Öğretim süreci sonunda Gül’ün gösterdiği gelişimler

Gül, matematik öğretim programı takip edilerek ders işlenilen sınıftan seçilen bir öğrencidir. Kavramsal test 1’in sonucunda reel sayıları radyan olarak görememe, radyanın tanımını yapamama ve radyanı yay uzunluğu olarak görememe yanılgılarına sahip olduğu belirlenmiştir. Trigonometrik fonksiyonlar konusu ise henüz işlenmemiş olduğu için ’yi 180^o olarak algılama yanılgısına sahip olup

76 olmadığı tespit edilmemiştir. Matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim sonucunda Gül’ün gösterdiği gelişimler aşağıda incelenmiştir.

4.1.1.1 Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y1: Reel sayıları radyan olarak görememe.

Test 1’in sonuçlarına göre Gül Y1’e sahip bir öğrencidir. Test1’de sorulan sin 30 ifadesinin değerini ½ olarak hesaplamıştır. Yapılan öğretim sonucunda bu yanılgının giderilmesi yönünde Gül’de iki yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişimler Y1G1 ve Y1G2 olarak kısaltılmıştır.

Y1G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.

Y1G2: Trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.

Daha önceden reel sayıları radyan diyemeyen Gül, matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim sonucunda bir açının ölçüsü reel sayı olarak verildiğinde bunun radyan olduğunu kolaylıkla söyleyebilmiştir. Verilen bir açının ölçüsüne radyan diyebilmek için içinde mutlaka π olması gerekmediğini de vurgulamıştır.

Trigonometrik fonksiyonlardaki reel sayıların da açı ölçü biriminin radyan cinsinden olduğunu söylemiştir. Ancak bu kararı verirken reel sayılar ile radyan arasında ilişki kurmamıştır. Derece olarak verilmediğinin vurgulandığı için radyan cevabını verdiğini belirtmiştir. Yani öğrenci radyanı derecenin bir alternatifi olarak görmektedir. Bir açının ölçüsü derece değilse radyandır diye düşünmekte, reel sayılar ile radyanı ilişkilendirmemektedir.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesinin reel sayılar olduğunu söyleyen Gül, tanım kümesinin elemanlarının derece cinsinden verildiğini söylemiştir. Öğrencinin bu süreci aşağıda verilmiştir:

77 Araştırmacı: Yani sinüs ve kosinüsün tanım kümesinin elemanları hangi açı ölçü biriminden?

Gül: ...derece radyan gibi mi? Araştırmacı:Evet

Gül: Derece

Araştırmacı: Niçin derece?

Gül: ...reel sayılar....radyanı zaten dereceye önce çevirmemiz gerekiyor. Radyan birim çember üzerinde gösterilmiyor dereceye çevirmeden. O yüzden reel sayılar da derecedir.

Sonuç olarak açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları ve trigonometrik fonksiyonlardaki reel sayıları radyan olarak görmede başarılı olan Gül, trigonometrik fonksiyonların tanım kümesindeki elemanların derece cinsinden verildiğini düşünmektedir

4.3.1.2 Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y2: Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe.

Test 1’in sonucunda Gül’ün bu yanılgıya sahip olduğu görülmüştür. Test 1’de “açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapın, sorusuna 1 radyanı tanımlayarak yanıt vermiştir. Bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken de radyanın tanımını kullanamamıştır. Birim çemberde 60^o’lik merkez açının gördüğü yayı da doğru şekilde hesaplayamamıştır. Matematik öğretim programı takip edilerek yapılan öğretim sonucunda bu yanılgının giderilmesi bağlamında öğrencide tek yönde gelişim görülmüştür. Bu gelişme Y2G1 olarak kısaltılmıştır.

Y2G1: Radyanın tanımını yapabilme.

Gül test 1’de radyanın tanımının sorulmasına rağmen 1 radyanın tanımını tam olarak yapamamış, 1 radyanı tarif etmeye çalışmıştır. Matematik öğretim programı takip edilerek işlenilen ders sonucunda ise test 2’de ve görüşmede radyanı tanımlayabilmiştir. Görüşme sırasında da ne zaman sorulsa radyanın tanımını yapabilmiştir. Ancak bu tanım öğrencide ezberden öteye gitmemiştir. Çünkü bu tanımı 1 radyanı tanımlarken, birim çemberde radyanı açıklarken ve bir çemberde kaç radyan olduğunun hesaplarken ya da problem çözerken kullanamamaktadır.

