Aysel’in öğretim sürecinde gösterdiği gelişimler

Cos ’de olduğu gibi cos( )²’yi ve cos^o’yi hesaplarken de Ayşe  yerine 180^o koyarak hesaplamalar yapmıştır.

2 

’yi koordinat düzleminde gösterirken de 90^o

olarak almış yani  yerine 180^o koymuştur. Dahası 2 

’yi x ekseninde işaretlerken 30 ile aynı düzlemde 30’un sağ tarafında (30’dan büyük) olarak göstermiştir. Başlangıçta  =180^o yanılgısına sahip olmayan Ayşe matematik öğretim programı takip edilerek işlenen dersler sonunda  =180^o yanılgısına sahip olmuştur.

4.1.2 Aysel’in öğretim sürecinde gösterdiği gelişimler

Ayşe ile aynı kavram yanılgılarına sahip olan Aysel’in tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonunda gösterdiği gelişimler aşağıda ayrıntılı olarak sunulmuştur.

4.1.2.1 Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y1: Reel sayıları radyan olarak görememe.

Aysel, kavramsal test 1’in sonuçlarına göre reel sayıları radyan olarak görememektedir. Test 1’de sorulan sin30’un sonucunu ½ olarak bulmuştur. Tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonucunda, Aysel’in bu yanılgının giderilmesine yönelik gelişimi üç yönde değerlendirilmiştir. Bu gelişmeler Y1G1, Y1G2 ve Y1G3 olarak kısaltılmıştır.

Y1G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.

Y1G2: Trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.

Y1G3: Trigonometrik fonksiyonlarının tanım kümesinin elemanlarını radyan olarak görebilme.

42 Aysel açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken reel sayıları radyan olarak ele alabilmektedir. Görüşmede sorulan “Bir açı ölçü birimine radyan diyebilmek için π içermesi gerekir mi?” sorusuna da doğru yanıt vermiştir.

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının tanım kümesinin elemanlarının da reel sayı olduğunu, bu nedenle açı ölçü birimlerinden radyan ile ifade edilebileceğini söylemiştir. Ancak niçin reel sayılar olduğunu açıklayamamaktadır.

Trigonometrik fonksiyonlarda da reel sayılar verildiğinde bunların biriminin radyan olduğunu söylemektedir. Ancak 30, 45, 60 gibi derece cinsinden trigonometrik oranlarını hesaplamaya alışkın olduğu sayılar verildiğinde Aysel bunları önce derece olarak kabul edip işlem yapmaktadır. Derece olmadığı hatırlatıldığında ise hemen radyan olduğu cevabını vermektedir. Buna örnek teşkil eden bir süreç aşağıda sunulmuştur.

Araştırmacı: sin30’u sen orda ½ olarak aldın. 30 derece olarak verilmemiştir yazısını okudun mu?

Aysel: Hayır, şimdi okuyorum.

Araştırmacı. Okuduktan sonra bir daha düşün bakalım. Aysel:...

Araştırmacı: 30 derece olarak verilmemiş... Aysel: Radyan olarak verilmiştir.

Trigonometrik oranlardan aşina olmadığı 3, 5, 6.28 gibi sayılar verildiğinde ise bunların açı ölçü birimlerinden radyan olduğunu çok rahatlıkla söylemektedir.

Araştırmacı: On birinci soru. Kosinüs (π)² … Aysel: π, 3,14

Araştırmacı : Tamam

Aysel: Karesi 9,85...kosinüs kaç diyor... Araştırmacı : Buradaki açı ölçü birimi nedir? Aysel: Radyan

Kavramsal test 1 sonucunda Aysel’in “reel sayıları radyan olarak görememe” yanılgısına sahip olduğu tespit edilmiş iken tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonucunda bu yanılgının giderildiği görülmüştür. Gerek açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken kullanılan reel sayıların, gerekse trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıların radyan olduğunu söyleyebilmektedir. Ancak

43 derece imajının baskın olması nedeni ile 30, 45, 60 gibi sayılar verildiğinde açı ölçü biriminin ilk olarak derece olduğunu düşünmesine rağmen sonunda radyan olduğu kararını verebilmektedir. Trigonometrik fonksiyonlarda 1, 3, 6.28 gibi sayılar kullanıldığında ise bunların radyan cinsinden olduğunu söyleyebilmektedir.

