4.2 Burcu - Banu ikilisinin öğretim süreci sonunda gösterdiği gelişimler
4.2.2 Banu’nun öğretim sürecinde gösterdiği gelişimler
nasıl sonra oluyor? İkisinden biri yanlış….
………
Burcu: 3,14 Öndedir hocam…………Bence bu yanlıştır. Bunu derece olarak düşündüm ben,
2
’yi 90 olarak düşündüm, ama soru da bana öyle bir şey yapın demiyor.
“Cos(2) ifadesinin yaklaşık olarak değeri kaçtır?” sorusunda da önce yerine 180 o koymuştur. Ama araştırmacının yönlendirmesi üzerine yanlış yaptığını anlayarak
yerine değerini koymuştur. Ancak burada 2’nin hangi açı ölçü biriminden olduğunu söyleyememiştir.
Benzer şekilde sino’yi hesaplarken önce o’yi 180o gibi düşünen Burcu, sin radyanı görünce aradaki farkın ayırımına vararak o’de yerine 3,14 koymuştur. Matematik öğretim programı takip edilerek uygulanan öğretim öncesinde, Burcu’nun ’yi 180o olarak görme yanılgısına sahip olmadığı tespit edilmiştir. Yapılan öğretim sonucunda da Burcu’da bu yanılgı gözlemlenmemiştir. Trigonometride kullanılan
ile sayısının aynı olduğunu vurgulayan Burcu, açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken yerine yaklaşık değeri olan 3,14’u koymaktadır. Trigonometrik fonksiyonlarda da yerine 3,14 koyabilmektedir. Ancak trigonometrik fonksiyonların reel sayı olarak değerini hesaplayamadığı için, yerine 180o koyarak, başka bir deyişle radyanı dereceye çevirerek soruyu çözmektedir.
4.2.2 Banu’nun öğretim sürecinde gösterdiği gelişimler
Burcu ile aynı kavram yanılgılarına sahip olan Banu’nun tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonunda gösterdiği gelişimler aşağıda ayrıntılı olarak sunulmuştur.
4.2.2.1 Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
62 Banu Y1’e sahip bir öğrencidir. Kavramsal test 1’de sorulan “ f :RR ve f(x)xsinx fonksiyonu veriliyor. (30,f(30)) noktasını hesaplayarak koordinat düzleminde gösteriniz” sorusuna yanıt vermemiştir. Görüşmede bunun nedeni sorulduğunda ise sorunun nasıl yapılacağını anlamadığını, ama sin30 değerini hesaplayabileceğini söylemiştir. Banu’nun “Sinüs kavramı hakkında bildiklerinizi yazın” sorusunda sin30o= ½ cevabını da eklemesi, derece imajının baskın olduğunu göstermektedir. Bu nedenle Banu’nun da bu yanılgıya sahip olduğu söylenebilir. Tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonucunda Banu’da bu yanılgının giderilmesine yönelik iki yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişimler Y1G1 ve Y1G2 olarak kısaltılmıştır.
Y1G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.
Y1G2: Trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.
Banu yapılan öğretim sonucunda bir açının ölçüsü reel sayı olarak verildiğinde bunun radyan olduğunu kolaylıkla söyleyebilmiştir. Ayrıca verilen bir açının ölçüsüne radyan diyebilmek için içinde mutlaka π olması gerekmediğini de vurgulamıştır.
Banu trigonometrik fonksiyonlarda da reel sayı verildiğinde açı ölçü birimi olarak radyanı kullanmıştır. Test 2’de sin30’u hesaplarken burada 30’un derece olarak değil radyan olarak verildiğini yazmasına rağmen, görüşmede sin 30’u ½ olarak hesaplamıştır. Derece olarak verilmediği hatırlatıldıktan sonra, burada 30’un derece değil de radyan olduğunu bunun için sin30’un ½’ye eşit olamayacağını vurgulamıştır. Yine görüşmede cos(9,85)’i hesaplarken 9,85’in biriminin radyan olduğunu söylemiştir.