78 Gül aştırmacının yardımlarına rağmen 1 radyanı ve birim çemberde radyanı tanımlayamamıştır. 1 radyanın tanımını yapmıştır ancak bu tanımı radyanın tanımıyla ilişkilendirememiştir. Aynı şekilde birim çemberde radyanı açıklarken de Gül radyanın tanımını kullanamamıştır. Tanımı kullanmada başarısız oluşunun bir nedeni tanımı sadece ezberlemiş olması, bir diğer nedeni ise ön bilgi yetersizliğidir. Gül birim çemberin yarıçapını bilmemektedir. Bu nedenle araştırmacının tüm yardımlarına rağmen “birim çemberde radyan yay uzunluğuna eşittir” yorumunu yapamamıştır. Bu bilgiyi daha sonraki sorularda da kullanmamıştır

Kavramsal test 1’de ve test 2’de bir çemberde 2 radyan olduğu cevabını veren Gül görüşmede ise

 2

R

yanıtını vermiştir. Ancak test sonuçlarını gördükten sonra 2 yanıtını verebilmiştir. Bu cevabın nedenini açıklayamamıştır. Gül’ün bir çemberde kaç radyan olduğuna ilişkin düşünme süreci aşağıda verilmiştir.

Araştırmacı: Yani bir daha soralım soruyu. Bir çemberde kaç radyan vardır? Gül: 2 bölü radyan. 2 kadar radyan vardır. Bunu hesaplıyorduk içler dışlar çarpımı yaparak yine.

Araştırmacı: 2 olduğunu içler dışlar çarpımıyla mı hesaplıyorduk? Gül: Yo onu öyle hesaplamıyorduk.

Araştırmacı: Onu nasıl hesaplıyorduk? Gül: ...

Araştırmacı : Bu 2’ yi nasıl hesaplıyorduk? Gül: Birim çemberde üzerinde onları göstermiştik Araştırmacı: Göster bakalım nasıl yapmıştık? Gül: şurası 2 radyan

Gül: Ya da radyan olarak /2, burası 2...ha evet burası  oluyordu. 3/2 oluyordu burası.

Araştırmacı: Oluyordu da niye orası 2 oluyordu? Nasıl hesaplıyorduk? Radyanın tanımını bir düşünelim?

Gül: ...alfa açısının gördüğü yay uzunluğu tamam da Araştırmacı: Yay uzunluğunun yarıçapa

Gül: Burada yarıçapa oranını buluyorduk. Ordan alıyorduk. Araştırmacı: Tamam güzel. Yay uzunluğu nedir?

Gül: Yay uzunluğu 2 Araştırmacı: Yarıçapı

Gül: ...Yarıçapı 2 oluyordu.

Yukarıdaki süreç incelendiğinde öğrencinin radyanı dereceye dönüştüren formülün etkisinde kaldığı gözlenmektedir. Oradan cevaba ulaşamayınca ise açıların radyan

79 cinsinden karşılık geldiği değerleri birim çember üzerine yerleştirerek, 2’yi birim çember üzerinde göstermiştir. Radyanın tanımı hatırlatıldığında ise yine yay uzunluğunu ve yarıçapı bilmediğinden dolayı bu tanımı kullanamamıştır.

Birim çemberde radyanı tanımlayamayan Gül yay uzunluğunun biriminin de radyan olması gerektiğini söyleyememektedir. “Birim çemberde 60^o’likmerkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?” sorusuna doğru yanıt vermiştir. Ancak yay uzunluğunun biriminin ne olduğunu bilmediğini, derece verildiği için radyana çevirdiğini söylemiştir.

Gül birim çemberde radyanın yay uzunluğuna karşılık geldiğini söyleyememiştir. Ancak 1 radyanı gösterirken yay uzunluğu gidiyormuş gibi göstermiş ve 1. bölgeye denk geldiğini söylemiştir. Öğrencinin düşünme süreci aşağıda verilmiştir.

Gül: 1 radyanı

Araştırmacı: Evet. Birim çember üzerinde göster bakalım. Gül: 1

Araştırmacı: Nasıl oldu orası 1 radyan?

Gül:.hmm....yine sayıları filan yerleştirdiğimiz zaman...

Araştırmacı: Yerleştir. (birim çember üzerine radyan cinsinden yerleştiriyor) Araştırmacı:Yerleştirdin 1 radyanın oraya geldiğine nasıl karar verdin?

Gül: Burası 0 oluyor. 0 dan 1 birim kadar gidiyoruz. Burası 1 radyan oluyor. ((1,0) noktasından ilerledi. 1. bölgede durdu. Yay uzunluğu gibi gitti).