4.1.2.2 Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y2: Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe.

Kavramsal test 1’in sonuçlarına göre Aysel bu yanılgıya sahip değildir. Ancak, test uygulandığında öğrencilere henüz radyanın tanımı verilmemiş, sadece 1 radyan tanımlanmıştır. Bu nedenle Aysel de radyanı yay uzunluğu olarak görebilmekte, ancak tanımını yapamamaktadır. Bir çemberde kaç radyan olduğu sorusunu ise radyanın tanımını kullanarak yapmıştır. Tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonucunda öğrencide radyanın tanımını yapabilme ve bu tanımı uygulayabilme yönünde gözlenen gelişimler Y2G1, Y2G2, Y2G3 ve Y2G4 olarak dört kategoride incelenmiştir.

Y2G1: Radyanı yay uzunluğunun yarıçapa oranı olarak görebilme, radyanın tanımını yapabilme.

Y2G2: Radyanın tanımını, birim çemberde açıklayabilme ya da 1 radyanın tanımında kullanabilme.

Y2G3: Radyanın yay uzunluğu olduğunu kullanarak birim çember üzerinde verilen değerlerden açıların radyanını hesaplayabilme.

Y2G4: Radyanın tanımını problem çözümlerinde kullanabilme.

Aysel Kavramsal test 1’de radyanı değil de 1 radyanı tanımlamıştır. Yapılan öğretim sonucunda Kavramsal test 2’de ve görüşmede radyanı doğru şekilde tanımlayabilmiştir. Ancak görüşme sırasında “Açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapın” sorusuna 1 radyanı tanımlayarak cevap vermiş, ardından 1 radyan sorulduğunda ise hatasını anlayarak radyanı tanımlamıştır:

44 Aysel: Radyan, çemberde yarıçap uzunluğundaki yayın uzunluğunu gören merkez açının ölçüsüne radyan deniyordu. (Yazıyor) hayır, yayı gören

Araştırmacı: Peki, 1 radyan neydi?

Aysel: 1 radyan... e.. zaten buna 1 radyan deniyordu. Radyan yarıçap uzunluğunun,... hayır yay uzunluğunun yarıçap uzunluğuna oranıydı.

Aysel radyanın tanımını çok rahat yapabilmesine rağmen, bu tanımı 1 radyanı ve birim çemberde radyanı tanımlamada kullanırken zorluk çekmektedir. Ancak verilen ipuçları ile tanımlara kendisi ulaşabilmiştir. Özellikle de birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu kullanarak görüşmede sorulan tüm sorulara cevap verebilmiştir. Aşağıda Aysel’in 1 radyanı tanımlama süreci sunulmuştur:

Araştırmacı: 1 radyanı radyanın tanımından yola çıkarak tanımlayabilir misin? Aysel: Radyanın zaten tanımı yay uzunluğu bölü yarıçap uzunluğu... yani 1 tane yayı gördüğünde..hayır...yani 1 radyan yarıçap uzunluğundaki yayı gördüğü zaman oluyor. Radyanda ise tüm yay

Araştırmacı: İşte yarıçap uzunluğundaki yayı gördüğünde neden 1 radyan çıkıyor? Onu biliyor musun?

Aysel: Çünkü yarıçap zaten 1.hmmm....hayır... .birim çember Araştırmacı: Radyanın tanımı düşünürsen bulacaksın.

Aysel:...

Araştırmacı: Benim yayımın uzunluğu ne 1 radyanda? Aysel: Nasıl yani?

Araştırmacı: 1 radyanı tanımlayacaksın ya yayın uzunluğu ne? Aysel: Tüm yayın mı

Araştırmacı: hayır, hani alıyorsun ya Aysel: Hmmm....yarıçap uzunluğu Araştırmacı: yarıçapım ne

Aysel: Yarıçap

Araştırmacı: böldüm ikisini birbirine, Aysel:Gitti

Araştırmacı: ne oldu?