Banu trigonometrik fonksiyonların tanım kümesinin elemanlarının reel sayılar olduğunu söylemesine rağmen, reel sayıların radyana karşılık geldiğini
63 söyleyememiştir. Başlangıçta elemanların derece cinsinden verildiğini söylerken, grafik analiz yaklaşımı ile işlenilenler hatırlatılınca radyan olabileceğini söylemiştir. Ancak söylediğinden kendisi de emin olamamıştır.
Sonuç olarak Banu “reel sayıları radyan olarak görememe” yanılgısına sahip iken tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonucunda açı ölçü birimlerini birbirine çevirmede ve trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıları radyan olarak değerlendirebilmeye başlamıştır. Ancak trigonometrik fonksiyonların tanım kümesindeki elemanların hangi açı ölçü birimi cinsinden olduğunu bilmemektedir.
4.2.2.2 Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Y2: Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe.
Kavramsal test 1’in sonuçlarına göre Banu bu yanılgıya sahiptir. Test 1’de sorulan “radyanın tanımını yapınız” sorusuna 1 radyanı tanımlamaya çalışarak yanıt vermiştir. Bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken de radyanın tanımını kullanamamıştır. Ayrıca birim çemberde 60o’lik merkez açının gördüğü yayın ölçüsünü de doğru bir şekilde hesaplayamamıştır. Tasarlanan yeni öğretim modeli ile işlenen dersler sonucunda bu yanılgının giderilmesi yönünde öğrencide gözlenen gelişim 4 kategoride gösterilmektedir. Bu kategoriler Y2G1, Y2G2, Y2G3 ve Y2G4 olarak kısaltılmıştır.
Y2G1: Radyanı yay uzunluğunun yarıçapa oranı olarak görebilme, radyanın tanımını yapabilme.
Y2G2: Radyanın tanımını, birim çemberde açıklayabilme ya da 1 radyanın tanımında kullanabilme.
Y2G3: Radyanın yay uzunluğu olduğunu bilme ve sorulara uygulayabilme. Y2G4: Radyanın tanımını problem çözümlerinde kullanabilme.
Banu test 1’de radyanı tanımlayamazken, test 2’de ve görüşmede radyanın tanımını yapabilmiş ve radyanın bir oran olduğunu söylemiştir. Ancak bu tanımı 1 radyanı tanımlarken ya da birim çember üzerinde radyanı açıklarken kullanmakta
64 zorlanmaktadır. Aynı şekilde bir çemberde kaç radyan olduğunu bulurken de radyanın tanımını kullanmamaktadır.
Banu açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapın sorusuna “bir yayın uzunluğunun yarıçap uzunluğuna olan oranıdır” cevabını vermektedir. Görüşmede sorulduğunda bu tanımı her zaman kolaylıkla söyleyebilen Banu, bu tanımından yararlanarak birim çemberde radyanı tanımlayın, ya da 1 radyanı tanımlayın sorularını yapmakta ve bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken radyanın tanımını kullanmada ise zorlanmaktadır. Öğrencinin ön bilgi eksiklikleri de bu tanımları yapmasına engel olmaktadır. Örneğin “birim çemberde radyanı tanımlayın” sorusuna cevap verememesinin bir nedeni birim çemberin yarıçapını bilmeyişi ve yay uzunluğunu anlamlandıramayışıdır. Aşağıdaki sorulan sorularla öğrenciye birim çemberin yarıçapı hatırlatılarak birim çemberde radyanı açıklayabilmesine yardımcı olmaya çalışılmıştır.
Araştırmacı: Birim çemberin yarıçapı ne kadardı? Banu: r
Araştırmacı: r kaça eşitti? Banu: tamamı 2r olur
Araştırmacı: Tamamı 2r tamam ama r’ nin bir değeri vardı birim çemberde… Birim çemberin tanımı neydi? Onu hatırlıyor musun?