Öğrenci 1 radyanı doğru yerde göstermesine rağmen 3 radyanı da 1. bölgede göstermiştir. Bir bölgede 5 radyan olduğunu o yüzden 3 radyanın da 1. bölgede olduğunu söylemiştir. Bir çemberde kaç radyan olduğu hatırlatıldığında yanlış düşündüğünü fark etmiş ancak 3 radyanın hangi bölgede olduğunu doğru gösterememiştir. 100 radyan sorulduğunda ise tur atmamız gerekir demiş, ama kaçıncı bölgede olduğunu hesaplayamamıştır. Görüşmenin sonlarına doğru ise açının ölçüsü radyan cinsinden verildiğinde birim çember üzerinde göstermek için radyanı dereceye çevirmeye başlamıştır.

“Hesap makinesinde derece seçiliyken cos60 0,5’e, radyan seçildiğinde cos60 yaklaşık olarak 0,952’ye eşit olmaktadır. Radyan seçili olduğunda cos60’ın -0,952’ye eşit olmasının sebebini yorumlayın” sorusunu cevaplarken, 60 radyanı

80 birim çember üzerinde göstermek için dereceye çevirme ihtiyacı duymuş, ancak esas ölçüsünü bulmakta zorluk yaşadığı için birim çember üzerinde gösterememiştir. Gerek radyan, gerekse derece verildiğinde Gül bunları birim çember üzerinde göstermede sorun yaşamaktadır.

Radyanın tanımını diğer tanımlarda kullanamayan Gül bu tanımı problem çözümlerinde kullanmada da başarısız olmuştur. Radyanın tanımının bire bir uygulamasını gerektiren bir soruyu doğru yapmış, ancak açıklaması istendiğinde radyanın tanımını kullandığını söyleyememiştir.

“Yarıçapı 1,8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7,1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusunun çözümünde öğrencinin düşünme süreci aşağıda verilmiştir:

Araştırmacı: niçin 7,1i 1,8 e böldün? Gül: Birim çemberde formüllerimiz vardı. Araştırmacı:Bu hangi formül?

Gül: Bu ...derecenin...

Araştırmacı: Sen neyi hesapladın burada? Gül: Yarıçap uzunluklarını mı hesapladım? Gül: Yayın uzunluğunu mu hesapladım?

Araştırmacı: Yayın uzunluğunu gören merkez açının... Gül: Ölçüsünü hesapladım.

Araştırmacı: 7,1 neyin uzunluğudur? Gül: Yayın uzunluğu

Araştırmacı: 1,8

Gül: Yarıçap uzunluğudur.

Araştırmacı: Onları birbirine böldün. Niçin? Gül:...

Araştırmacı: Radyanın tanımını hatırlıyor musun?

Gül: evet. Alfa açısının uzunluğunu gören...ölçüsü...uzunluğundaki yayı gören merkez açısı

Araştırmacı: 1 radyandan bahsediyorsun. Radyan neydi?

Gül:Radyan bir çemberde ....ay karıştırdım....yayı gören merkez açının ölçüsüne deniyordu....uzunluğundaki yayı gören

Araştırmacı: En baştaki gördüğümüz radyanın tanımını hatırlıyor musun? Yay uzunluğunun yarıçapla ilişkisi...

Gül: Oranına. Oranlıyorduk onları. O yüzden burda da onları birbirine oranladık.

Araştırmacı: Neden oranladık? Gül: Sonucu bulmak için

81 Radyanın tanımı deyince öğrencinin aklına oran kavramı gelmektedir, ancak bu tanımı sorulara uygulayamamaktadır. Buna benzeyen bir örneğin derste yapılması ile soru tipini ezberleyen öğrenci, soruya hem test 2’de hem de görüşmede doğru yanıt vermiş ancak nedenini açıklayamamıştır. Daha üst düzey düşünme becerileri gerektiren “Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusuna ise bu öğrenci yanıt verememiştir. Ön tekerlek ve arka tekerleğin aldığı yollar arasında ilişki kuramamıştır. Araştırmacının yardımlarına rağmen soruyu çözememiştir. Aşağıda öğrencinin bu sorudaki düşünme sürecinin bir bölümü verilmiştir.

Araştırmacı: Radyanın tanımını düşün. Aldığı yol 100 ’ymiş. Yarıçapı 100’müş. Kaç radyan dönmüş olur acaba?

Gül: 50

Araştırmacı: Nerden çıktı 50?