Aysel: ne oldu?.. 1 mi?  evet anladım

Aysel 1 radyanın bildiği tanımının da etkisi altında kaldığı için önce radyanın tanımını kullanmada zorluk çekmiştir. Ancak ipuçları verildiğinde 1 radyana nasıl ulaşıldığını anlamıştır. Aynı şekilde birim çemberde radyanı tanımlarken de radyanın tanımını kullanmada biraz zorlanmıştır. Aşağıda Aysel’in birim çemberde radyanı tanımlama süreci verilmiştir:

Aysel: Yarıçap 1 zaten, yine 1 değil mi? Araştırmacı: Yine radyanın tanımını düşün.

45 Aysel: Yay uzunluğunun yarıçapa oranı...2 r bölü 1 falan mı?.çevresi mi oluyor?

Araştırmacı: 2 r evet çevresi

Aysel: Yarıçapı zaten 1, o zaman 2 r bölü 1 olmuyor mu?

Araştırmacı: Oluyor Aysel de, radyanın tanımını düşün. Neydi tanımı? Aysel: Yay uzunluğu bölü yarıçap uzunluğu

Araştırmacı: Herhangi bir yay uzunluğunu aldın, çevresini almak zorunda değilsin. Herhangi bir yay uzunluğunu aldın yarıçapa böldün. Sonuç neye eşit oldu? Yarıçapın da neye eşit olduğunu düşün.

Aysel: Yay uzunluğuna eşit oldu.

Aysel yay uzunluğunu tam olarak ne alacağını bilemediği için birim çemberde radyanı tanımlarken zorlanmıştır. Ancak birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu görüşmede karşılaştığı tüm sorularda kullanabilmiştir.

Aysel bir çemberde kaç radyan olduğunu bulurken de radyanın tanımı kullanmıştır. Kavramsal test 1’de bunu ezberden yaptığını test 2 ve görüşmede ise radyanın tanımını bilerek kullandığını vurgulamıştır. Görüşmede çözüm sürecini açıklamıştır. Birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu vurgulayan Aysel bu özelliği trigonometrik fonksiyonlarda da kullanmıştır.

“Birim çemberde 60^o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?” sorusunun doğru yanıtını Kavramsal test 1’de dahi doğru olarak ifade etmiştir. Kavramsal test 2 ve görüşmede de yay uzunluğunun radyan cinsinden olduğunu, yayın ölçüsünün derece cinsinden olacağını vurgulamıştır. 1 radyan ve 3 radyanı dereceye çevirmeden birim çember üzerinde yaklaşık olarak nereye geldiğini göstermiştir. Bunu yaparken derste yapıldığı gibi birim çemberi 1 radyanlık parçalara ayırmış ve bunun nedenini de açıklayabilmiştir. Öğrencinin bu düşünme süreci aşağıda sunulmuştur:

Araştırmacı: Peki sen bunları böyle bölmeyi nerden öğrendin? Aysel: Sizden

Araştırmacı: Nasıl anlattık biz onu derste? Aysel: Teknolojiyle

Araştırmacı: Tamam da niye öyle parçalara böldük. Aysel:...

Araştırmacı: Niye 3,14 parçaya böldün de 5 parçaya bölmedin?

Aysel: Çünkü birim çemberde olduğu için yarıçap uzunluğu 1 oluyor. 1, 1 böldünüz. Daha sonra bunun tamamı 1 olmadı.

Araştırmacı: Ben bunu 1-1-1 şeklinde 5 parçaya bölemez miyim? Aysel: Ama  zaten 3,14 olduğu için bölemeyiz.

46 1 ve 3 radyanı birim çemberde doğru yerlerde gösteren Aysel sin30, cos60 ve cos 9,85’i hesaplarken de 30, 60 ve 9,85 radyanın birim çemberde hangi bölgeye geldiğini gösterebilmiştir.

