden sorduğunuzda derece radyan cinsinden sorduğunuzda radyan olmuyor mu?
Araştırmacı: ımmmm, yay uzunluğu mesela şöyle diyebilir miyim? Mesela ben bu soruda 60 o ‘lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu kaç derecedir? Burcu: Hayır, şey ya, radyan oluyor hocam ya da derce cinsinden oluyor. Birim çemberde çizdiğimizde 0 ile
2
’ nin arasında radyan olarak çıkıyor 0,90 o arasında……….
Araştırmacı: Yay uzunluğu peki yayın uzunluğu birim çemberi çiziyorsun ya orada çember yayının uzunluğu... o uzunluğun birimi var mı?
Burcu:ıhımmm ………
Araştırmacı: Peki sen niye 60 o’yi radyana çeviriyorsun?
Burcu: Ben sorunun çözümünü sınavda bilmiyordum. Aklıma birden o geldi belki öyle çıkar diye öyle yaptım.
Araştırmacı: Bu yayın uzunluğunu 3
radyan buldun. Aynı zamanda 60oolur mu?
Burcu: Olur, çünkü 3
60o’ ye eşittir zaten.
Radyanın birim çemberde yay uzunluğuna eşit olduğunu bilememesi, derece imajının baskın olması Burcu’nun “Hesap makinesinde derece seçiliyken cos60 0,5’e, radyan seçildiğinde cos60 yaklaşık olarak -0,952’ye eşit olmaktadır. Radyan seçili olduğunda cos60’ın -0,952’ye eşit olmasının sebebini yorumlayın” sorusunda da radyan ve dereceyi aynı olarak almasına neden olmuştur.
Burcu: normalde cos60’ın radyan ve derece cinsinin eşit olması gerekmez mi? Çünkü radyan ve derece…zaten radyanı dereceye çevirdiğimizde radyana eşit oluyor derece 3 60o. dereceyken, 60 o 3 … Ama cos60 radyanı……….radyanı …radyan -0,952 çıkanı dereceye çevirsek 0,5 çıkabilir. (çözüyor…..)
Burcu: cos60 radyan olarak verildiğinde -0,952 ye eşitmiş ya, onu dereceye çevirdiğimde 0,5 olmuyor. ..yani bunlar eşit olmalı. O yüzden…0,5 derecenin -0,952 olması yanlış yani…
58 Araştırmacı: Hani dedin ya
3
radyan 60o, 60o 3
radyandır. O zaman Cos 60 = cos 60o olmalı. Cos 60o’yi birim çemberde göster bakalım.
Burcu:cos??
Araştırmacı: 60o’nin kosinüsü
Burcu: (birim çember üzerinde doğru yerde gösteriyor) Araştırmacı: 60 radyanın kosinüsü?
Burcu: 60 radyan nerde oluyor çemberde?
Araştırmacı:…eşit olduğuna göre aynı yerde olması gerekmez mi?
Burcu:………..eşit olmaz, değil mi? 60 derece ile 60 radyan eşit değildir. O zaman…
Araştırmacı: 60 radyan nerde olur o zaman?
Burcu: 60 radyan …ben onu dereceye çevirmeliyim…
Burcu radyanın tanımını uygulama düzeyinde problemlerin çözümünde de kullanabilmektedir. “Yarıçapı 1,8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7,1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusunda doğru cevabı bulmuş, açıklaması istendiğinde ise bunu radyanın tanımından yaptığını açıklamıştır.
Ancak daha karmaşık bir problemde radyanın tanımını uygulayamamıştır. “Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusunda araştırmacının yönlendirmeleri ile arka tekerleğin aldığı yolu bulmuş fakat radyana nasıl geçiş yapacağını bilememiş, bu yolu derece olarak alıp radyana çevirmek istemiştir.
Burcu: yarısı,..….o da 314 kadar döner.
Araştırmacı: Döndü 314 cm kadar, kaç radyan dönmüş oldu?
Burcu: Onu…314 radyanı derece olarak alıp radyana mı çevireceğiz?...314 ön tekerlek döndüğünde arka tekerleğin ne kadar döndüğü....
Araştırmacı: Nedir?
Burcu: Derece.... Derece değil mi?
Araştırmacı: Ön tekerlek 314cm kadar yol aldı. Arka tekerlek te o kadar yol aldı. Kaç radyan dönmüş oldu?
Burcu: ……..bence 314 derece olarak alıp radyana çevireceğiz. (çözümü yapıyor….)
59 Radyanın tanımını kullanıp kullanamayacağı sorulduğunda ise, tanımın aklına geldiğini ancak hangisinin yay uzunluğu, hangisinin yarıçap olduğuna karar veremediğini söylemiştir.
“Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe” yanılgısına sahip Burcu’da radyanı tanımlama ve bu tanımı problem çözümlerinde kullanabilme yönünde gelişmeler olmuştur. Radyanı tanımlamasına rağmen bu tanımı birim çemberde radyanı tanımlarken, 1 radyanı tanımlarken ya da bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken kullanamadığı görülmüştür. Birim çemberde radyanı yay uzunluğu olarak görememesi öğrenciyi verilen radyanları dereceye çevirmeye yönlendirmiş, bu da derece imajının baskın olmasına neden olmuştur. Yapılan öğretim sonucunda Burcu derste öğrendiği şekilde radyanı tanımlamakta ve bu tanımı uygulama düzeyindeki sorularda kullanabilmektedir. Ancak daha karmaşık bağlamlardaki sorularda, bu tanımı kullanamamaktadır.