Gül: Yarıçapı oranına diyorduk ya. 100 ünde yarısı 50 olduğu için. Araştırmacı: Yarıçapı 2 mi? Niye yarısını aldın?

Araştırmacı: Radyanın tanımını düşününce gelmiyor mu aklına? Gül: ...

Radyanın tanımını yapamayan ve radyanı yay uzunluğu olarak göremeyen Gül’de matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim sonucunda sadece radyanın tanımı konusunda gelişim gözlenmiştir. Gül, radyanın tanımını başarıyla yapabilir duruma gelmiş, ancak öğrenci bu tanımı işlemsel olarak öğrenmiştir. Radyanın tanımını 1 radyanı tanımlama da, birim çemberde radyanı açıklamada ve problem çözümlerinde kullanmamaktadır.

4.1.1.3 Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y3: ’yi 180^o olarak algılamak.

Matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim sonucunda Gül’de bu yanılgı oluşmuştur. Test 1’e verdiği cevaplar göz önüne alındığında bu yanılgı bağlamında tek yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişim Y3G1 olarak kısaltılmıştır.

82 Gül test 1’de, 1 radyanı dereceye çevirirken ya da 150^o’yi radyana çevirirken ’ye bilinmeyen gibi davranmış, ’yi görmezden gelmiş ve yanlış sonuçlar elde etmiştir. Öğretimden sonra ise Gül hem test 2’de hem de görüşmede açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken  yerine değerini vermede başarılı olmuştur. Ayrıca bir çemberde 2 radyan vardır derken de burada  yerine de yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilmiştir.

Ancak trigonometride kullanılan  ile  sayısının aynı sayılar olduğunu vurgulamasına rağmen trigonometrik fonksiyonlarda  yerine değerini koyamamaktadır. Cos’yi cos180^o olarak hesaplamıştır. “Tüm ’lerin aynı olup olmadığı sorusu tekrar yöneltildiğinde ise ’lerin aynı olduğunu ancak birim çemberde ’yi hesaplarken  yerine 180 koyduğu” yanıtını vermiştir.

/2 noktasını koordinat sisteminde gösterirken de  yerine 180 yazmış, /2’yi koordinat sisteminde 90 olarak göstermiştir. Aynı şekilde cos(²)’nin değerini hesaplarken de  yerine değerini vermeyip, önce ’yi 90, ardından da 1 olarak almıştır. Gül’ün bu sorudaki düşünme süreci aşağıda verilmiştir:

Gül: cos(²) kaç...hmm. 90 mıydı? Araştırmacı:...

Gül: 1 e eşit olması lazım. Araştırmacı:Neden?

Gül: ... cos(²) yine ^2’ ye mi eşit oluyordu?...

Araştırmacı: Nasıl hesaplayacaksın? Orda  yerine değer mi koyacaksın ne yapacaksın?

Gül: ’ yi 1...

Araştırmacı: Niçin 1 diyorsun? Gül:...

Araştırmacı: Yazılıda bak böyle yapmışsın. –1 demişsin niçin? Gül: 1 vermişim.

Araştırmacı: Cos nin kaç olduğunu biliyor musun? Gül:cos ...

Araştırmacı: peki  yerine değer verebilir misin? Gül:  yerine değer...1 koyarım

Araştırmacı: Niçin 1 koyuyorsun? sonuç 1 çıksın diye mi? Aslı: ....

83 Gül burada da  yerine değerini koyamamaktadır. Daha önce yapılan soruların da etkisinde kalarak cos’nin 1’e eşit olması gerektiğini düşünmekte, ancak nedenini açıklayamamaktadır.

Sin ile sin^o’yi hesaplarken de  yerine değerini koyamamaktadır. Sin ve ’nin her ikisine de 180 olarak bulmuştur. Trigonometrik fonksiyonları hesaplamada eksikliği olduğu için Gül burada  yerine değerini koyamamıştır.

Uygulanan öğretimden önce Y3’e sahip olmayan Gül’de öğretimden sonra kısmen de olsa bu yanılgının oluştuğu görülmüştür. Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken  yerine değerini koyabilen Gül, trigonometrik fonksiyonlarda  yerine değerini koyamamaktadır. Gerek ezbere kullandığı bazı bilgiler sonucunda, gerekse trigonometrik fonksiyonlardaki eksiklikleri nedeniyle, trigonometrik fonksiyonlarda  yerine 180, 90, 1 gibi değişen değerler vermektedir. Sonuç olarak trigonometrik fonksiyonlarda  yerine 3,14 koyarak değerini hesaplayamamıştır.