Banu: ……Birim çember mi?
Araştırmacı:Merkezi orijin…Yarıçapı neydi? Banu: ………r birim kadar
Araştırmacı: O r’ nin bir değeri vardı işte...Eksenleri kestiği noktalar neydi? Banu: Burası 2 π’ ydi (Birim çember üzerinde işaret ediyor)
Araştırmacı: hayır hayır… x le y düzlemini düşün, analitik düzlemi düşün Banu: Bu koordinatları, hani ben onları yapamamıştım.…
Araştırmacı:….
Banu: Burası eksi oluyordu (birim çemberde )
Araştırmacı: Tamam. Biz derste de yapmıştık hatırlarsan. Birim çemberin eksenleri kestiği noktaları göstermiştik.
Banu: Bunlar mı?(Çemberin eksenleri kestiği noktaları işaret ediyor.) Banu: Eksi bir artı bir.... Eksi bir artı bir
Araştırmacı: Burası eksi bir o zaman bu birim çemberin yarıçapı ne kadardır Banu: Bir mi?
Araştırmacı: Bir oluyor o zaman şimdi tekrar dönelim birim çemberde radyanın tanımına.
Banu: birim çemberde radyanın tanımını… …Yine aynı olcak hocam.. Yarıçap 1... demiştik zaten bide yayın uzunluğu... Olan oranı
65 Banu: r/r mi
Araştırmacı: yarıçapın ne senin Banu: r
Araştırmacı:r yani...i 1 di … ne oldu şimdi Banu: 1/r
Araştırmacı: Hayır. Şurda bir yay uzunluğu aldın. Yayın uzunluğuna istediğini diyebilirsin. Yarıçapın ne?
Banu: (Öksürüyor) Ööööö 1 Evet
Araştırmacı: Yay uzunluğunun yarıçapa oranı neye eşit Banu: 1…… mi
Araştırmacı: Şuna mesela (birim çemberde bir yayı göstererek) Banu: aldığımız………ne verebiliriz ona
Araştırmacı: Ne verelim r demeyelim yarıçapla karışmasın t uzunluğunda diyelim
Banu: t/1
Araştırmacı: t/1 oda neye eşit oluyo Banu: t/1 t’ye
Araştırmacı: t ye o zaman birim çember de radyanı tanımlayabilir misin? Banu: Yarıçap uzunluğuna olan oran mı?
Araştırmacı: O radyanın genel tanımı Banu: Yarıçapı veriyor ama yine de Araştırmacı: Yarıçapı mı veriyor, t neydi? Banu: Uzunluk mu?
Araştırmacı: Ne Uzunluğu Banu: Yayın uzunluğu
Araştırmacı: O zaman birim çemberde raydan bize neyi veriyor. Banu: Yayın uzunluğunu.
Banu yukarıdaki soruda yay uzunluğunu anlamlandırmada sorun yaşamıştır. Aynı şekilde çemberin çevresini bulmada da zorlanmaktadır. Bu nedenle bir çemberde kaç radyan olduğunu bulurken tanımı kullanamamıştır. Aşağıda Banu’nun bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplama süreci sunulmuştur.
Araştırmacı: Herhangi bir çember. Çemberde bir noktadan başladım dolandım yine aynı noktaya geldim. Ne kadar yol almış oldum
Banu: 2π lik Araştırmacı: 2π Banu: Radyan
Araştırmacı: Radyan mı Banu: 2π
Araştırmacı: Çemberin çevresini nasıl ifade ediyorduk biz Banu: 2πr
Araştırmacı: 2πr Çevresi kadar yol almış olurum değil mi? Peki radyanın tanımına biz gene geri dönelim. 2πr kadar yol aldım. r neydi burada
66 Araştırmacı: Birim çember veya herhangi bir çember üzerine konuşalım. r benim yarıçapımdı. Radyanın tanımı neydi?
Banu: Radyan yayın uzunluğunun yarıçapa olan oranıydı. Araştırmacı: Yay uzunluğu neydi
Banu: 6,28 mi
Araştırmacı: Ne dedim çıktım dolandım.... Banu: 2πr...Bölü r olacak
Araştırmacı: Niçin r oldu
Banu: Çünkü yarıçap r’diyor. Tamamı da başlangıçtan yine aynı noktaya geldiğimiz....
