4.1 Ayşe – Aysel ikilisinin öğretim süreci sonunda gösterdiği gelişimler
4.1.3 Ayşe- Aysel ikilisinin gösterdikleri gelişimler açısından karşılaştırılması
yaklaşık değeri olan 3,14 koymuştur. sin ve sino’yi hesaplarken de yerine değerini vermiştir.
Bu bulgulardan yola çıkılarak, Aysel’in ’yi 180o olarak görme yanılgısına sahip olmadığı sonucuna varılabilir. Aysel, açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken yerine 3,14 değerini verebilmektedir. Ayrıca sayısı ile trigonometride kullanılan ’nin her ikisinin de aynı ve 3,14 olduğunu söylemiştir. Trigonometrik fonksiyonlarda da yerine değer verirken zorlanmamaktadır. Sadece yerine değer vermekle kalmayıp, trigonometrik fonksiyonun değerini de hesaplayabilmektedir.
4.1.3 Ayşe- Aysel ikilisinin gösterdikleri gelişimler açısından karşılaştırılması
Kavramsal test 1’in sonuçlarına göre aynı kavram yanılgılarına sahip olan Ayşe ve Aysel farklı öğretim süreçlerinden geçmişlerdir. Bunun sonucu olarak iki öğrencide de yanılgıların giderilmesi bağlamında farklı gelişimler gözlenmiştir. Öğrencilerin gösterdikleri gelişimler yanılgı bazında karşılaştırılmış ve farklılıklar ortaya konmuştur.
4.1.3.1 Ayşe- Aysel ikilisinin Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Her iki öğrenci de Y1 yanılgısına sahiptir. Yapılan öğretimlerden sonra öğrencilerin Y1 yanılgısının giderilmesi yönünde gösterdikleri gelişimler aşağıdaki tabloda karşılaştırmalı olarak sunulmuştur:
Tablo 3
Ayşe ve Aysel’in Y1’in giderilmesi yönünde gösterdiği gelişimler
Y1: Reel sayıları radyan Ayşe Aysel
olarak görememe
Açı ölçü birimlerindeki reel sayıları
radyan olarak görebilme
+ +
Trigonometrik fonksiyonlardaki reel
sayıları radyan olarak görebilme
-
+
49
kümesinin elemanlarını radyan olarak
+
+
görebilme
Uygulanan öğretimlerden önce her iki öğrenci de Y1 yanılgısına sahiptir. Öğretimlerden sonra her iki öğrenci de açı ölçü birimlerindeki reel sayıların biriminin radyan olduğunu söyleyebilmektedir. Ancak Ayşe trigonometrik fonksiyonlarda kullanılan reel sayıların biriminin ne olduğunu söyleyememektedir. Müfredat takip edilerek işlenilen derslerde trigonometrik fonksiyonlarla ilgili yapılan örneklerde radyanın ’li (örneğin cos
3
) ifadesi kullanılmıştır. Bu nedenle Ayşe kavramsal testlerde ve görüşmede trigonometrik fonksiyonlarda reel sayıları gördüğünde bu sayıların ölçü biriminin ne olduğunu söyleyememiştir. ’yi radyanla özdeşleştirdiği için üzerinde derece işareti de olsa radyan olarak kabul etmiş, 30’u da derece ile özdeşleştirdiği için üzerinde derece işareti olmasa da derece olarak kabul edip işlemleri yapmıştır. Bunun nedeni hem ders kitabında, hem de öğretmenin derste verdiği örneklerde bu özdeşleştirmelerinin aksi bir örneğin verilmemesidir. Yeni öğretim yöntemi ile işlenen derslerde ise trigonometrik fonksiyonlarda reel sayıların kullanılması ve açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken reel sayıları içeren örneklerin yapılması öğrencinin reel sayıları radyan olarak görebilmesine neden olmuştur. Her iki öğrenci de trigonometrik fonksiyonların tanım kümesinin elemanlarını radyan olarak görebilmektedir. Ancak Ayşe trigonometrik fonksiyonlarda reel sayı kullanıldığına bu reel sayının radyan cinsinden ifade edildiğini söyleyememektedir.
4.1.3.2 Ayşe - Aysel ikilisinin Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Her iki öğrenci de test 1’in sonuçlarına göre Y2’ye sahip değillerdir. Yapılan öğretimlerden sonra öğrencilerde bu yanılgıya işaret eden alt becerilerde farklı gelişimler gözlenmiştir. Bu gelişimler aşağıdaki tablo ile özetlenmiştir.