4.2.1.3 Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Y3: ’yi 180o olarak algılamak.
Matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim sonucunda Burcu’nun bu yanılgıya sahip olmadığı tespit edilmiştir. Yanılgı 3 bağlamında Burcu’da iki yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişmeler Y3G1 ve Y3G2 olarak kısaltılmıştır. Y3G1: Açı ölçü birimlerini birbirine dönüştürürken ve radyanda yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme.
Y3G2: Trigonometrik fonksiyonlarda yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme
Burcu yapılan öğretim sonucunda açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken yerine değerini koyabilmiştir. Ayrıca radyanda kullanılan ile sayısının aynı olduğu konusunda bir sonuca ulaşmıştır. Bir çemberde kaç radyan olduğunun reel sayı olarak ifadesinde ya da radyanın içeren ifadelerinde yerine yaklaşık değeri olan
60 3,14 koyabilmiştir. Ancak cos’yi hesaplarken yerine değerini koyabileceğini ama nasıl hesaplayacağını bilmediğini vurgulamıştır. Burcu trigonometrik fonksiyonlarda da yerine değerini koyabilmektedir. Ancak değerini koyduğunda trigonometrik fonksiyonun nasıl hesaplanacağını bilmediği için yerine tekrar derece cinsinden değerini koymaktadır. Bu sürece örnek olarak Burcu’ nun sin
2
’yi hesaplama süreci aşağıda verilmiştir:
Burcu: sin 2
’yi bulmak için….. yerine değer koyabilir miyim? Araştırmacı:Koyabilirsin.
Burcu:mmm. Sin’ 2
birim çemberde 90 o‘ye eşitti. Derece olarak yazabiliriz onu. O zaman 90 oluyor.
Burcu:Yok …öyle.1 oluyor. O zaman burası (sin’yi işaret ediyor) 1. 2 90o ….normal 2
……yok…..Evet hocam. 90o oluyor Araştırmacı:Niye böyle yaptın?
Burcu:……….Derece olarak aldım ama öyle olmuyor.
Araştırmacı: Az önce yerine 3,14 koymuştun….3,14/2’yi hesaplamak istiyorsan hesap makinesi kullanabilirsin.
Burcu: sin90o’yi 1 olarak alalım.
Burcu: (koordinat düzleminde 90’ı 30’un solunda işaretlemiştir.) 90 30 dan büyüktür. Araştırmacı:Şurdaki 2 değeri nedir? Burcu:O da 90.
Araştırmacı:3,14 koymaktan vazgeçtin? Niye vazgeçtin?
Burcu:……..hmm bunu 1 bulduğumuz için bunları da yazmaktan vazgeçtim. Direk
2
ile çarptım.
Burcu:…….Sin 3,14/2 bulucaz. nasıl bulunacağını bilmiyorum. Araştırmacı:3,14 /2kaç yapıyor? 1,57 yapıyor.
Burcu: yani nasıl Oluyor şimdi kafam karıştı. Araştırmacı:Sin 1,57
Burcu:1,57 (hesap makinesi ile yapıyor)...:Yani. ...1
Burcu:……..O zaman bunlarda da yazacağız. Sin 3,14. Böyle de 1 oldu, böyle de 1 oldu. 3,14. o zaman rakam koysaydık ta aynı değer olurdu.
61 Burcu: 3,14/2yi işaretlememiz lazım…... Onun yeri nerde şimdi?... Biri x te olcak, biri y de olcak. 3,14 öndedir. …O zaman ama
2
nasıl sonra oluyor? İkisinden biri yanlış….
………
Burcu: 3,14 Öndedir hocam…………Bence bu yanlıştır. Bunu derece olarak düşündüm ben,
2
’yi 90 olarak düşündüm, ama soru da bana öyle bir şey yapın demiyor.
“Cos(2) ifadesinin yaklaşık olarak değeri kaçtır?” sorusunda da önce yerine 180 o koymuştur. Ama araştırmacının yönlendirmesi üzerine yanlış yaptığını anlayarak
yerine değerini koymuştur. Ancak burada 2’nin hangi açı ölçü biriminden olduğunu söyleyememiştir.
Benzer şekilde sino’yi hesaplarken önce o’yi 180o gibi düşünen Burcu, sin radyanı görünce aradaki farkın ayırımına vararak o’de yerine 3,14 koymuştur. Matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim öncesinde, Burcu’nun ’yi 180o olarak görme yanılgısına sahip olmadığı tespit edilmiştir. Yapılan öğretim sonucunda da Burcu’da bu yanılgı gözlemlenmemiştir. Trigonometride kullanılan
ile sayısının aynı olduğunu vurgulayan Burcu, açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken yerine yaklaşık değeri olan 3,14’u koymaktadır. Trigonometrik fonksiyonlarda da yerine 3,14 koyabilmektedir. Ancak trigonometrik fonksiyonların reel sayı olarak değerini hesaplayamadığı için, yerine 180o koyarak, başka bir deyişle radyanı dereceye çevirerek soruyu çözmektedir.