Araştırmacı: Bu oranı neye göre yazdın Banu: ...
Araştırmacı: Bir şeyin tanımından çıktın sen bunu yaparken. Neyden?... Banu: Bu yarıçaptı da.... Çemberin çevresiydi de buda
Araştırmacı: Bu neydi aynı zamanda? Yayın uzunluğu 2πr. Yarıçapın uzunluğu r. İkisinin bir birine oranı bize radyanı veriyordu değil mi?
Banu: 2π yani radyanın tamamı
Araştırmacı: Radyanın tamamı değil çemberin tamamında kaç radyan olduğunu verir.
Banu “birim çemberde radyan yayın uzunluğuna eşittir” yorumunu yapmada ön bilgi eksikleri nedeniyle de zorlansa da, radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu her soruda kullanmaktadır. 1 radyanı, 3 radyanı birim çember üzerinde yaklaşık olarak yerini kolaylıkla göstermektedir. Bunları birim çember üzerinde gösterirken birim çemberi 6 parçaya bölmektedir. Aynı şekilde sin30 ve cos60 için 30 ve 60 radyanın yaklaşık olarak nereye geldiğini bulurken de radyanın yay uzunluğu olduğu bilgisini kullanabilmektedir. “Bir çemberde 6,28 radyan olduğunu, bunları hesaplamak için birim çember etrafında tur atmamız gerektiğini” vurgulamıştır. Ancak 6,28 sayısının ondalık sayı olması öğrencinin tam olarak kaç kez döndüğünü hesaplarken işlem hataları yapmasına neden olmaktadır.
Banu “Birim çemberde 60 derecelik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?” sorusuna yanıt verirken biraz zorlanmıştır. Bunun nedeni derste “bir çemberde merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir” hatırlatmasının yapılmasıdır. Banu baştan cevabı derece olarak verirken, daha sonra ipucu sorularıyla radyan yanıtını vermiştir.
Araştırmacı: Şimdi buradaki 60o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?…
67 Banu: Buradan aldığınız 60 dereceyi gösteriyordu ya(merkez açının gördüğü yayı işaret ediyor.)
Banu: Gösterebiliriz onu ama buraya derece diyemeyiz. Radyan diyebiliriz Banu: Yaptığımızda radyan göstermiştik onları. Bence radyan
Araştırmacı: Radyan diyorsun peki kaç radyan?
Banu: 60 radyan olamaz … 60 derece. Derece ile radyan farklı şeydi çünkü Banu: ...1 radyan mı?...1radyan ile ne alaka
Araştırmacı: neden 1 radyan olduğunu düşündün
Banu: Mesela 6,28 diye buradan saydığımda o yüzden burasını 1 gibi... Banu, yayın ölçüsü ile uzunluğunun farklı kavramlar olduğunu hatırlayınca yay uzunluğunun biriminin derece olamayacağını hatırlamıştır. Ayrıca 60o’lik merkez açıya denk gelen yay uzunluğunu bulurken de radyanın yay uzunluğu olduğu özelliğini kullanmıştır. 60o’nin yaklaşık 1 radyana eşit olduğunu düşünmüştür.
Banu, radyanın tanımını kullanmasını gerektiren problemleri çözmede de başarılıdır. Tanımın bire bir uygulamasını gerektiren “Yarıçapı 1,8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7,1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusuna doğru yanıt vererek nedenini de açıklamıştır.
“Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusunda da araştırmacının yönlendirmeleri ile arka tekerleğin aldığı yolu 314cm olarak bulduktan sonra radyanın tanımını uygulayabilmiştir.
Banu radyanın tanımını yapabilmekte, problemlerde uygulayabilmekte ve sorularda yay uzunluğu olma özelliğini kullanabilmektedir. Radyanı yay uzunluğu olarak görebilmesinde bir çemberin 6,28 parçaya bölünmesi ile ilgili etkinlik önemli rol oynamaktadır. Ölçüsü radyan cinsinden verilen bir açının, ya da yay uzunluğu verilen bir yayın bitim noktalarını hesaplarken sürekli çemberi 6 parçaya bölmektedir.
4.2.2.3 Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
68 Yapılan öğretim sonucunda Banu’da bu yanılgının oluşmadığı gözlenmiştir. Yanılgı 3 bağlamında Banu’da tek yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişme Y3G1 olarak kısaltılmıştır.
Y3G1: Trigonometrik fonksiyonlarda yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme.
Banu açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken yerine değerini koymada zorlanmaktadır. Radyan ve derece cinsinden olan açı ölçülerini de birbirine dönüştürürken ’yi bilinmeyen olarak algılamakta, bunun sonucu olarak da ’yi görmezden gelerek yanlış sonuçlar elde etmektedir. Bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken ise yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilmektedir. Trigonometrik fonksiyonlarda özellikle ve ’nin katları derece cinsinden verildiğinde yerine değerini rahatlıkla koyarken, radyan cinsinden verildiğinde yerine 3,14 koymada zorlanmaktadır.
Banu, trigonometride kullanılan ile sayısının aynı sayılar olduğunu söylemesine rağmen radyanın içeren ifadelerinde yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koymada zorlanmıştır. Banu’nun ’nin değeri hakkındaki düşünme süreci aşağıda sunulmuştur.
Araştırmacı: Trigonometride kullandığımız sayısı ile bildiğimiz 3,14 olan sayısı aynı mıdır?
Banu: Farklı...Aynı sayılar. Onlar birbirini götürüyor Araştırmacı: Nasıl götürüyor
Banu: Mesela 3 2
olduğunda…. onun yerine 3,14 yazamayız ki
Araştırmacı: Niçin?Yani farklı mı oluyor? O zaman ne yazarsın oradaki ’nin yerine.
Banu: Hiçbir şey yazmam o öyle kalır. Araştırmacı: Niye? Ne olacak o ’ye Banu: Çıkan sonuç radyan oluyor.
Araştırmacı: Radyan oluyor. Peki radyan olması için illaki olması gerekiyor mu?
Banu: Hayır
Araştırmacı: O zaman mesela 1 radyan ile 3 2
radyan bu ifadeler arasındaki fark ne? Birinde var birinde yok.
69 Banu: Hiçbir fark yok aralarında. Bir radyan……
Araştırmacı: Oradaki kalıyor mu Banu: ………..
Araştırmacı:3 ,14
Banu: ………hocam. Hayır koyabiliriz 3,14’ü. Ama sonuç öyle kalıyor bulduğumuz da
Araştırmacı: koyabilir miyiz, koyamaz mıyız? 3 2
radyanda yerine 3,14 Banu: Koyabiliriz
Banu’nun yanıtı incelendiğinde radyanı dereceye çevirirken ’lerin sadeleşmesi öğrencinin aklını karıştırmaktadır. Bulunan sonuçların hep ’li olarak bırakılması, yerine değerinin yazılmaması da öğrenciyi yanıltan bir başka nedendir.