Aysel, radyanın tanımını problem çözümlerinde de kullanabilmektedir. “Yarıçapı 1,8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7,1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusuna doğru cevap vermiş, çözüm yolu sorulduğunda ise bunun radyanın tanımından geldiğini açıklamıştır. Aynı şekilde radyanın tanımını kullanarak “Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusuna da kavramsal test 2’de yanıt verememesine rağmen görüşmede doğru yanıt vermiştir. Ayrıca “birim çemberde 60^o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir sorusunda da radyanın tanımını kullanmıştır. Bu sorudaki problem çözme süreci aşağıda verilmiştir.

Araştırmacı: 60^o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu sen dedin ki radyan olmalı

Aysel: Radyanın formülünden mi? Araştırmacı: Yap bakalım.

Aysel: İyi de. 60^o /4 mi hayır /3’e eşitti galiba. Yay uzunluğunu bilmiyoruz. Araştırmacı: Birim çemberde yay uzunluğu neydi?

Aysel:...

Araştırmacı: Ya da radyanın tanımı neydi?

Aysel: Yay uzunluğu bölü yarıçap uzunluğu değil mi? Araştırmacı: evet

Aysel: /3 olmuyor mu?

Araştırmacı: Evet. Nasıl vardın bu sonuca? Aysel: 60 ^o/3 radyan oluyor.

Araştırmacı: Ordaki x ne?

Aysel: Yayın uzunluğunu bilmediğim için x oluyor. Birim çember olduğu için yarıçap uzunluğu da 1 oluyor. İçler dışlar çarpımından

Araştırmacı: Tamam şimdi anladım. Ben radyanın tanımını kullanırım dedin. 60^o’nin denk geldiği açı /3 radyandır dedin. Yayın uzunluğunu bulmak için de yay uzunluğu bölü yarıçaptan aynı şey çıkar dedin.

Sonuç olarak Aysel “radyanını tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe” yanılgısına sahip değildi. Kavramsal test 1’in uygulandığı sırada radyanın tanımı verilmemiş olduğundan dolayı yapılan öğretimden sonra Aysel’de radyanın tanımını yapabilme yönünde gelişim gözlenmiştir. Birim çemberde radyanı

47 ve 1 radyanı tanılarken de radyanın tanımını kullanabilmektedir. Ayrıca radyanın tanımını problem çözümünde kullanabilme ve birim çemberde radyanın yay uzunluğu olduğunu problemlere uygulayabilme becerilerinde gelişmeler gözlenmiştir.

4.1.2.3 Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y3: ’yi 180^o olarak algılama.

Kavramsal test 1 uygulandığında trigonometrik fonksiyonlar görülmediğinden Aysel’in de bu yanılgıya sahip olup olmadığı tespit edilmemiştir. Ancak tasarlanan yeni öğretim yöntemi ile yapılan öğretim sonucunda Aysel’de bu yanılgının oluşmadığı gözlenmiştir. Bu yanılgı bağlamında Aysel’de iki yönde gelişim gözlenmiştir. Bu gelişmeler Y3G1 ve Y3G2 olarak kısaltılmıştır.

Y3G1: Açı ölçü birimlerini birbirine dönüştürmede ve radyanda  yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme.

Y3G2: Trigonometrik fonksiyonlarda  yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme.

Aysel açı ölçü birimlerini birbirine dönüştürürken gerekli yerlerde  yerine 3,14 yazabilmektedir. Ayrıca bir çemberde kaç radyan vardır sorusunun reel sayı olarak cevabını bulurken de  yerine değer vermiştir.

Sayı olarak , 3 5

radyandaki  ve cos’deki ’lerin hepsinin aynı olduğunu ve 3,14 olduğunu söylemiştir. Cos’yi hesaplaması istendiğinde ise  yerine 3,14 koyup birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olmasından yola çıkarak ve çemberi parçalara ayırarak sonuca ulaşmıştır.

( 2 sin . 2 , 2   

) noktasını koordinat düzleminde gösterirken de  yerine 3,14 koymuştur. Trigonometrik fonksiyonlarda da  yerine değerini vermede ve bunu hesaplamada hiç zorlanmayan Aysel cos(²)’yi hesaplarken de  yerine hiç tereddüt etmeden