Tablo 4
50
Y2: Radyanın tanımını yapamama, Ayşe Aysel
radyanı yay uzunluğu olarak görememe
Radyanın tanımını yapma
+ +
1 radyanı tanımlarken radyanın
+ +
tanımını kullanma
Birim çemberde radyanı açıklarken
- +
radyanın tanımını kullanmaProblem çözümünde radyanın tanımını
+ +
kullanmaBir çemberdeki radyan sayısını hesaplarken
+ +
radyanın tanımını kullanmaKavramsal test 1’in sonuçlarına göre her iki öğrencide bu yanılgıya sahip değillerdir. Yapılan öğretimlerden sonra bu yanılgıya işaret eden alt becerilerin gelişimi yönünde farklılıklar gözlenmiştir. Her iki öğrenci de uygulanan öğretimden önce radyanın tanımın yapamamaktadırlar. Çünkü geometri dersinde radyan kavramı işlenirken sadece 1 radyan tanımlanmaktadır. Her iki öğretim yönteminde de radyanın tanımının verilmesiyle her iki öğrenci de radyanını tanımını yapabilme becerisini kazanmışlardır. 1 radyanı tanımlarken ve bir çemberdeki radyan sayısını hesaplarken her iki öğrenci de araştırmacının yardımıyla radyanın tanımını kullanabilmişlerdir. Her iki öğrenicinin de problem çözümünde radyanın tanımını kullanmasına karşılık Ayşe radyanın tanımını sadece derste örnek verildiği şekilde uygulama düzeyindeki örneklerde kullanabilmektedir. Aysel ise daha karmaşık sorularda da radyanını tanımını kullanabilmektedir. Ayşe birim çemberde radyanı açıklarken araştırmacının hatırlatmalarına rağmen radyanın tanımını kullanmamıştır. Aysel ise araştırmacının yardımıyla bu tanımı yapmış, daha sonra da tüm sorularda bu bilgiyi kullanabilmiştir. Görüşme sırasında bu bilgiye ulaşamayan Ayşe trigonometrik fonksiyonlarda reel sayı kullanıldığında birim çember üzerinde göstermede başarısız olmuştur. Reel sayıları birim çember üzerinde gösteremediği için trigonometrik fonksiyonlarda π
51 yerine hep derece cinsinden değerini vermiş dolayısıyla öğrencide π sayısı ile trigonometride kullanılan π’nin farklı değerler olduğu yanılgısı oluşmuştur.
4.1.3.3 Ayşe - Aysel ikilisinin Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler
Her iki öğrencide trigonometrik fonksiyonlar konusunu ilk defa görmüşlerdir. Bu nedenle kavramsal test 1 ile öğrencilerin Y3’e sahip olup olmadıkları tespit edilmemiştir. Ancak yapılan öğretimlerden sonra Ayşe’de bu yanılgının oluştuğu gözlenirken, Aysel’de bu yanılgı gözlenmemiştir.
Tablo 5
Ayşe ve Aysel’in Y3’ün giderilmesi yönünde gösterdiği gelişimler
Y3: π =180o olarak algılama Ayşe Aysel
Bir çemberdeki radyan sayısının
-
+
reel sayı değerini söyleme
Radyanın π içeren ifadelerinde
- +
π yerine yaklaşık değerini koyabilme
Trigonometrik fonksiyonlarda π = 180o
+
-koyabilme π = 3,14- +
Ayşe, bir çemberdeki radyan sayısının reel sayı değerini söyleyememektedir. Radyanın π içeren ifadelerinde de π yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyamamaktadır. Çünkü müfredat takip edilerek işlenilen derslerde bir çember 2 π radyan olarak ifade edilmiş, bunun yaklaşık reel sayı değeri söylenmemiştir. Ayrıca gerek trigonometrik fonksiyonlarda gerekse açı ölçü birimlerinde radyan kavramı anlatılırken hep radyanın π içeren ifadelerine yer verilmiştir. π yerine yaklaşık değeri olan 3,14 hiç koyulmamıştır. Trigonometrik fonksiyonlar hesaplanırken π yerine 180o koyarak hesaplamalar yapıldığı için Ayşe π sayısı ile trigonometride kullanılan π’nin farklı şeyler olduğunu düşünmektedir. Trigonometrik fonksiyonlarda52 π =180o olarak düşünmesi bir yanılgı değildir. Ancak sin πo gibi π yerine reel sayı değerinin koyulması gerektiği durumlarda da öğrenci π =180o olarak düşünmektedir. Trigonometride π yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü hiç koyamadığı için bunun öğrencide π =180o olarak algılama yanılgısı oluşmuştur denmektedir.
Ayşe ile sahip olduğu yanılgılar açısında denk olan Aysel’de Y3 oluşmamıştır. Bunun nedeni yeni öğretim yöntemi ile işlenilen derslerde bir çemberdeki radyan sayısının hem ’li ifadesi hem de reel sayı değeri vurgulanmasıdır. Ayrıca gerek trigonometrik fonksiyonlarda ve radyanın içeren ifadelerinde yerine 3,14 koyulabileceği sürekli hatırlatılmış, bu yönde örnekler yapılmıştır. Bunun sonucu olarak Aysel bir çemberdeki radyan sayısının reel sayı değerini kolaylıkla söyleyebilmiştir. Trigonometrik fonksiyonlarda da yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü rahatlıkla koyabilmiştir. Derste radyan ile özdeşleşen ’nin derece olarak verildiği (örneğin sin o), derece ile özdeşleşmiş bazı reel sayıların radyan olarak verildiği (örneğin cos60) örnekler yapıldığı için, böyle değerler trigonometrik fonksiyonlarda kullanıldığında birimini kolaylıkla ayırt edebilmiştir.