Banu, bir çemberdeki radyan sayısını ve trigonometrik fonksiyonlarda o’ nin değerini hesaplarken yerine 3,14 koymaktadır. Ancak açıların radyan cinsinden ifade edilmesinde ve bu açıların trigonometrik değerlerini hesaplarken yerine 3,14 koymakta zorlanmaktadır. yerine 3,14 koyduğunda bunun trigonometrik değerinin nasıl hesaplanacağını bilmediğinden dolayı birim çemberde göstererek hesaplamaya çalışmaktadır.
Araştırmacı: Peki kosinüs ’yi hesaplarken, Orada ki ’nin değeri nedir? Banu: 3,14
Araştırmacı: kosinüs 3,14’ü hesaplıyorsun
Banu: Hayır 180’ imi... Onun yerine koyamayız Araştırmacı: Onun yerine niye koyamıyoruz?
Banu: Hayır koyarım.… cos onun yerine 3,14 koysam hocam onu nasıl bulacağım ben?
Araştırmacı: hmmm…180 koyduğunda nasıl buluyorsun Banu: Koyamam
Araştırmacı: Neyi koyamazsın? yerine 3,14’mü koyamazsın trigonometrik fonksiyonlarda? Cos de Sin de mesela
Araştırmacı: Trigonometrideki ile bizim bildiğimiz 3,14 sayısı Banu: Aynı ... ama biz derste 3,14 koymuyorduk ki
Araştırmacı: Nerde koymuyorduk?
Banu: Trigonometrik fonksiyonlarda. Mesela Cosx in grafiğinde …… 2
…
2 3
yapıyorduk ya onun yerine koymuyorduk. Hiçbir değer vermiyorduk. Araştırmacı: Mesela Cos 3,14. π yerine 3,14 koydum. Bulamaz mıyız?
Banu: Benim fikrim yok hocam
Araştırmacı: O zaman sen bir toparla bakalım ne diyorsun. Buradaki ile trigonometrideki
70 Banu: Aynı Araştırmacı: Aynı 3 2 hesaplarken yerine 3,14 Banu: Koyabiliriz... 6.28 oluyor
Araştırmacı: Cos π yi hesaplarken π yerine 3,14 Banu: Koyabiliriz
Araştırmacı: Aynıdır diyorsun hepsini koyabiliriz. Banu: cos……. Koyabiliriz hocam
Araştırmacı: Ama diyorsun biz grafik çizerken koymuyorduk. Cos 2
…
2 3
hesaplarken orada yerine 3,14 koymuyorduk. Banu: Evet koymuyorduk.
Araştırmacı: Peki yerine değerini koysan nasıl hesaplarsın Cos ’yi bir fikrin varmı?
Banu: Cos ’yi………. yerine 3,14 koysam Banu: Yine yi veriyor.…………
Araştırmacı: Cos yi veriyor.…………
Banu: Mesela hocam cos dediniz ya siz. Cos yerine bir şey…değer mi olacak Araştırmacı: Hayır cos …….
Banu: yerine 3,14 demem lazım.…
Araştırmacı: Tamam dedin …Bunu nasıl bulacaksın?
Banu: Birim çemberden cos, cos burada... yani buraya geliyor {(-1, 0) noktasını işaret ederek} O zaman olacak ta
Araştırmacı: Ne olacak… Nokta… Banu:
Araştırmacı: yok değil de Banu: -1
Araştırmacı: Yani Cos 3,14 neye eşitmiş Banu: -1’e
Araştırmacı: Koyabiliyormuş muyuz? Banu: Evet
Araştırmacı: Aynı mıymış peki trigonometri ile ile bu kullandığımız ? Banu: Evet
Banu’da tasarlanan yeni öğretim yönteminin uygulanması sonucunda =180o yanılgısı oluşmamıştır. Yapılan öğretimde bir çemberde kaç radyan olduğu bulunurken yerine değer verilmesi bu yanılgının oluşmamasında önemli bir etkendir. Derslerde radyanın içeren ifadelerinde ( örneğin
3 2
), yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ün koyulmaması ise öğrencinin yanılgıya düşmesine neden olmaktadır.
71